Мера Жордана. Двойной интеграл по измеримой по Жордану области. Свойства двойного интеграла. Теорема о среднем. Вычисление двойного интеграла
1. Мера Жордана. Критерий измеримости
Пусть - ограниченное множество, А- прямоугольник,
,
- характеристическая функция множества E.
Определение.Множество Е измеримо по Жордану или имеет объем , если
, при этом
.
Это определение на самом деле не зависит от выбора прямоугольника А и в этом смысле является корректным. Пусть
- множество всех внутренних точек множества Е,
- внешность множества Е или внутренность дополнения множества Е,
-граница множества Е.
Теорема. (Критерий измеримости по Жордану). Е измеримо по Жордану тогда и только тогда, когда
Доказательство.Е измеримо по Жордану
.
Докажем равенство , т.е. что множество точек разрыва характеристической функции совпадает с границей множества.
Рассмотрим три случая для точек прямоугольника А
1. Точка . Тогда существует окрестность
такая, что
.
2. Точка существует окрестность
такая, что
.
3. Точка
.
2. Двойной интеграл по измеримой по Жордану области. Достаточное условие интегрируемости
Пусть ограниченное множество, А- прямоугольник,
-ограниченная функция,
.
Определение.Функция , если
. При этом
.
Можно показать, что это определение корректное, т.е. не зависит от выбора прямоугольника А.
Отметим, в частности, что по этому определению .
Теорема. (Достаточное условие интегрируемости по Риману). Если и Е измеримо по Жордану, то функция
.
Доказательство.Достаточно доказать следующее включение
.
Пусть , Е измеримо по Жордану, т.е.
.
Пусть - точка непрерывности функции
,
, т.е существует окрестность
:
.
Отсюда следует, что - точка непрерывности функции
.
Пусть , т.е. существует окрестность
:
. Это также точка непрерывности
.
Искомое включение доказано. Теорема доказана.
3. Свойства двойного интеграла. Теорема о среднем
Будем предполагать, что все множества является измеримыми по Жордану.
Отметим следующие свойства интеграла Римана.
1. Если
(линейность интеграла Римана по функциям).
2. Если .
3. Если , то
(линейность интеграла Римана по множествам).
Доказательство.
,
,
.
Имеем .
Отсюда .
4. Если .
5. Если
, то
и
Следует из неравенств
.
6. Если , то
.
Следует из неравенств
7. Если ,
ограничена на Е, то
Следует из неравенств
Теорема о среднем. Если Е компактное и связное множество в ,
, то существует точка
:
.
Если , то число
называется средним значением функции на множестве
.
Доказательство.Из непрерывности и компактности вытекает что существуют точки .
Из свойства 6 следует, что . Если
.
По теореме о промежуточных значениях из непрерывности и связности Е следует, что существует точка
:
.
Теорема доказана.
4. Вычисление двойного интеграла
Применим теорему Фубини к вычислению двойного интеграла по произвольной области.
Пусть ,
. Такая область называется правильной при проектировании ее на ось
Аналогично, область
называется правильной при проектировании ее на ось
.
С помощью теоремы Фубини сведем вычисление двойного интеграла по правильной области при проектировании на ось к повторному интегралу. Пусть
,
По определению интеграла и теореме Фубини
ЛЕКЦИЯ 4