Приложения поверхностного интеграла I рода
1. Моменты инерции
Моменты инерции части поверхности относительно осей координат выражаются поверхностными интегралами
,
,
. (3.5)
2. Координаты центра тяжести
Координаты центра тяжести части поверхности вычисляются по формулам:
,
,
. (3.6)
Пример 3.1.Вычислить моменты инерции относительно осей координат для поверхности цилиндра
![]() |
х2 + у2 = 9, z = 0, z = 3
с поверхностной плотностью g(х,у) = х2 + у2.
Рис. 3.2 |
Решение. Воспользуемся формулами (3.5). Известно, что момент инерции тела равен сумме моментов инерции его частей, поэтому для всей поверхности цилиндра
I = I1 + I2 + I3,
где I1, I2, I3 - моменты инерции оснований и боковой поверхности.
1) Рассмотрим основание цилиндра, лежащее в плоскости xOy, т.е. z = 0. Здесь поверхность S1 совпадает с двумерной областью D, т.е. элемент поверхности равен ds= dxdy. Таким образом, поверхностный интеграл обращается в двойной:
.
Перейдем к полярным координатам: , тогда область интегрирования D будет определяться неравенствами:
,
. Момент инерции:
.
Для оси Ох:
.
Основание симметрично относительно оси Oz, поэтому .
2) Для основания цилиндра, лежащего в плоскости z = 3, рассуждения аналогичны.
.
3) Боковую поверхность цилиндра зададим параметрически: , z = z. Тогда поверхностный интеграл будем вычислять по формуле (3.4). Новыми переменными являются t и z.
,
,
.
Тогда и ds =3 dt dz.
Область интегрирования D: ,
.
= .
.
4) Моменты инерции всей поверхности находятся как суммы соответствующих моментов частей поверхности:
.
.
Ответ: моменты инерции поверхности равны
Ix= , Iy=
, Iz=1944p.
Пример 3.2. Найти координаты центра тяжести поверхности S, заданной уравнениями и z = 4, если поверхностная плотность
.
![]() |
Решение. Поверхность состоит из двух частей: основания S1 и боковой поверхности S2. Из механики известно, что координаты центра тяжести (xc, yc, zc) всей поверхности определяются через координаты центров тяжести его частей (xci, yci, zci) следующим образом:
,
,
,
Рис. 3.3 |
где mi - масса i-ой части поверхности.
Так как тело симметрично относительно оси Oz, то xc = = yc = 0. Аппликату центра тяжести найдем из соотношения:
.
1) Найдем массу основания S1 по формуле (3.2). Так как основание лежит в плоскости параллельной хОу, то элемент поверхности ds= dxdy и поверхностный интеграл обращается в двойной, где область интегрирования D есть проекция основания:
.
Перейдем к полярным координатам: , тогда область интегрирования D будет определяться неравенствами:
,
.
.
Найдем zc1 по формуле (3.6), учитывая, что z = 4:
= .
2) Боковая поверхность S2 определяется уравнением , тогда из (3.3) следует, что элемент поверхности
.
Масса боковой поверхности:
= .
Аппликата zс2:
.
3) Для всей поверхности:
= .
Ответ: координаты центра тяжести поверхности:
.
ПОВЕРХНОСТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
ВТОРОГО РОДА
Пусть в каждой точке поверхности S определен некоторый вектор или задано векторное поле
,
где P, Q, R - непрерывные функции, и пусть - единичный вектор нормали к поверхности.
Определение. Предел интегральных сумм
Рис. 3.4 |
при стремлении максимального диаметра площадок Dsi к нулю называется поверхностным интегралом второго рода или поверхностным интегралом от векторной функции,
.
Координаты единичного вектора нормали есть направляющие косинусы, т.е.
,
тогда скалярное произведение можно расписать через координаты
.
Произведение ∆σ ·cosα есть проекция площадки ∆σ на плоскость yOz, т.е. ∆σyz. Аналогично получим остальные проекции,
.
Суммируя и переходя к пределу, запишем поверхностный интеграл второго рода в другом виде, по координатам
, (3.7)
где S+ - сторона поверхности, задаваемая направлением нормали .
При переходе к другой стороне S - поверхности S интеграл второго рода меняет знак на противоположный.