Второй этап компактификации искривленных измерений

Подобно тому, как это было сделано в п. 13, выражение (20.5) можно свести к двум слагаемым

‹ds^(–)2› + ‹ds⁽⁺⁾²› = ‹g_ij⁽⁺⁾›dxⁱdx^j + ‹g_ij^(–)›dxⁱdx^j = 0, (21.1)

где

(21.2)

– квадратичная форма, являющаяся результатом усреднения семи метрик из (20.4) с сигнатурами, входящими в числитель левого ранжира (13.1) или (21.4);

(21.3)

– квадратичная форма, являющаяся результатом усреднения семи усредненных метрик из (20.4) с сигнатурами, входящими в числитель правого ранжира (13.1) или (21.4).

(+ + + +) (– – – + ) (+ – – + ) (– – + – ) (+ + – – ) (– + – – ) (+ – + – ) (+ – – – )+

+ + + + + + + +

(– – – – ) (+ + + – ) (– + + – ) (+ + – +) (– – + +) (+ – + +) (– + – +) (– + + +)+

(21.4)

Таким образом, из всей совокупности l_m¸n-вакуумных флуктуаций можно выделить:

– усредненную «внешнюю» сторону 2³-l_m¸n-вакуумной протяженности (или усредненный субконт) с усредненной метрикой

ds^{(+ – – –)2} = ds^(–)2 = g_ij^(–)dxⁱdx^j с сигнатурой (+ – – –) (21.5)

где (21.6)

– усредненную «внутреннюю» сторону 2³-l_m¸n-вакуумной протяженности (или усредненный антисубконт) с метрикой

ds^{(– + + +)2} = ds⁽⁺⁾² = g_ij⁽⁺⁾dxⁱdx^j с сигнатурой (– + + +), (21.7)

где . (21.8)

Для сокращения записей знаки усреднения в метриках (21.5) – (20.8) опущены.

На рис. 21.1 условно показан усредненный участок двухсторонней 2³-l_m¸n-вакуумной протяженности, внешняя сторона которой (субконт) описывается метрикой ds^(–)2 (21.5) , а внутренняя сторона (антисубконт) – метрикой ds⁽⁺⁾² (21.7).

Внутренняя 4-мерная сторона ВП   ds(+)2 = gij(+)dxidxj , сигнатура(– + + +)

Внешняя 4-мерная сторона ВП   ds(–)2 = gij(–)dxidxj , сигнатура (+ – – –)

Рис. 21.1. Упрощенная иллюстрация участка двухсторонней 2³-l_m¸n-вакуумной протяженности (ВП),

внешняя сторона которой описывается 4-метрикой ds^(–)2, а внутренняя сторона

– 4-метрикой ds⁽⁺⁾², при ε → 0

21. Тензор 4-деформаций 2³-l_m¸n-вакуумной протяженности

Пусть исходное неискривленное метрико-динамическое состояние исследуемого участка внешней стороны 2³-l_m¸n-вакуумной протяженности (т.е. усредненного субконта) характеризуется усредненной метрикой

ds₀^(–)2 = g_ij0^(–)dxⁱ dx^j с сигнатурой (+ – – –), (22.1)

а искривленное состояние того же участка задается усредненной метрикой

ds^(–)2 = g_ij^(–)dxⁱ dx^j с той же сигнатурой (+ – – –). (22.2)

Отличие искривленного состояния участка субконта от его неискривленного состояния определяется разницей вида (19.3)

ds^(–)2 – ds₀^(–)2 = (g_ij^(–) – g_ij0^(–)) dxⁱdx^j = 2e_ij^(–)dxⁱdx^j , (22.3)

где

e_ij^(–) = ½ (g_ij^(–) – g_ij0^(–)) (22.4)

– тензор 4-деформаций локального участка субконта.

Относительное удлинение искривленного участка субконта равно [17]

. (22.5)

Откуда следует

ds^(–)2 = (1 + l^(–))²ds₀^(–)2. (22.6)

Подставляя (22.6) в (22.3) с учетом (22.4) имеем [17]

e_ij^(–) = ½ [(1 + l^(–))² – 1] g_ij0^(–), (22.7)

или в развернутом виде

e_ij^(–) = ½ [(1 + l_i^(–))(1 + l_j^(–)) cosb_ij^(–) – cosb_ij0^(–)] g_ij0^(–), (22.8)

где

b_ij0^(–) – угол между осями x_i и x_j системы отсчета, «вмороженной» в исходное неискривленное состояние исследуемого участка субконта;

b_ij^(–) – угол между осями x_i¢ и x_j¢ искаженной системы отсчета «вмороженной» в искривленное состояние того же участка субконта.

При b_ij0^(–) = p/2 выражение (22.8) принимает вид

e_ij^(–) = ½ [(1 + l_i^(–))(1 + l_j^(–)) cosb_ij^(–) – 1] g_ij0^(–). (22.9)

Для диагональных компонентов тензора 4-деформаций e_ii^(–) выражение (22.9) упрощается

e_ii ^(–) = ½ [(1 + l_i^(–))² – 1] g_ii0^(–), (22.10)

откуда следует [17]

(22.11)

Если деформации e_ij^(–) малы, то, разложив выражение (22.11) в ряд, и ограничившись первым членом ряда, получим относительное удлинение субконта

. (22.12)

Аналогично, деформация локального участка внутренней стороны 2³-l_m¸n-вакуумной протяженности (усредненного антисубконта) определяется выражением

ds⁽⁺⁾² – ds₀⁽⁺⁾² = (g_ij⁽⁺⁾ – g_ij0⁽⁺⁾)dxⁱdx ^j = 2e_ij⁽⁺⁾dxⁱdx ^j, (22.13)

где

e_ij⁽⁺⁾ = ½ (g_ij⁽⁺⁾ – g_ij0⁽⁺⁾) (22.14)

– тензор 4-деформаций локального участка антисубконта;

ds₀⁽⁺⁾² = g_ij0⁽⁺⁾dxⁱ dx^j с сигнатурой (– + + +) (22.15)

– метрика неискривленного состояние антисубконта;

ds ⁽⁺⁾² = g_ij⁽⁺⁾dxⁱ dx^j с той же сигнатурой (– + + +) (22.16)

– метрика искривленного состояние антисубконта.

Относительное удлинение антисубконта

(22.17)

Определим тензор 4-деформаций двусторонней 2³-l_m¸n-вакуумной протяженности как среднее

e_ij^(±) = ½ (e_ij⁽⁺⁾ + e_ij^(–)) = ½ (e_ij^{(– + + +)} + e_ij^{(+ – – –)}), (22.18)

или, с учетом (22.4) и (22.14)

e_ij^(±) = ½ (g_ij⁽⁺⁾ + g_ij^(–)) – ½ (g_ij0⁽⁺⁾ + g_ij0^(–)) = ½ (g_ij⁽⁺⁾ + g_ij^(–)), (22.19)

т.к. согласно «вакуумному условию» (4.6):

g_ij0⁽⁺⁾ + g_ij0^(–) = g_ij0^{(– + + +)} + g_ij0^{(+ – – –)} = 0.

Относительное удлинение локального участка двухсторонней 2³-l_m¸n-вакуумной протяженности l_i^(±) в этом случае следует вычислять с помощью формулы

, (22.20)

где

(22.21)

Поскольку в любом случае одна из компонент g_ij0^(–) или g_ij0⁽⁺⁾ является отрицательным числом, относительное удлинение (22.21) является комплексным числом.

Рис. 22.1. Соотношение отрезков ds(–) и ds(+)   Рис. 22.2. Если спроецировать такую двойную спираль на плоскость, то в месте пересечения ее линии всегда взаимно перпендикулярны

В этой связи отметим следующее важное обстоятельство. Если обе стороны выражения (22.19) умножить на dxⁱdx^j, то получим усредненную квадратичную форму

ds^(±)2 = (ds^(–)2+ ds⁽⁺⁾²) , (22.22)

которая напоминает теорему Пифагора a² + b² = c². Это означает, что отрезки линий ( )^1/2ds^(–) и ( )^1/2ds⁽⁺⁾ всегда взаимно перпендикулярны по отношению друг к другу ds ^(–)_^ ds ⁽⁺⁾ (рис. 22.1), а две линии, направленные в одном и том же направлении, могут быть всегда взаимно перпендикулярны только в том случае, когда они образуют двойную спираль (рис. 22.2).

Таким образом, усредненная метрика (22.22) соответствует отрезку «жгута», состоящего из двух взаимно перпендикулярных спиралей s^(–) и s⁽⁺⁾. При этом, также как усредненное относительное удлинение (22.21), участок данной «двойной спирали» можно описать комплексным числом

ds ^(±)= (ds ^(–)+ids ⁽⁺⁾), (22.23)

квадрат модуля которого равен (22.22).

Определение № 22.1k-жгут – это результат усреднения метрик с разными сигнатурами (где k – число усредняемых метрик, т.е. число «нитей» в «жгуте»).

В частности, усредненная метрика (22.22) называется 2-жгутом, так как она «скручена» из 2-х линий(«нитей»): ds^(–) = ds ^{(+ – – –)} и ds^(–) = ds^{(– + + +)}.

На следующем, более глубинном 16-стороннем, уровне рассмотрения метрико - динамические свойства локального участка 2⁶-l_m¸n-вакуумной протяженности характеризуются суперпозицией (т.е. аддитивным наложением или усреднением) шестнадцати 4-метрик со всеми 16-ю возможными сигнатурами (11.5), т.е. 16-жгутом:

ds_S² = 1/16 (ds^{(+ – – –)2} + ds^{(+ + + +)2} + ds^{(– – – +)2} + ds^{(+ – – +)2} +

+ ds^{(– – + –)2} + ds^{(+ + – –)2} + ds^{(– + – –)2} + ds^{(+ – + –)2} + (22.24)

+ ds^{(– + + +)2} + ds^{(– – – – )2} + ds^{(+ + + –)2} + ds^{(– + + –)2} +

+ ds^{(+ + – +)2} + ds^{(– – + +)2} + ds^{(+ – + +)2} + ds^{(– + – +)2}) = 0.

В этом случае имеем 16 тензоров 4-деформаций всех типов 4-пространств

, (22.25)

где e_ij^(p) = ½ (с_ij^(p) – с_ij0^(p)) (22.26)

– тензор 4-деформаций p-го 4-подпространства.

с_ij0^(p) – метрический тензор неискривленного участка p-го 4-подпространства;

с_ij^(p) – метрический тензор того же, но искривленного участка p-го 4-подпространства.

При 16-стороннем уровне рассмотрения общий тензор 4-деформаций e_ii(16) локального участка 2⁶-l_m¸n-вакуумной протяженности равен

e_ij(16) = 1/16 (e_ij ⁽¹⁾+ e_ij ⁽²⁾+e_ij⁽³⁾+e_ij⁽⁴⁾+e_ij⁽⁵⁾+e_ij⁽⁶⁾+e_ij⁽⁷⁾+e_ij⁽⁸⁾+e_ij⁽⁹⁾+

+e_ij⁽¹⁰⁾+e_ij⁽¹¹⁾+e_ij⁽¹²⁾+e_ij⁽¹³⁾+e_ij⁽¹⁴⁾+e_ij⁽¹⁵⁾+e_ij⁽¹⁶⁾), (22.27)

а относительное удлинение локального участка вакуума в этом случае следует вычислять по формуле

l_{i (16)} = η₁ l_i ⁽¹⁾₍₁₆₎ + η₂ l_i ⁽²⁾₍₁₆₎ + η₃ l_i ⁽³⁾₍₁₆₎ +…+ η₄ l_i ⁽¹⁶⁾₍₁₆₎ , (22.28)

где

. (22.29)

где η_m (где m = 1, 2, 3, … , 16) – ортонормированный базис объектов, удовлетворяющих антикоммутационному соотношению алгебры Клиффорда

η_mη_n + η_nη_m = 2δ_mn, (22.30)

где δ_nm – единичная 16´16-матрица.

При этом участок 16-жгута состоит из шестнадцати «нитей»:

ds ₍₁₆₎ = η₁ ds^{(+– – –)} + η₂ ds^{(+ + + +)} + η₃ ds^{(– – – +)} + η₄ ds^{(+ – – +)} +

+ η₅ ds^{(– – + –)} + η₆ ds^{(+ + – –)} + η₇ ds^{(– + – –)} + η₈ ds^{(+ – + –)} + (22.31)

+ η₉ ds^{(– + + +)} + η₁₀ ds^{(– – – –)} + η₁₁ ds^{(+ + + –)} + η₁₂ ds ^{(– + + –)} +

+ η₁₃ ds^{(+ + – +)} + η₁₄ ds^{(– – + +)} + η₁₅ ds^{(+ – + +)} + η₁₆ ds^{(– + – +)} = 0.

Если все линейные формы ds^{(+– – –)}, ds^{(+ + + +)}, … , ds^{(– + – +)} удается представить в диагональном виде, то в соответствии с (14.13) в выражение (22.31) можно представить в спинтензорном виде

ds ₍₁₆₎ = +

+ +

+ +

+ +

+ +

+ +

+ +

+ +

+ +

+ +

+ +

+

+ +

+ +

+ +

+ (22.32)

Возможны еще более глубинные 2ⁿ-сторонние уровни рассмотрения метрико - динамических свойств «вакуума» (пп. 1.2.9, 1.2.13 в [5]), с расширением количества компонент метрического тензора до бесконечности.