И отказ от концепции абсолютного времени

Постоянство скорости света во всех ИСО приводит к неожиданному, на первый взгляд, выводу об относительном характере одновременности и, как следствие, к необходимости отказа от одной из фундаментальных концепций ньютоновской механики - абсолютного времени. То, что одновременные события в одной системе отсчета могут оказаться неодновременными в другой, легко понять, мысленно представив себе следующую ситуацию. Пусть в системе отсчета, связанной с неподвижной железнодорожной платформой (К - система отсчета), перемещается вагон электрички (К¢- система отсчета), имеющий две двери, управляемые световыми сигналами (рис. 5.1). В некоторый момент времени посередине между дверьми вспыхивает лампочка. Тогда для наблюдателя, находящегося в вагоне, двери откроются одновременно, так как свет распространяется в К¢ - системе отсчете во все стороны с одной и той же скоростью, а расстояния от лампочки до дверей одинаковы. В то же время наблюдатель, находящийся на платформе, увидит, что задняя дверь откроется раньше, чем передняя. Для этого наблюдателя, находящегося в К-системе отсчета, свет также распространяется во все стороны с одной и той же скоростью, но задняя дверь вагона приближается к волновому фронту, а передняя дверь, наоборот, удаляется от него. Если мы введем еще одну систему отсчета (К¢¢), связанную с быстро летящим самолетом, то легко убедиться в том, что для летчика, находящегося в самолете, передняя дверь вагона откроется раньше, чем задняя. И для этого наблюдателя свет от вспыхнувшей лампочки распространяется с одинаковой скоростью во всех направлениях (в его К¢¢-системе отсчете), но при этом вагон перемещается в направлении, противоположном направлению полета, а значит, передняя дверь вагона раньше встретится с волновым фронтом световой вспышки. Таким образом, на вопрос о том, одновременно или неодновременно открылись двери вагона и какая из этих дверей открылась раньше, должны последовать разные ответы в зависимости от того, из какой системы отсчета наблюдается движение электрички.

Приведенный пример показывает, что интервалы времени между двумя событиями зависят от того, из какой системы отсчета эти события наблюдаются, а это, в свою очередь, означает, что ход времени различен в разных ИСО. Другими словами, время нельзя рассматривать независимо от системы отсчета, с которой связана система пространственных координат: время становится одной из «координат» системы отсчета. Поэтому в СТО явления природы рассматриваются в едином четырехмерном пространстве-времени.

Неподвижная платформа

Рис. 5.1. Относительность одновременности:

в системе отсчета К (неподвижная платформа) дверь А откроется раньше, чем дверь В;

в системе отсчета K’(вагон электрички) двери откроются одновременно;

в системе отсчета К’’ (самолет) дверь В откроется раньше, чем дверь А.

5. 6. Преобразования Лоренца и «парадоксы» релятивистской кинематики

Восстановив в правах принцип относительности и постулировав постоянство скорости света во всех ИСО, Эйнштейн показал, что несоответствие уравнений Максвелла принципу относительности связано с «некорректностью» применения преобразований Галилея и что на самом деле переход от координат и времени одной ИСО к координатам и времени другой ИСО необходимо производить, используя другие формулы. Эти формулы называются преобразованиями Лоренца. Для частного случая, когда К¢-система отсчета перемещается с постоянной скоростью V вдоль оси x К-системы отсчета, они имеют следующий вид

x¢ = ; y¢ = y; z¢ = z; t¢ = ; (5.3)

где с - по-прежнему скорость света.

Уравнения Максвелла оказываются инвариантными относительно преобразований Лоренца, что полностью устраняет все противоречия классической электродинамики с принципом относительности. В то же время, легко видеть, что старые преобразования Галилея являются частным случаем преобразований Лоренца, соответствующим условию V<< c, т.е. движению объектов с малыми (по сравнению с с) скоростями.

Следствием преобразований Лоренца являются несколько выводов, которые, на первый взгляд, носят “парадоксальный” характер, но которые, тем не менее, совершенно реальны и неоднократно выдерживали опытную проверку.

1. «Сокращение» длины движущихся объектов.

Представим себе неподвижную линейку длиной L₀. Эта длина называется собственной длиной линейки, а система отсчета, в которой линейка неподвижна, - собственной системой отсчета, которую мы в дальнейшем будем обозначать К₀. Если линейка движется со скоростью V относительно другой системы отсчета (К), то для наблюдателя в этой системе отсчета линейка будет казаться короче, так что ее длина L может быть вычислена по формуле:

L = L₀ . (5.4.)

Следует отметить, что такое «сокращение» длины не связано с какими-то деформациями самой линейки, оно обусловлено тем, что одновременная фиксация концов движущейся линейки наблюдателем, находящимся в К-системе отсчета, является неодновременной в другой, в частности, в собственной системе отсчета. В результате, например, из К₀-системы отсчета кажется, что сначала фиксируется положение правого конца линейки, а через некоторое время, когда линейка сместится на некоторое расстояние, фиксируется положение левого конца. Поэтому расстояние между этими засечками оказывается меньше, чем L₀. Но, увы, наблюдатель в К-системе отсчета справедливо считает, что он фиксирует концы линейки одновременно, и заставить его измерять длину иначе нельзя. Этим и объясняется парадокс «сокращения» длины. Обратим внимание также на то, что поперечные размеры движущихся тел не изменяются по сравнению с неподвижными.

Но ведь то, что касается концов линейки, в полной мере относится и к любым точкам пространства, даже если никаких линеек в нем нет. Поэтому можно сказать, что пространство имеет разную метрику в разных ИСО.

2. «Замедление» хода движущихся часов.

Чтобы убедиться в том, что время в движущейся системе отсчета течет медленнее, чем в неподвижной, рассмотрим специальный вид часов2. Пусть эти часы представляют собой два неподвижных (К₀-система отсчета) параллельных зеркала, расположенных на расстоянии L₀ друг от друга, между которыми «бегает» световой “зайчик” (рис. 6.2). Время, за которое этот «зайчик» пробегает туда и обратно, очевидно, равно t₀ = 2L₀/с, где с - скорость света.

Неподвижные часы Движущиеся часы

Рис. 5.2. Релятивистский эффект замедления времени в движущейся системе отсчета

Пусть теперь эти часы движутся со скоростью V, например, направо. Наблюдатель, находящийся в неподвижной К-системе отсчета, видит, что «зайчик» проходит более длинный путь между зеркалами, так как

L = (5.6)

где t - время, за которое «зайчик» пробегает зигзагообразный путь в К-системе отсчета.

Так как

t = 2L/c = (2/c) , (5.6)

то, решив это уравнение относительно t, получаем:

t = (5.7)

Таким образом, интервал времени t между двумя событиями в К-системе отсчета оказывается больше, чем интервал времени t₀ между теми же событиями в К₀-системе отсчета. Поэтому и говорят, что движущиеся часы идут медленнее неподвижных.

И здесь надо отметить, что указанное замедление относится не только к часам специального вида, но и ко всем движущимся объектам. В частности, даже процессы старения живых организмов замедляются, если эти организмы движутся. Из двух близнецов тот, который отправляется в космическое путешествие (назовем его А), стареет медленнее, чем его брат (В), остающийся на Земле. С этим примером связан знаменитый «парадокс близнецов», который заключается в следующем. Если близнец А через какое-то время вернется на Землю, то он должен увидеть своего брата В заметно постаревшим (предполагается, конечно, что близнец А перемещался с околосветовой cкоростью). Это следует из того, что А двигался, а В оставался неподвижным, т.е. с точки зрения близнеца В. Но ведь можно встать на точку зрения близнеца А, который считает себя неподвижным и относительно которого его брат В сначала удалялся, а потом вернулся. И тогда следует считать, что А постареет больше, чем В.

Таким образом, мы приходим к двум взаимоисключающим друг друга выводам. А разрешение «парадокса близнецов» связано с тем, что его участники, близнецы А и В, находились в несимметричных условиях. Чтобы вернуться на Землю, близнец А должен был изменить свою скорость на противоположную, т.е. какое-то время находиться в неинерциальной системе отсчета, для которой выводы СТО неприменимы. В то же время близнец В все время находился в ИСО. С учетом этого, именно А окажется моложе, чем В.

3. Релятивистский закон преобразования скоростей.

Из школьного курса физики хорошо известна формула преобразования скоростей при переходе из одной (К) ИСО в другую (К¢):

v = v¢ + V (5.8)

где V -скорость К¢-системы отсчета относительно К-системы отсчета. Чтобы получить эту формулу достаточно продифференцировать по времени соотношение r = r¢ + Vt.

В релятивистской кинематике указанная формула не имеет места, а преобразования скоростей производятся по более сложным формулам, согласованным с преобразованиями Лоренца. В частности, x-проекции скоростей преобразуются в соответствии со следующим выражением:

v_x= , (5.9)

где предполагается, что К¢-система отсчета движется с постоянной скоростью V вдоль оси x относительно К-системы отсчета.

Пусть v¢_x = с, тогда по формуле Галилея мы бы имели v_x = с + V > c, что невозможно. В то же время по приведенной выше релятивистской формуле получается

(5.10)

так что скорость света оказывается инвариантной (не изменяется) при переходе из одной ИСО в другую.

5. 7. Релятивистская динамика и взаимосвязь массы и энергии

Еще более радикальные изменения произошли в релятивистской динамике. Прежде всего, ньютоновское понятие массы как не зависящей от скорости характеристики инерционных свойств материальных объектов становится как минимум «бесполезным». В частности, для таких «масс» нельзя записать закон сохранения импульса, справедливость которого ни у кого не вызывает сомнения. Ведь в противном случае придется допустить, что тела могут произвольно, без всяких внешних причин начать двигаться. Чтобы «спасти» закон сохранения импульса, необходимо считать массу тела m зависящей от его скорости v:

m = , (5.11)

где m₀ - масса неподвижного тела (масса покоя), с - скорость света. Из приведенной формулы следует, что при увеличении скорости тела v его масса m возрастает, а при v c m ¥. Однако, это неограниченное увеличение массы не следует понимать как увеличение количества вещества, как неограниченное «разбухание» тела. На самом деле с телом ничего не происходит. Просто чем быстрее движется тело, тем труднее изменить его скорость, а это означает увеличение инертности тела, показателем которого и является масса.

Однако, пожалуй, самым существенным выводом СТО, непосредственно повлиявшим на научно-технический прогресс, стал вывод о взаимосвязи массы и энергии. В релятивистской динамике кинетическая энергия Т тела массы m₀ не равна m₀v²/2, а определяется разностью значений полной релятивистской энергии:

Е = (5.12)

и так называемой энергии покоя:

E₀ = m₀c² . (5.13)

Кстати, легко показать, что при v << c T @ m₀v²/2, так что известная из школьного курса физики формула для кинетической энергии сохраняет свое значение для небольших скоростей движения тел.

В то же время релятивистский подход к вопросу об энергии тела резко отличается от классического. В соответствии с СТО даже неподвижное тело массы m₀, не находящееся в каких-либо внешних силовых полях, обладает энергией покоя E₀ = m₀c². Эту энергию можно трактовать как «внутреннюю» энергию тела массы m₀, даже если внутренняя структура этого тела не конкретизируется. Однако, в случае составного тела, например, атомного ядра, состоящего из нескольких нуклонов (нейтронов и протонов), физический смысл энергии покоя проясняется. Дело в том, что при сближении нуклонов и возникновении устойчивой связи между ними их энергия уменьшается на некоторую величину Е_св, которая называется энергией связи. Это следует хотя бы из того, что для разрыва этой связи нужно затратить энергию Е_св. Таким образом, энергия связанных нуклонов или, другими словами, энергия ядра E_n меньше, чем суммарная энергия образующих это ядро свободных нуклонов Е: E_n = E - Е_св. В свою очередь, это приводит к тому, что масса ядра M_n становится меньше суммарной массы составляющих это ядро свободных нуклонов М на величину D = Е_св/c², которая в ядерной физике называется дефектом массы ядра.

Зависимость удельной энергии связи Е_св/A, где А - число нуклонов в ядре, от А приведена на рис. 5.3. Самым замечательным в этой зависимости является то, что она имеет максимум при А ~ 60. Это значит, что ядра с таким числом нуклонов являются наиболее устойчивыми, стабильными. В частности, к таким ядрам относится железо с А = 56.

Рис.5.3. Зависимость удельной энергии связи в ядре от его массового числа

Чтобы из таких ядер получить другие, с большим или меньшим числом нуклонов, надо затратить энергию, часто весьма значительную. А вот деление тяжелых ядер (А > 60) и синтез легких ядер (А < 60) приводят к появлению более устойчивых ядер и сопровождаются выделением энергии. Именно последовательный синтез ядер водорода и других легких элементов лежит в основе термоядерных процессов в звездах, поддерживая огромную температуру в их недрах на протяжении миллиардов лет. Такие же неуправляемые термоядерные процессы происходят в водородной бомбе. К сожалению, создать управляемую термоядерную реакцию, которая позволила бы практически полностью решить энергетическую проблему человечества, до сих пор не удалось. Современная ядерная энергетика основана на реакции деления тяжелых ядер урана.