Критерий Лебега существования двойного интеграла по прямоугольной области
Иванов В.И.
профессор, д.ф.-м.н.
КОНСПЕКТ ЛЕКЦИЙ
по дисциплине
Математический анализ
(Часть 3)
Направление подготовки: 010400 «Прикладная математика и информатика»
Профиль подготовки: «Прикладная математика и информатика»
Форма обучения: очная
Тула 2013 г.
Рассмотрено на заседании кафедры
протокол № 1 от 02 сентября 2013 г.
Зав. кафедрой________________В.И. Иванов
СОДЕРЖАНИЕ
ЛЕКЦИЯ 1. Двойной интеграл по прямоугольной области. Два определения. Их эквивалентность. Критерий интегрируемости Римана. Вычисление интеграла путем сведения к повторному. 4
ЛЕКЦИЯ 2. Критерий Лебега существования двойного интеграла по прямоугольной области. 8
ЛЕКЦИЯ 3. Мера Жордана. Двойной интеграл по измеримой по Жордану области. Свойства двойного интеграла. Теорема о среднем. Вычисление двойного интеграла. 11
ЛЕКЦИЯ 4. Замена переменных в двойном интеграле. Двойной интеграл в полярных координатах 15
ЛЕКЦИЯ 5. Тройной интеграл, его вычисление. Замена переменных в тройном интеграле. Тройной интеграл в цилиндрических и сферических координатах. 17
ЛЕКЦИЯ 6. Механические приложения двойного и тройного интеграла. 20
ЛЕКЦИЯ 7. Криволинейный интеграл 1-го рода. Его свойства, вычисление, приложения. 21
ЛЕКЦИЯ 8. Криволинейный интеграл 2-го рода. Его физический смысл. Формула Грина. Условия независимости интеграла от пути в R2. 25
ЛЕКЦИЯ 9. Площадь поверхности в R3. Поверхностный интеграл 1-го рода. Его свойства, вычисление, приложения 29
ЛЕКЦИЯ 10. Поверхностный интеграл 2-го рода. Его связь с поверхностным интегралом 1-го рода. Соленоидальное поле. Дивергенция. Теорема Гаусса-Остроградского. Потенциальное поле. 32
ЛЕКЦИЯ 11. Циркуляция. Ротор. Формула Стокса. Поток векторного поля. Условия независимости криволинейного интеграла 2-го рода от пути в R3 35
ЛЕКЦИЯ 12. Дифференциальные векторные операции 2-го порядка. Гармоническое поле, гармонические функции. Ортогональные криволинейные координаты. Коэффициенты Ламе. Выражение оператора Лапласа в ортогональных координатах. 39
ЛЕКЦИЯ 13. Сходимость и сумма числового ряда. Свойства сходящихся числовых рядов. Необходимые условия сходимости. Критерий Коши. 42
ЛЕКЦИЯ 14. Сходимость рядов с положительными членами. Критерий сходимости. Признак сравнения. Признак Даламбера. 44
ЛЕКЦИЯ 15. Радикальный признак Коши. Признак Коши для рядов с монотонными членами. Интегральный признак Коши. 47
ЛЕКЦИЯ 16. Ряды с произвольными членами. Абсолютная и условная сходимости. Признаки Лейбница, Абеля, Дирихле. 50
ЛЕКЦИЯ 17. Условная и безусловная сходимости. Теорема Римана о перестановках условно сходящегося ряда. Критерий безусловной сходимости. Сходимость бесконечного произведения. Необходимое условие сходимости. Сведение сходимости бесконечного произведения к сходимости числового ряда. Абсолютная и условная сходимости. 53
ЛЕКЦИЯ 1
Двойной интеграл по прямоугольной области. Два определения. Их эквивалентность. Критерий интегрируемости Римана. Вычисление интеграла путем сведения к повторному
1. Двойной интеграл по прямоугольной области. Два определения
Пусть
-параллелепипед в
(замкнутый параллелепипед с гранями параллельными координатным плоскостям),
- объем параллелепипеда, функция
-ограниченная.
Необходимо определить число связанное с , называемое интегралом от
по множеству
:
.
Для простоты все построения будем вести для . В этом случае
,
.
Пусть - множество точек
,
- разбиения отрезков
,
-разбиение прямоугольника
; под разбиением
прямоугольника
будем понимать и маленькие прямоугольники
.
Этих прямоугольников будет . Пусть далее
- мелкость или диаметр разбиения
(максимальная диагональ прямоугольников
),
- разметка разбиения
,
размеченное разбиение.
В дальнейшем индексы у прямоугольников будем опускать, т.е будем писать
.
Определим 3 типа интегральных сумм:
· ,
- интегральная сумма, отвечающая размеченному разбиению ;
· - верхняя сумма Дарбу;
· -нижняя сумма Дарбу.
Отметим следующие свойства этих сумм
1. Для любого :
.
2. При измельчении разбиения (получается путем добавления новых точек на
или
) верхние суммы Дарбу не увеличиваются, а нижние суммы Дарбу не уменьшаются.
3. Для любых :
,
Действительно, если измельчение как
как и
то
.
4. Если - множество всех нижних сумм Дарбу,
- множество всех верхних сумм Дарбу, то
и по аксиоме непрерывности существует
:
.
Определение 1. - нижний интеграл Дарбу.
Определение 2. - верхний интеграл Дарбу.
5. Для любых :
.
Определение 3. Первое определение интеграла Римана.
Будем говорить, что функция интегрируема по Риману на прямоугольнике
и интеграл равен числу
, если существует
, не зависящий от разметки
, т.е для любого
существует
такое, что для любого разбиения
и любой разметки
разбиения
:
.
Будем писать .
Определение 4. Второе определение интеграла Римана.
Будем говорить, что функция интегрируема по Риману на прямоугольнике
и интеграл равен числу
, если
.
Критерий Коши. Для того чтобы функция была интегрируема на прямоугольнике
необходимо и достаточно ,чтобы для любого
существовало
такое, что для любых разбиений
выполняется
.
2. Эквивалентность двух определений интеграла Римана
Доказательство эквивалентности двух определений интеграла Римана будет основано на двух леммах Дарбу.
Лемма 1. .
Лемма 2. .
Теорема. Оба определения интеграла Римана является эквивалентными, т.е
Если
в смысле первого определения, то
в смысле определения второго и обратно.
Доказательство.
1. . Доказательство опирается на вторую лемму Дарбу.
Если
и не зависит от
, то
:
. Отсюда
будет
. Поэтому
,
.
2. . Доказательство опирается на первую лемму Дарбу.
3. Критерий интегрируемости Римана
Теорема (критерий интегрируемости Римана).
, т.е
интегрируема по Риману тогда и только тогда, когда
.
Будем использовать запись .
Здесь - колебание функция на прямоугольнике
(разность между самым большим и самым маленьким значением).
Следствие. является линейным пространством и кольцом.
Доказательство.Доказательство сводится к проверке замкнутости относительно сложения и умножения.
Для доказательства оценим колебания на прямоугольнике суммы и произведение функций.
а. .
Имеем
.
Далее .
б.
Имеем
Далее все очевидно.
Теорема. , т.е. если функция
непрерывна, то она интегрируема.
Доказательство. Имеем .
Если , А- компактное, то
равномерно непрерывна на А, поэтому
,
такое, что
,
и
будет
.
Итак .
Отсюда, по критерию Римана .
4. Вычисление интеграла путем сведения к повторному
Вычисление двойного интеграла по прямоугольнику основано на теореме Фубини. В этом случае она выглядит следующим образом.
Теорема Фубини. Если , то для любого
,
и справедливы следующие равенства
Последние два интеграла называют повторными.
ЛЕКЦИЯ 2
Доказательство.
Необходимость. Пусть функция непрерывна в точке
. Предположим, что
. Рассмотрим
. Из определения
получим, что существуют точки
такие, что
.
Кроме того, имеем . Это противоречит непрерывности функции
в точке
. Следовательно
.
Достаточность. Поскольку , то для любого
существует
такое, что для любых
имеем
. Полагая
, получаем непрерывность в точке
то лемма.
Лемма 4. множество
- ограниченное и замкнутое, т.е. компактное.
Доказательство.Так как, то
- ограниченное.
Пусть - предельная точка
. Покажем, что она принадлежит
. Поскольку
предельная точка , то существует последовательность
, сходящая к
. Отсюда для любого
найдется
,
открытое, поэтому существует
такое, что
. Отсюда имеем
, то есть
.
Лемма доказана.
Пусть - множество точек разрыва функции
на прямоугольнике А.
Лемма 5. .
Множество, которое можно представить в виде счетного объединения замкнутых множеств называется множеством типа . Итак, множество точек разрыва функции
- множество типа
.
3. Критерий Лебега
Теорема 1. (Критерий Лебега).Ограниченная функия тогда и только тогда, когда
.
Следствие.Всякая функция, имеющая не более чем счетное множество точек разрыва интегрируемая.
Теорема 2. (Критерий интегрируемости). Ограниченная функия тогда и только тогда, когда для любого
.
.
Сначала выведем теорему 1 из теоремы 2. Доказательство теоремы 1.
Необходимость. Ограниченная функция по теореме 2, если для любого
.
.
Достаточность.
По теореме 2 имеем .
Теорема доказана.
Доказательство теоремы 2.
Необходимость . Предположим, что существует ,
. То есть найдется
такое, что для любого набора
,
, но
. Рассмотрим любое разбиение Т прямоугольника А на прямоугольники
. Пусть
-множество всех тех прямоугольников
, внутри которых находится хотя бы одна точка множества
. Заметим что для любого прямоугольника из
колебание функции на этом прямоугольнике не меньше чем
. Отсюда для любого Т
Это означает, что функция не интегрируема на прямоугольнике. Получили противоречие. Значит, для любого
.
Достаточность. Положим .
Так как , то его можно покрыть открытыми прямоугольниками
,
. Выделим из
конечное подпокрытие
. Рассмотрим
. Оно является компактом. Для любого
,
.Из определения
получим, что существует открытый квадрат Н такой, что колебание функции на нем меньше чем
. Квадраты Н образуют открытое покрытие множества К. Выделим из него конечное покрытие V. Продолжим стороны прямоугольников, составляющих I и V до пересечения со сторонами прямоугольника А. Получим разбиение Т, для которого
.
Таким образом, .
Теорема доказана.
Следствия из критерия Лебега.
1. .
2. .
3. Пусть . Тогда
.
ЛЕКЦИЯ 3
ЛЕКЦИЯ 4
ЛЕКЦИЯ 5
ЛЕКЦИЯ 6
ЛЕКЦИЯ 7
ЛЕКЦИЯ 8
Криволинейный интеграл 2-го рода. Его физический смысл. Формула Грина. Условия независимости интеграла от пути в R2
1. Криволинейный интеграл 2-го рода. Его физический смысл
Пусть - гладкая кривая,
.
Пусть - разбиение отрезка
,
- мелкость разбиения,
-
разметка разбиения.
Образуем следующую интегральную сумму:
Будем говорить, что для функций
существует криволинейный интеграл второго рода по кривой
в направлении возрастания параметра
(от начальной точки кривой к конечной точке), если существует
, не зависящий от
, т.е.
Этой интеграл имеет следующее обозначение
.
Он зависит от ориентации кривой
В случае замкнутой кривой различают положительную и отрицательную ориентацию: против часовой стрелки и по часовой стрелке.
Этот случай подчеркивают следующим обозначением
.
Функции в записи интеграла можно считать координатами вектора
. Его называют векторным полем, заданным на кривой
.
Обозначим
Криволинейный интеграл определяет работу векторного (силового) поля
вдоль кривой
в направление от точки А к точке В. Работу по замкнутой кривой часто называют циркуляцией.
2. Формула Грина
Теорема (Формула Грина).Пусть в односвязной области задано векторное поле
таким, что функции
- непрерывные в Е .Кривая
, множество
, ограниченное этой кривой выпуклое . Тогда справедлива формула
.
Здесь кривая обходится в положительном направлении.
Доказательство.Будем считать, что рассматриваемая область односвязная, т.е. в ней нет исключенных участков.
y
y = y2(x)
D
A
C
B
y= y1(x)
0 x1 x2 x
Если замкнутый контур имеет вид, показанный на рисунке, то криволинейный интеграл по контуру L можно записать в виде:
Рассуждая аналогично, для области правильной при проектировании на ось , получим
(2)
Складывая (1) и (2), получим формулу Грина.
3. Условия независимости интеграла от пути в R2
Лемма.Работа векторного поля не зависит от пути тогда и только тогда, когда любая циркуляция равна 0.
Доказательство.Пусть произвольный замкнутый контур, точки А и В – любые точки на
. Тогда
.
Работа векторного поля не зависит от пути .
Лемма доказана.
Векторное поле называется потенциальным, если существует функция 2-х переменных
- скалярное поле такое, что
,т.е
.
Замечание.В дифференциальных уравнениях уравнение первого порядка, записанное в дифференциалах называется уравнением в полных дифференциалах, если существует скалярное поле
:
.
В этом случае общий интеграл уравнения имеет вид
Теорема.Если в односвязной области функции
непрерывны, то следующие условия эквивалентны:
1) поле - потенциальное в
;
2) в
;
3) Работа поля в
не зависит от пути.
Доказательство.Будем следовать схеме .
·
Поле - потенциальное в
, поэтому
-скалярное поле :
, т.е.
.
·
Достаточно проверить, что любая циркуляция в равна 0.
Используем формулу Грина, получим
.
·
Покажем, что следующее скалярное поле и есть искомый потенциал:
Итак,
-потенциальное поле в
.
ЛЕКЦИЯ 9
Площадь поверхности в R3. Поверхностный интеграл 1-го рода. Его свойства, вычисление, приложения
1. Площадь поверхности в R3
Поверхность в задается параметрически при помощи 2 параметров
,
,
- поверхность в
.
Иногда поверхность задают при помощи одной функции двух переменных
.
Поверхность называется гладкой если:
.
Из этих частных производных можно записать матрицу Якоби нашего отображения
.
Точку назовем не особой, если ранг А в этой точке максимален и равен двум. В не особой точке векторы-столбцы являются линейно не зависимыми.
Выясним геометрический смысл этих векторов. Эти векторы - касательные векторы к линиям
на поверхности. В не особой точке эти касательные векторы не коллинеарные.
Можно показать, что все касательные векторы к кривым на поверхности, проходящие через , лежат в одной плоскости. Эта плоскость называется касательной плоскостью к поверхности в точке
.
В не особой точке уравнение касательной плоскости можно записать с помощью точки и двух касательных векторов
:
.
Рассмотрим вектор .
Очень часто в качестве нормального вектора будем использовать единичный нормальный вектор
Определим первую квадратную форму на поверхности. Пусть
Таким образом, первая квадратичная форма на поверхности имеет вид:
.
Определение.Площадью гладкой поверхности ,
-измеримо по Жордану, называется число:
.
Преобразуем эту формулу для площади поверхности
2. Поверхностный интеграл 1-го рода. Его свойства, вычисление
Пусть поверхность ,
- непрерывная функция.
Определение.Поверхностным интегралом первого рода по поверхности от функции
называется число
.
Здесь - элемент площади поверхности.
Данное определение справедливо и для кусочно-гладкой поверхности, т.е. поверхности, которая может быть разбита на конечное число гладких участков.
Поверхностный интеграл первого рода сводится к некоторому двойному интегралу и для него справедливы все его свойства.
3. Приложения поверхностного интеграла 1-го рода
Геометрическое приложение: Вычисление площади поверхности
Механические приложения: Вычисление массы, статических моментов, координат центра тяжести поверхности, начиненной веществом с плотностью .
Масса: .
Первые статические моменты относительно координатных плоскостей:
Координаты центра тяжести:
.
Вторые статические моменты относительно координатных плоскостей:
Статический момент (момент инерции) относительно начала координат:
.
ЛЕКЦИЯ 10
ЛЕКЦИЯ 11
Формула Стокса. Условия независимости криволинейного интеграла 2-го рода от пути в R3. Потенциальное поле. Циркуляция. Ротор
1. Формула Стокса
Пусть
- двусторонняя поверхность
.
Тогда множество - граница (или край) поверхности S.
Теорема (Формула Стокса). Если ориентации на и
согласованы, то
Доказательство. Необходимо доказать равенство
или три равенства
Для простоты докажем первое равенство в предложении, что поверхность
.
Имеем
Что и требовать показать.
3. Потенциальное поле. Циркуляция. Ротор
Векторное поле называется потенциальным, если существует скалярное поле
- потенциал такой, что
т.е. есть решение системы
Циркуляциейвекторного поля вдоль замкнутой кривой L называется криволинейный интеграл второго рода
В случае, когда векторное поле является силовым полем, циркуляция даёт величину работы этого поля вдоль кривой L.
Ротором (или вихрем) дифференцируемого векторного поля называется вектор
.
2. Условия независимости криволинейного интеграла 2-го рода от пути в R3
Лемма. Работа векторного поля в области
не зависит от пути, а зависит только от начала и конца пути
любая циркуляция в E равна 0.
Доказательство. Точно такое же, как в плоском случае.
Теорема. Следующие условия эквивалентны:
1) поле потенциальное, в односвязной области E;
2) ротор в области E;
3) работа поля в E не зависит от пути.
Доказательство. Будем следовать схеме .
: