Математическое описание стоячих волн

В одномерном случае две волны одинаковой частоты, длины волны и амплитуды, распространяющиеся в противоположных направлениях (например, навстречу друг другу), будут взаимодействовать, в результате чего может возникнуть стоячая волна. Например, гармоническая волна, распространяясь вправо, достигая конца струны, производит стоячую волну. Волна, что отражается от конца, должна иметь такую ​​же амплитуду и частоту, как и падающая волна.

Рассмотрим падающую и отраженную волны в виде:

где:

• y₀ — амплитуда волны,
• — циклическая (угловая) частота, измеряемая в радианах в секунду,
• k — волновой вектор, измеряется в радианах на метр, и рассчитывается как 2p, поделённое на длину волны l,
• x и t — переменные для обозначения длины и времени.

Поэтому результирующее уравнение для стоячей волны y запишется в виде суммы y₁ и y₂:

Используя тригонометрические соотношения, это уравнение можно переписать в виде:

Теория лабораторной работы

Интересный случай интерференции наблюдается при наложении двух встречных волн с одинаковой амплитудой и разностью фаз равной p/2. Возникающий в результате этого колебательный процесс называется стоячей волной. Практически стоячие волны возникают при отражении волн от преград. Падающая на преграду волна и бегущая ей навстречу отраженная, налагаясь друг на друга, образуют стоячую волну. Стоячие волны характеризуются точками, в которых колебания отсутствуют (точки А на рис.5), – узлами, и точками, амплитуда колебаний в которых максимальна (точки В на рис.5) – пучностями.

На рис. 5 по оси X откладывают направление движения волны, а по оси Y – величину смещения точек.

B

Y

B

B

B

B

A

A

A

Рис.5

X

A

Более плотная среда

Колебания во всех точках стоячей волны, лежащих между двумя соседними узлами, происходит с различными амплитудами, но одинаковыми фазами. Расстояние между соседними узлами или пучностями называется длиной стоячей волны (l_ст). Длина бегущей волны связана с l_ст очевидным образом: l = 2l_ст.

Описание установки

В экспериментальной установке, состоящей из звукового генератора с телефоном, который играет роль излучателя, и трубы с подвижным поршнем звуковые волны распространяются вдоль трубы. Стоячие волны образуются из прямой волны, идущей от телефона к поршню, и из отраженной от поршня волны. При определенных условиях в трубе возникает резонанс.

В данном случае имеем акустический резонанс, т.е. явление, при котором колебания столба воздуха в трубе достигают максимальной амплитуды. Это происходит тогда, когда частота звуковых колебаний мембраны телефона (внешняя, вынуждающая сила) сравнивается с одной из собственных частот колебаний воздушного столба в трубе. Эта частота называется резонансной частотой. При резонансной частоте звучание воздушного столба в трубе максимально.

Для наблюдения акустического резонанса необходимо, чтобы длина столба воздуха в трубе l_m удовлетворяла условию:

,

где m – количество резонансных усилений звука (пучностей), наблюдаемых при перемещении поршня от 0 до l_m.

Зная длину звуковой волны l и частоту n, которая указана на звуковом генераторе, определяют скорость распространения волны в воздухе по формуле

v = ln.

В общем случае скорость распространения волн может зависеть от длины волны. Это явление называется дисперсией волн. Определяя скорость звука для разных длин волн (соответственно разных частот), можно убедиться, что для звуковых волн дисперсия не наблюдается.