Приложения поверхностного интеграла I рода

1. Моменты инерции

Моменты инерции части поверхности относительно осей координат выражаются поверхностными интегралами

, ,

. (3.5)

2. Координаты центра тяжести

Координаты центра тяжести части поверхности вычисляются по формулам:

, ,

. (3.6)

Пример 3.1.Вычислить моменты инерции относительно осей координат для поверхности цилиндра

х² + у² = 9, z = 0, z = 3

с поверхностной плотностью g(х,у) = х² + у².

Рис. 3.2

Решение. Воспользуемся формулами (3.5). Известно, что момент инерции тела равен сумме моментов инерции его частей, поэтому для всей поверхности цилиндра

I = I₁ + I₂ + I₃,

где I₁, I₂, I₃ - моменты инерции оснований и боковой поверхности.

1) Рассмотрим основание цилиндра, лежащее в плоскости xOy, т.е. z = 0. Здесь поверхность S₁ совпадает с двумерной областью D, т.е. элемент поверхности равен ds= dxdy. Таким образом, поверхностный интеграл обращается в двойной:

.

Перейдем к полярным координатам: , тогда область интегрирования D будет определяться неравенствами: , . Момент инерции:

.

Для оси Ох:

.

Основание симметрично относительно оси Oz, поэтому .

2) Для основания цилиндра, лежащего в плоскости z = 3, рассуждения аналогичны.

.

3) Боковую поверхность цилиндра зададим параметрически: , z = z. Тогда поверхностный интеграл будем вычислять по формуле (3.4). Новыми переменными являются t и z.

,

,

.

Тогда и ds =3 dt dz.

Область интегрирования D: , .

= .

.

4) Моменты инерции всей поверхности находятся как суммы соответствующих моментов частей поверхности:

.

.

Ответ: моменты инерции поверхности равны

I_x= , I_y= , I_z=1944p.

Пример 3.2. Найти координаты центра тяжести поверхности S, заданной уравнениями и z = 4, если поверхностная плотность .

Рис. 3.3

Решение. Поверхность состоит из двух частей: основания S₁ и боковой поверхности S₂. Из механики известно, что координаты центра тяжести (x_c, y_c, z_c) всей поверхности определяются через координаты центров тяжести его частей (x_ci, y_ci, z_ci) следующим образом:

,

, ,

Рис. 3.3

где m_i - масса i-ой части поверхности.

Так как тело симметрично относительно оси Oz, то x_c = = y_c = 0. Аппликату центра тяжести найдем из соотношения:

.

1) Найдем массу основания S₁ по формуле (3.2). Так как основание лежит в плоскости параллельной хОу, то элемент поверхности ds= dxdy и поверхностный интеграл обращается в двойной, где область интегрирования D есть проекция основания:

.

Перейдем к полярным координатам: , тогда область интегрирования D будет определяться неравенствами: , .

.

Найдем z_c1 по формуле (3.6), учитывая, что z = 4:

= .

2) Боковая поверхность S₂ определяется уравнением , тогда из (3.3) следует, что элемент поверхности

.

Масса боковой поверхности:

= .

Аппликата z_с2:

.

3) Для всей поверхности:

= .

Ответ: координаты центра тяжести поверхности:

.

ПОВЕРХНОСТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ

ВТОРОГО РОДА

Пусть в каждой точке поверхности S определен некоторый вектор или задано векторное поле

,

где P, Q, R - непрерывные функции, и пусть - единичный вектор нормали к поверхности.

Определение. Предел интегральных сумм

Рис. 3.4

при стремлении максимального диаметра площадок Ds_i к нулю называется поверхностным интегралом второго рода или поверхностным интегралом от векторной функции,

.

Координаты единичного вектора нормали есть направляющие косинусы, т.е.

,

тогда скалярное произведение можно расписать через координаты

.

Произведение ∆σ ·cosα есть проекция площадки ∆σ на плоскость yOz, т.е. ∆σ_yz. Аналогично получим остальные проекции,

.

Суммируя и переходя к пределу, запишем поверхностный интеграл второго рода в другом виде, по координатам

, (3.7)

где S⁺ - сторона поверхности, задаваемая направлением нормали .

При переходе к другой стороне S ^- поверхности S интеграл второго рода меняет знак на противоположный.