Вычисление объемов тел вращения с помощью интегралов.

Вычисление объема тела по известным площадям параллельных сечений.

Определение. Объем тела может быть вычислен по формуле , где S( )-площадь попереного сечения тела T плоскостью x= . в частности, если тело образовано вращением криволинейной трапеции вокруг оси Oх, то , а если вокруг оси Оу, то [5].

а) Тело и его объем. Произвольное ограниченное множество точек пространства будем называть телом.

Основные определения и утверждения, относящиеся к телам, аналогичны соответствующим определениям и утверждениям, содержащимся в главе 4 нашей курсовой работы. Поэтому некоторые утверждения для тел (см. теоремы 1 и 2) будут опущены.

По аналогии с понятием клеточной фигуры назовем тело клеточным, если его можно представить как объединение конечного числа непересекающихся параллелепипедов, т. е. тел вида М = {{x,y,z): ≤ х ≤ , ≤у ≤ , ≤ z ≤ }, а также тел, получаемых из М удалением части границы (или всей границы) тела М. Объемом параллелепипеда М назовем число ( — )( — )( — ), а объемом клеточного тела — сумму объемов составляющих его параллелепипедов[14].

Рассмотрим подробнее. Пусть требуется найти объем V тела (рис 14), причем известны площади сечений этого тела плоскостями, перпендикулярными некоторой оси, например оси Ox:S = S(x), a≤ x≤ b[13].

Рисунок 14.

1. Через произвольную точку x [а; b] проведем плоскость П, перпендикулярную оси Ох. Обозначим через S(x) площадь сечения тела этой плоскостью; S(x) считаем известной и непрерывно изменяющейся при изменении x. Через v(x) обозначим объем части тела, лежащее левее плоскости П. Будем считать, что на отрезке [а; x] величина v есть функция от x, т. е. v = у(x) (v(a) = 0, v(b) = V).

2. Находим дифференциал dV функции v = v(x). Он представляет собой

“элементарный слой” тела, заключенный между параллельными плоскостями, пересекающими ось Ох в точках x и x + Δx, который приближенно может быть принят за цилиндр с основанием S(x) и высотой dx. Поэтому дифференциал объема dV = S(х) dх.

3. Находим искомую величину V путем интегрирования dА в пределах от a до b:

V = S(x) dx

Объем тела вращения

Пусть функция f(x) непрерывна и неотрицательна на отрезке . Тогда тело, которое образуется вращением вокруг оси Ox криволинейной трапеции, ограниченной сверху графиком функции y=f(x), имеет объем

.

Рисунок 6

Доказательство. Разобьем произвольно отрезок [a;b] на n частей точками a= . На каждом частичном отрезке [ ] построим прямоугольник (рис. 15). При вращении вокруг оси Ox каждый прямоугольник опишет цилиндр. Найдем объем i-го цилиндра, образованного вращением прямоугольника PMNQ:

,

где .

Сумма объемов всех n цилиндров приближенно равна объему данного тела вращения:

.

С другой стороны эта сумма является интегральной суммой для интеграла . Так как функция непрерывна на [a;b], то предел этой суммы при

существует и равен определенному интегралу . Таким образом,

[15].