Рассмотрим теперь случай, когда имеется поток массы через поверхность сильного разрыва, т.е.
(5)
В этом случае также возможны два вида сильных разрывов.
а) Плотность непрерывна, т.е. ρ1 = ρ2 = ρ .
В этом случае из (5) имеем, что и нормальная компонента скорости непрерывна, т.е.
(6)
Разрешая (3) и (8) прошлой лекции относительно {Vτ} или {Bτ}, получим
(7)
т.е. газ относительно поверхности разрыва движется со альфвеновской скоростью, или, обратно, в системе координат, связанной с газом этот разрыв движется со скоростью Альфвена. Рассмотрим теперь изменение других параметров в этом разрыве. Очевидно, что из-за непрерывности плотности и нормальной компоненты скорости в этом разрыве будет иметь место соотношение (2). Преобразуем теперь уравнение энергии (7) прошлой лекции, разделив это уравнение на ρVnи используя (7) и
Получим
Второй член этого уравнения равен нулю согласно (2), а третий равен нулю вследствие (8) прошлой лекции и (7). В результате получим, что в рассматриваемом разрыве внутренняя энергия непрерывна. Поскольку плотность в этом разрыве также непрерывна, то все термодинамические функции непрерывны, включая гидростатическое давление. Тогда из (2) следует, что абсолютная величина магнитного поля непрерывна. Магнитное поле может только изменять свое направление в этом разрыве. Если рассмотреть систему координат, движущуюся вдоль поверхности сильного разрыва со скоростью
Второй член этого уравнения равен нулю согласно (2), а третий равен нулю вследствие (8) прошлой лекции и (7). В результате получим, что в рассматриваемом разрыве внутренняя энергия непрерывна. Поскольку плотность в этом разрыве также непрерывна, то все термодинамические функции непрерывны, включая гидростатическое давление. Тогда из (2) следует, что абсолютная величина магнитного поля непрерывна. Магнитное поле может только изменять свое направление в этом разрыве. Если рассмотреть систему координат, движущуюся вдоль поверхности сильного разрыва со скоростью
то в этой системе координат скорости и магнитное поле параллельны и могут вращаться вокруг перпендикуляра относительно поверхности разрыва. Такие разрывы называются вращательными или альфвеновскими разрывами. Таким разрывам нет аналога в обычной гидродинамике.
б) Плотность терпит разрыв, т.е. ρ1 ≠ ρ2 . Из закона сохранения массы следует, что и нормальная компонента скорости терпит разрыв (V1n≠ V2n). Такие разрывы называются ударными волнами.Их теория в магнитной гидродинамике очень сложна, а разрешение соотношений параметров на ударных волнах относительно поверхности разрыва (типа соотношений Гюгонио в газовой динамике) возможно только в отдельных частных случаях. С деталями можно ознакомиться по книге А.Г. Куликовского и Г.А. Любимова «Магнитная гидродинамика» (Физматгиз, М., 1962).
Лекция 10
Приведем теперь пример точного решения уравнений магнитной гидродинамики, когда нельзя считать, что магнитное поле «вморожено» в газ, т.е. эффектом диффузии магнитного поля пренебречь нельзя. Поскольку магнитное число Рейнольдса в этом случае меньше или порядка единицы, то уравнение индукции магнитного поля будет иметь вид (см. Лекцию 4)
(1)