Дираковское «расслоение» квадратичной формы

Рассмотрим дираковское «расслоение» квадратичной формы на примере метрики

Дираковское «расслоение» квадратичной формы - student2.ru = dx02 + dx12 + dx22 + dx32с сигнатурой (+ + + +). (15.1)

Представим данную метрику в виде произведения двух аффинных (линейных) форм

Дираковское «расслоение» квадратичной формы - student2.ru .(15.2)

Раскрывая в данном выражении скобки, получим

Дираковское «расслоение» квадратичной формы - student2.ru (15.3)

Существует, по крайней мере, два варианта определения величин gm , удовлетворяющих условию равенства выражений (15.1) и (15.3):

1) метод клиффордовых агрегатов (например, кватернионов);

2) метод Дирака.

В первом случае линейные формы, входящие в выражение (15.2), представляются в виде пары аффинных агрегатов с условными названиями:

Дираковское «расслоение» квадратичной формы - student2.ru – «личина» метрической протяженности(15.4)

с сигнатурой(+ + + +) (опр. 24.1);

Дираковское «расслоение» квадратичной формы - student2.ru – «изнанка» метрической протяженности(15.5)

с сигнатурой(+ + + +) (опр. 24.2),

где gm – объекты, удовлетворяющие антикоммутативному отношению алгебры Клиффорда

gmgη + g η gm = 2dm η , (15.6)

где

Дираковское «расслоение» квадратичной формы - student2.ru – символы Кронекера(15.7)

Во втором случае, метод Дирака предполагает вместо символов Кронекера (15.7)использовать единичную матрицу

Дираковское «расслоение» квадратичной формы - student2.ru (15.8)

тогда условию (15.6)удовлетворяет, например, следующий набор 4´4-матриц Дирака:

Дираковское «расслоение» квадратичной формы - student2.ru (15.9)

Эти матрицы можно рассматривать в качестве образующих соответствующей алгебры Клиффорда.

В этом случае выражение (15.3)приобретает матричный вид

Дираковское «расслоение» квадратичной формы - student2.ru , (15.10)

где Дираковское «расслоение» квадратичной формы - student2.ru (15.11)

Выражение (15.10) с учетом (15.8) может быть представлено в виде

Дираковское «расслоение» квадратичной формы - student2.ru (15.12)

Вернемся к квадратичной форме (15.1) и ее дираковскому расслоению (15.10)

Дираковское «расслоение» квадратичной формы - student2.ru (15.13)

где Дираковское «расслоение» квадратичной формы - student2.ru (15.14)

Рассмотрим всевозможные варианты записи выражения (15.13).

Воспользуемся следующим базисом из шестнадцати всевозможных γ-матриц Дирака:

Дираковское «расслоение» квадратичной формы - student2.ru

(15.15)

Метод Дирака, в отличие от метода аффинных агрегатов, позволяет одновременно «расслаивать» сразу четыре метрических пространства с четырьмя метриками, являющимися компонентами матрицы (15.11).

В Алгебре сигнатур рассматриваются квадратичные формы (13.7) с шестнадцатью всевозможными сигнатурами.

d сигнатурами.ких протяженностей с различными сигнатурами.s(+ + + +)2 = dx02 + dx12 + dx22 + dx32 ds(– – – +)2 = – dx02 – dx12 – dx22 + dx32 ds(+ – – +)2 = dx02 – dx12 – dx22 + dx32 ds(+– – –)2 = dx02 – dx12 – dx22 – dx32 ds(– – + –)2 = – dx02 – dx12 + dx22 – dx32 ds(– + – –)2 = – dx02 + dx12 – dx22 – dx32 ds(+ – + –)2 = dx02 – dx12 + dx22 – dx32 ds(+ + – –)2 = dx02 + dx12 – dx22 – dx32 ds(– – – – )2 = – dx02 – dx12 – dx22 – dx32 ds(+ + + –)2 = dx02 + dx12 + dx22 – dx32 ds (– + + –)2 = – dx02 + dx12 + dx22 – dx32 ds(– + + +)2 = – dx02 + dx12 + dx22 + dx32 ds(+ + – +)2 = dx02 + dx12 – dx22 + dx32 ds(+ – + +)2 = dx02 – dx12+ dx22 + dx32 ds(– + – +)2 = – dx02 + dx12 – dx22 + dx32 ds(– – + +)2 = – dx02 – dx12 + dx22 + dx32

Каждую из них можно также «расслоить» по методу Дирака

Дираковское «расслоение» квадратичной формы - student2.ru , (15.16)

где

gm(a)gh (b) = bmh (ab) ,(15.17)

но в этом случае каждая bmh(ab)-матрица имеет соответствующую сигнатуру:

Дираковское «расслоение» квадратичной формы - student2.ru (15.18)

Знаки перед единицами в диагональных bmh(ab)-матрицах соответствуют наборам знаков в компонентах матрицы сигнатур (11.5).

Дираковское «расслоение» квадратичной формы - student2.ru

В этом пункте для краткости верхние индексы будем временно опускать, и вместо «bmh(ab)-матрица» будем писать «bmh-матрица».

Вернемся к дираковскому «расслоению» квадратичной формы (15.10)

Дираковское «расслоение» квадратичной формы - student2.ru (15.19)

где

Дираковское «расслоение» квадратичной формы - student2.ru (15.20)

и рассмотрим всевозможные варианты ее раскрытия.

Каждой из шестнадцати γ-матриц (15.15) можно подобрать вторую γct-матрицу из этого же набора, такую, что их произведение равно bmh-матрице (15.20). Например:

Дираковское «расслоение» квадратичной формы - student2.ru (15.21)

Каждая γ-матрица (15.15) может иметь одну из 16-ти возможных стигнатур. Например:

Дираковское «расслоение» квадратичной формы - student2.ru

(15.22)

Для каждой из этих γij-матриц также можно подобрать вторую γctnj-матрицу, произведение с которой приводит к bmh-матрице (15.20). Таким образом, с учетом 16-и стигнатур из 16-и γ-матриц (15.15) получается 16 ´16 = 256 γij-матриц.

Каждую γij-матрицу (15.22) можно превратить в одну их 16-и смешанных матриц. Поясним данное утверждение на примере γ1113-матрицы:

Дираковское «расслоение» квадратичной формы - student2.ru

(15.23)

При подобном размешивании всех двухсот пятидесяти шести γij-матриц (15.23) получается базис из 163 = 256 ´ 16 = 4096 nkγij-матриц. Следовательно, в этом случае bmh-матрица (15.20) может быть задана одой из 4096 произведений пар nkγij-матриц.

В свою очередь, все шестнадцать bmh-матриц (15.18) могут быть заданы 164 = 65536 различными вариантами парных произведений vcnk γ lmij-матриц.

Подобным образом можно продолжать наращивание базиса обобщенных γ-матриц Дирака практически до бесконечности.

Будем называть всю совокупность vcnk γ lmij-матриц обобщенными матрицами Дирака, а lm¸n-вакуум, препарированный посредством этих матриц, будем называть дираковским lm¸n-вакуумом.

Напомним, что если, например, метрика равна нулю

i I H V H¢

Дираковское «расслоение» квадратичной формы - student2.ru ,

то она описывает распространение одного из «цветных» лучей света. Внутренние и внешние аспекты Глубинной Философии данной математики сводятся воедино: «Пустота» на которой Наречены свойства Непроизносимого Имени ТВОРЦА ה-ו-ה-י (H¢VHI) – это Бесконечная Потенция Возможного и Неисчерпаемый Источник Внутреннего Сияния.

Выше было рассмотрено дираковское «расслоение» только одной квадратичной формы (15.1). Точно так же «расслаиваются» все остальные метрики (15.16), создавая невообразимо гармоничное, «цветное» сияние.

Будем называть всю совокупность vcnk γ lmij-матриц обобщенными матрицами Дирака, а lm¸n-вакуум, препарированный посредством этих матриц, будем называть дираковским lm¸n-вакуумом.

Итак, при детальном рассмотрении выясняется, что мир поворотов и вращений каждого поперечного слоя локального участка lm¸n-вакуума столь же разнообразен, гармоничен и бесконечен, как и бесконечно разнообразие продольных и поперечных 4-пространств, на которые «расслаивается» исследуемый участок «вакуума».

Это как пока был Храм в Иерусалиме, четыре смены коэнов и левитов непрестанно возносили Хвалу Г-СПОДУ все 24 часа суток. Богослужение в Иерусалимском Храме не прекращалась ни на секунду. Так и ныне, когда нет Иерусалимского Храма, не утихает глас восхваления и обращения к Г-СПОДУ круглые сутки.

По мере захода и восхода солнца к Храмовым Службам (шахарису, минхе и мариву) присоединяются все новые и новые синагоги, церкви и мечети в разных городах мира. Откуда видим, что Храмовая Служба есть мировой инвариант, независящий от времени, места и обстоятельств. Форма меняется, но Содержание остается прежним.

Наши рекомендации