Понятие о классической статистике

· Вероятность того, что случайная величина x примет значение :

,

где N – полное число измерений, N_i – число опытов, в которых величина x принимает значение .

· Условие нормировки. Сумма вероятностей по всем возможностям есть достоверное событие, вероятность которого равна единице:

.

· Среднее арифметическое значение случайной величины x:

, или ,

где – значение величины x в i-том измерении; N – число измерений; – вероятность того, что величина x принимает значение .

· Среднее квадратичное случайной величины x:

.

· Вероятность dw того, что случайная величина принимает значения в интервале от x до x+dx ( ), прямо пропорциональна величине интервала dx:

,

где коэффициент пропорциональности f(x), зависящий от x, это – функция распределения вероятностей случайной величины x.

· Условие нормировки функции распределения вероятностей:

, или .

· Вероятность dw того, что молекула идеального газа имеет скорость в промежутке от до ( ), равна отношению числа молекул, обладающих скоростями в заданном промежутке, к полному числу молекул N:

.

· Число молекул идеального газа, имеющих скорости в промежутке от до ( ), пропорционально полному числу молекул N и величине интервала скоростей :

,

где – функция распределения Максвелла (см. рис.6.1), равная

.

Здесь – масса одной молекулы; – постоянная Больцмана; T – абсолютная температура. Если интервал скоростей мал: , то число молекул со скоростями равно

;

иначе

.

· Доля молекул идеального газа, имеющих скорости в промежутке от до ( ), равна .

· Характерные скорости молекул газа:

- средняя арифметическая: , или

;

- средняя квадратичная: , где , или

;

- наиболее вероятная (соответствует максимуму функции распределения Максвелла, см. рис. 6.1):

.

Здесь – функция распределения Максвелла по скоростям; – масса одной молекулы; – молярная масса газа; – постоянная Больцмана; T – абсолютная температура; – универсальная газовая постоянная.

· Распределение Больцмана– это равновесное распределение частиц в потенциальном поле:

, или .

Здесь – концентрации частиц в произвольной точке силового поля; – их потенциальная энергия в данной точке; – концентрации частиц в точке, где потенциальная энергия равна нулю; – постоянная Больцмана; T – абсолютная температура; n₁ и n₂ – концентрации частиц в двух точках потенциального поля; ΔE=E₂–E₁ – разность их потенциальных энергий в этих точках.

· Барометрическая формула – закон уменьшения давления p идеального газа с высотой h в однородном потенциальном поле при постоянной температуре:

.

Здесь μ – молярная масса газа, p₀ –давление при h=0, T – абсолютная температура, m₀ – масса молекулы, R – универсальная газовая постоянная.

Явления переноса

· Среднее число столкновений молекулы с другими молекулами в единицу времени:

, ,

где – эффективное сечение молекулы; n – концентрация молекул; – средняя арифметическая скорость молекул; – средняя длина свободного пробега.

· Среднее время свободного пробега (средняя продолжительность свободного пробега):

, .

· Эффективное сечение молекулы

,

где d – эффективный диаметр молекулы.

· Средняя длина свободного пробега

, ,

где n – концентрация молекул; – эффективное сечение молекулы; d – эффективный диаметр молекулы.

· Уравнение диффузии (закон Фика).Число частиц , перенесённых за время через малую площадку , пропорционально градиенту концентрации вдоль оси OZ, перпендикулярной площадке:

, или .

Здесь D – коэффициент диффузии, равный

.

· Масса вещества, перенесённого за время через площадку :

,

где – градиент плотности, D – коэффициент диффузии.

· Закон Ньютона для вязкости. Сила вязкого трения, возникающая между слоями газа, движущимися параллельно, но с разными скоростями, пропорциональна градиенту скорости направленного движения слоёв в направлении, перпендикулярном скорости (рис. 6.2):

,

где – площадь слоёв; – динамическая вязкость.

· Импульс, перенесённый за время через площадку в результате действия сил вязкости:

,

где – градиент скорости, – коэффициент динамической вязкости.

· Коэффициент динамической вязкости (вязкость):

, ,

где – плотность газа; – средняя арифметическая скорость молекул; – средняя длина свободного пробега; D – коэффициент диффузии.

· Закон Фурье. Количество теплоты, перенесённой через малую площадку за время в результате теплопроводности, пропорционально градиенту температуры :

,

где – коэффициент теплопроводности, равный

, или , или .

Здесь – плотность газа; – средняя арифметическая скорость молекул; – средняя длина свободного пробега; D – коэффициент диффузии; – коэффициент динамической вязкости; и – удельная и молярная теплоемкости идеального газа при постоянном объёме; i – число степеней свободы; – молярная масса газа, R – универсальная газовая постоянная.