I. Обработка результатов прямых измерений.

При однократных прямых измерениях за погрешность, как правило, принимают цену деления измерительного инструмента. Однако, в том случае, когда ближайшие деления далеко отстоят друг от друга, за погрешность может быть принята часть деления шкалы (0,5; 0,25 цены деления). Погрешность такогооднократного измерения определяет и разряд последней значащей цифры вполученном в результате измерения числе.

С целью уменьшения случайной погрешности прямых измерений проводят их многократно и за наиболее близкое к истинному значению искомой величины принимают среднее арифметическое значение полученных “n”результатов:

I. Обработка результатов прямых измерений. - student2.ru (1)

Для оценки погрешности таких измерений используют:

а) среднее отклонение значения i-х величин от среднего значения (среднее отклонение от среднего). Складываются абсолютные значения отклонений (учет знаков давал бы в пределах точности измерений 0-ое значение среднего):

I. Обработка результатов прямых измерений. - student2.ru . (2)

б) среднеквадратичное отклонение:

I. Обработка результатов прямых измерений. - student2.ru . (3)

Вычисления среднеквадратичного отклонения по формуле (3) достаточно трудоемки, поэтому чаще для определения s используют приближение Питерса, связывающее среднее отклонение от среднего I. Обработка результатов прямых измерений. - student2.ru и среднеквадратичное отклонение s:

I. Обработка результатов прямых измерений. - student2.ru . (4)

I. Обработка результатов прямых измерений. - student2.ru
Распределение Гаусса.

Среднеквадратичное отклонение характеризует вероятность попадания истинного значения величины в задаваемый интервал около I. Обработка результатов прямых измерений. - student2.ru . Пусть нами проведено очень большое количество измерений значения x. В итоге получено “n” результатов. Если построить график зависимости числа данных ni от хi, то при n→¥ получим распределение результатов называемое распределением Гаусса. Как видно из рисунка, больше всего ni измерений будет вблизи I. Обработка результатов прямых измерений. - student2.ru , которое практически совпадает с истинным значением х. Чем дальше хi отстает от I. Обработка результатов прямых измерений. - student2.ru , тем меньше будет таких результатов измерений.

В теории статистических измерений показано, что в интервале I. Обработка результатов прямых измерений. - student2.ru находятся 68% общего числа измерений, т.е. вероятность попадания в интервале ( I. Обработка результатов прямых измерений. - student2.ru ) 0,68. Интервалу ( I. Обработка результатов прямых измерений. - student2.ru ) соответствует вероятность (достоверность результата) 0,95. Правило трех сигма: ( I. Обработка результатов прямых измерений. - student2.ru ) - устанавливает практически 100 % вероятность попадания результата в интервал возможных значений I. Обработка результатов прямых измерений. - student2.ru (99,7 %).

Распределение Гаусса описывает случайные погрешности при бесконечно большом числе измерений. При конечном же количестве измерений для оценки вероятности попадания истинного значения характеристики в задаваемый интервал используют, так называемый, коэффициент Стьюдента (Уильяма Госета) ta, n – множитель, учитывающий число измерений n и доверительную вероятность a (значения tn, a. в таблице).

Таблица коэффициенов Стьюдента (коэффициентов tn,a).

a n 10% 20% 30% 40% 50% 60% 70% 80% 90% 95% 96% 99% 99,9%
0,16 0,33 0,51 0,73 1,00 1,38 2,0 3,1 6,3 12,7 31,8 63,7 636,3
0,14 0,29 0,45 0,62 0,82 1,06 1,3 1,9 2,9 4,3 7,0 9,9 31,6
0,14 0,28 0,42 0,58 0,77 0,98 1,3 1,6 2,4 3,2 4,5 5,8 12,9
0,13 0,27 0,41 0,57 0,74 0,94 1,2 1,5 2,1 2,8 3,7 4,6 8,6
0,13 0,27 0,41 0,56 0,73 0,92 1,2 1,5 2,0 2,6 3,4 4,0 6,9
0,13 0,27 0,40 0,55 0,72 0,91 1,1 1,4 1,9 2,4 3,1 3,7 6,0
0,13 0,26 0,40 0,54 0,71 0,90 1,1 1,4 1,9 2,4 3,0 3,5 5,4
0,13 0,26 0,40 0,54 0,71 0,89 1,1 1,4 1,9 2,3 2,9 3,4 5,0
0,13 0,26 0,40 0,54 0,70 0,88 1,1 1,4 1,8 2,3 2,8 3,3 4,8
0,13 0,26 0,40 0,54 0,70 0,88 1,1 1,4 1,8 2,2 2,8 3,2 4,6
0,13 0,26 0,40 0,54 0,70 0,87 1,1 1,4 1,8 2,2 2,7 3,1 4,5
0,13 0,26 0,40 0,54 0,70 0,87 1,1 1,4 1,8 2,2 2,7 3,1 4,3
0,13 0,26 0,39 0,54 0,70 0,87 1,1 1,4 1,8 2,2 2,7 3,0 4,2
0,13 0,26 0,39 0,54 0,70 0,87 1,1 1,3 1,8 2,2 2,6 3,0 4,1
0,13 0,26 0,39 0,54 0,70 0,87 1,1 1,3 1,8 2,2 2,6 2,9 4,0

Абсолютная случайная погрешность определяется как

Dxсл= tn,a×s. (5)

Кроме разброса значений, в полученных данных, каждое измерение выполняется с погрешностью прибора Dxпр, равном цене (или доле цены деления) прибора. Величину, учитывающую и это обстоятельство, называют абсолютной погрешностью многократных измерений - Dx:

I. Обработка результатов прямых измерений. - student2.ru . (6)

Результат измерений записывается в виде:

I. Обработка результатов прямых измерений. - student2.ru . (7)

Эта запись означает, что истинное значение физической величины x находится в указанном интервале с вероятностью a.

Относительная погрешность – это величина, показывающая «качество» измерений. Она равна:

I. Обработка результатов прямых измерений. - student2.ru .

Результаты прямых измерений (их желательно провести не менее пяти раз) и обработку полученных данных рекомендуем представить в таблицах:

Таблица 1.

  n средние значения
хi         I. Обработка результатов прямых измерений. - student2.ru
i= I. Обработка результатов прямых измерений. - student2.ru         I. Обработка результатов прямых измерений. - student2.ru
Приборная погрешность пр

Вычисления:

Таблица 2.

  I. Обработка результатов прямых измерений. - student2.ru s ta,n сл пр Абсолютная погрешность I. Обработка результатов прямых измерений. - student2.ru Относительная погрешность I. Обработка результатов прямых измерений. - student2.ru
промежут.              
конечная          

Итоговые данные прямых измерений могут быть представлены, как промежуточный, так и конечный результаты:

- результат принято считать промежуточным, если он будет использован в последующем для расчетов косвенно определяемой физической характеристики;

- в промежуточных данных желательно иметь одну запасную цифру. Разряд запасной цифры должен быть на один разряд ниже величин прямых измерений;

- промежуточный результат в абсолютной погрешности, как правило, содержит две цифры.

Нижний разряд погрешности и среднего значения результата измерений должны совпадать. Округление погрешности всегда проводится в сторону завышения, а результата измерений – по общим правилам (см. раздел II).

- практически общепринятой формой записи окончательного результата измерений принята следующая: а) в абсолютной погрешности сохраняется две значащих цифры, если первая из них 1 или 2, б) начиная с цифры 3, в погрешности сохраняется только одна значащая цифра.

Запись промежуточного и конечного результатов желательно сделать в рациональной форме, т.е. числом с единицами, десятыми и сотыми и другими долями и общим множителем.

10n. “n” – конечное целое число, но не желательно, чтоб оно принимало значения ±1.

Примеры:

1. (0,04528 ± 0,00073)ед. изм. Þ промежуточный результат = (4,528 ± 0,073)·10-2ед. изм. Þ конечный результат = (4,53 ± 0,08)·10-2 ед. изм.

2. Промежуточный результат; конечный результат

(45,22 ± 0,31) ед. изм. = (45,2 ± 0,4)ед. изм.

Наши рекомендации