Вращательное движение твердых тел
· Момент инерции материальной точки
где — масса точки;
— расстояние от точки до оси вращения.
· Моменты инерции тел правильной геометрической формы (тела считаются однородными; — масса тела) представлены в таблице:
Тело | Положение оси вращения | Момент инерции |
Полый тонкостенный цилиндр или кольцо радиусом R | Ось симметрии | ![]() |
Сплошной цилиндр или диск радиусом R | Ось симметрии | ![]() |
Прямой тонкий стержень длиной l | Ось перпендикулярна стержню и проходит через его середину | ![]() |
Прямой тонкий стержень длиной l | Ось перпендикулярна стержню и проходит через его конец | ![]() |
Шар радиусом R | Ось проходит через центр шара | ![]() |
· Теорема Штейнера
где - момент инерции тела относительно оси, проходящей через центр масс;
– момент инерции относительно параллельной оси, отстоящей от первой на расстоянии
;
– масса тела.
Пример: Найти момент инерции шара относительно оси , находящейся на расстоянии
от поверхности шара (рис.4).
Здесь
;
.
Следовательно,
.
Кинетическая энергия тела, вращающегося вокруг неподвижной оси z,
где - момент инерции тела относительно оси
;
- его угловая скорость.
· Кинетическая энергия тела, катящегося по плоскости без скольжения,
где – масса тела;
– скорость центра масс тела;
– момент инерции тела относительно оси, проходящей через его центр масс;
- угловая скорость тела.
· Момент силы относительно неподвижной точки
где - радиус-вектор, проведенный из этой точки в точку приложения силы
. Модуль момента силы относительно неподвижной оси
,
где – плечо силы (кратчайшее расстояние между линией действия силы и осью вращения),
– угол между направлениями силы и радиуса-вектора. Направление момента силы совпадает с осью, относительно которой происходит вращение, и может быть определено по правилу буравчика.
· Работа при вращении тела
где – угол поворота тела;
– момент силы относительно оси
.
· Момент импульса (момент количества движения) твердого тела (рис. 5) относительно оси вращения
![]() |
где
![вращательное движение твердых тел вращательное движение твердых тел - student2.ru](/images/fizika/vrashhatelnoe-dvizhenie-tverdykh-tel-1646393-43.gif)
![вращательное движение твердых тел вращательное движение твердых тел - student2.ru](/images/fizika/vrashhatelnoe-dvizhenie-tverdykh-tel-1646393-23.gif)
![вращательное движение твердых тел вращательное движение твердых тел - student2.ru](/images/fizika/vrashhatelnoe-dvizhenie-tverdykh-tel-1646393-45.gif)
![вращательное движение твердых тел вращательное движение твердых тел - student2.ru](/images/fizika/vrashhatelnoe-dvizhenie-tverdykh-tel-1646393-22.gif)
![вращательное движение твердых тел вращательное движение твердых тел - student2.ru](/images/fizika/vrashhatelnoe-dvizhenie-tverdykh-tel-1646393-23.gif)
![вращательное движение твердых тел вращательное движение твердых тел - student2.ru](/images/fizika/vrashhatelnoe-dvizhenie-tverdykh-tel-1646393-24.gif)
Рис.5
· Уравнение (закон) динамики вращательного движения твердого тела относительно неподвижной оси
где – угловое ускорение;
– момент инерции тела относительно оси
.
· Закон сохранения момента импульса для замкнутой системы тел
Пример: Платформа в форме диска массой и радиусом
вращается относительно вертикальной оси, проходящей через ось симметрии. На краю платформы стоит человек массой
(рис. 6). Как изменится угловая скорость вращения, если человек перейдёт на расстояние
ближе к оси (рис. 7) (человека считать материальной точкой)?
![]() | ![]() |
Рис . 6 Рис. 7
По закону сохранения момента импульса
,
где и
- моменты инерции платформы с человеком, т.е.
;
.
Получаем: