Фазовое пространство. Функция распределения

Квантовая статистика — раздел статистической физики, в котором изу- чаются свойства систем, состоящих из огромного числа частиц, подчиняю- щихся законам квантовой механики.

В отличие от исходных положений классической статистической физики, в которой тождественные частицы раз- личимы (частицу можно отличить от всех таких же частиц), квантовая ста- тистика основывается па принципе не- различимости тождественных частиц (см. § 226). При этом оказывается, как будет показано ниже, что коллективы частиц с целым и полуцелым спинами подчиняются разным статистикам.

Пусть система состоит из Введем в рассмотрение многомерное пространство всех координат и импуль- сов частиц системы. Тогда состояние системы определяется заданием ременных, так как состояние каждой

частицы определяется коорди- нат х, у, z тройкой соответствующих проекций импульса Соответ- ственно число «взаимно перпендику- лярных» координатных осей данного пространства равно 6N. Это пространство называется фазовым пространством.

Каждому микросостоянию системы отвечает точка в -мерном фазовом пространстве, так как задание точки фа- зового пространства означает задание координат и импульсов всех частиц си- стемы. Разобьем фазовое пространство на малые -мерные элементарные ячейки объемом

= •

где q — совокупность координат всех частиц; р — совокупность проекций их импульсов.

дуализм свойств вещества (см. § 213) и соотно- шение неопределенностей Гейзенберга (см. § 215) приводят к выводу, что объем элементарной ячейки (он называется

фазовым объемом) не может быть мень- ше чем (h— постоянная Планка).

Вероятность данного состояния системы можно представить с помощью функции распределения f(q,p):

(234.1)

Здесь вероятность того, что точ- ка фазового пространства попадет в элемент фазового объема распо- ложенного вблизи данной точки q, p. Иными словами, dW представляет со- бой вероятность того, что система на- ходится в состоянии, в котором ее ко- ординаты и импульсы заключены в ин- тервале q, q + dq р, р + dp.

Согласно формуле (234.1), функция распределения есть не что иное, как плотность вероятности определенного состояния системы, поэтому она долж- на быть нормирована на единицу:

где интегрирование производится по всему фазовому пространству.

Зная функцию распределения p), можно решить основную задачу кван- товой статистики — определить средние значения величин, характеризующих рассматриваемую систему. Среднее значение любой функции

Если иметь дело не с координатами и импульсами, а с энергией, которая квантуется, то состояние системы ха- рактеризуется не непрерывной, а диск- ретной функцией распределения.

Явное выражение функции распре- деления в самом общем виде получил американский физик Д.Гиббс (1839 — 1903). Оно называется каноническим распределением Гиббса. В квантовой статистике каноническое распределе- ние Гиббса имеет вид

где А —постоянная, определяемая из условия нормировки кединице; п —со- вокупность всех квантовых чисел, ха- рактеризующих данное состояние.

Подчеркнем, что есть именно вероятность данного состояния, ане ве- роятность того, что система имеет оп- ределенное значение энергии так как данной энергии может соответство- вать не одно, анесколько различных со- стояний (может иметь место вырожде- ние).

§ 235. Понятие о квантовой статистике

и

Одним из важнейших «объектов» изучения квантовой статистики, как и классической, является идеальный газ. Это связано с тем, что во многих случа- ях реальную систему можно в хорошем приближении считать идеальным га- зом. Состояние системы невзаимодей- ствующих частиц задается с помощью так называемых чисел заполнения — чисел, указывающих степень заполне- ния квантового (характери- зуется данным набором квантовых чисел) частицами системы, состоящей из многих тождественных частиц.

Для систем частиц, образованных бозонами — частицами с нулевым или целым спином (см. § 226), числа запол- нения могут принимать любые целые значения: 2, ... (см. § 227). Для си- стем частиц, образованных фермиона- ми — частицами с полуцелым спином (см. § 226), числа заполнения могут принимать лишь два значения: 0 — для свободных состояний и 1 — для заня- тых (см. § 227). Сумма всех чисел за- полнения должна быть равна числу ча-

стиц системы. Квантовая статистика позволяет подсчитать среднее число частиц в данном квантовом состоянии, т. е. определить средние числа заполне- ния

Идеальный газ из бозонов — бозе-

имеет вид

по энергиям

(235.2)

газ — описывается квантовой стати- стикойВозе—Эйнштейна}. Распреде- ление бозонов по энергиям вытекает из так называемого большого канониче- ского распределения Гиббса (с пере- менным числом частиц) при условии, что число тождественных бозонов в данном квантовом состоянии может быть любым (см. § 227):

(235.1)

Это распределение рас- пределениемБозе—Эйнштейна.Здесь

— среднее число бозонов в кванто- вом состоянии с энергией посто- янная Больцмана; Т — термодинами- ческая температура; — химический потенциал,который не зависит от энер- гии, а определяется только температу- рой и плотностью числа частиц.

Химический потенциал находится обычно из условия, что сумма всех равна полному числу частиц в системе. Здесь 0, так как иначе среднее чис- ло частиц в данном квантовом состоя- нии отрицательно, что не имеет физи- ческого смысла. определяет измене- ние внутренней энергии системы при добавлении к ней одной частицы при условии, что все остальные величины, от которых зависит внутренняя энергия (энтропия, объем), фиксированы.

Идеальный газ из фермиоиов — ферми-газ—описываетсяквантовой статистикой Рас-

Ш. Бозе (1894— 1974) — индийский физик. Э. Ферми — 1954) — итальянский фи-

где — среднее число фермионов в

квантовомсостояниисэнергией —

химический потенциал.

В отличие от (235.1) может иметь положительное значение (это не приво- дит к отрицательным значениям чисел Это распределение называется распределением Ферми

Если е 1, то распределения Эйнштейна (235.1) и Ферми — Дирака (235.2) переходят в классичес- кое распределение Максвелла — Больц- мана:

(235.3)

[ср. с (44.4)], где

(235.4)

Таким образом, при высоких темпе- ратурах оба «квантовых» газа ведут себя подобно классическому газу.

Система частиц называется вы- рожденной, если ее свойства сущест- венным образом отличаются от свойств систем, подчиняющихся классической статистике. Поведение как так и ферми-газа отличается от класси- ческого газа, они являются вырожден- ными газами. Вырождение газов стано- вится существенным при весьма низких температурах и больших плотностях. Параметром вырождения называет- ся величина А. При А 1, т.е. при ма- лой степени вырождения, распределе- ния Бозе (235.1) и Фер- ми—Дирака (235.2) переходят в клас- сическое распределение Максвелла — Больцмана (235.3).

Температурой вырождения на- зывается температура, ниже которой от- четливо проявляются квантовые свой- ства идеального газа, обусловленные тождественностью частиц, т. е. — тем- пература, при которой вырождение ста- новится существенным. Если поведение системы частиц (газа) опи- сывается классическими законами.

§ 236. Вырожденный электронный газ в металлах

Распределение электронов по раз- личным квантовым состояниям подчи- няется принципу Паули (см. § 227), со- гласно которому в одном состоянии не может быть двух одинаковых (с одина- ковым набором четырех квантовых чи- сел) электронов, они должны отличать- ся какой-то характеристикой, например направлением спина. Следовательно, квантовой теории электроны в метал- ле не могут располагаться на самом низ- шем энергетическом уровне даже

О К. Согласно принципу Паули, элект- роны вынуждены взбираться вверх «по энергетической лестнице».

Электроны проводимости в металле можно рассматривать как идеальный газ, подчиняющийся распределению Ферми (235.2). Если — хи- мический потенциал электронного газа

при Т= О К, то, согласно (235.2), сред- нее число электронов в кванто- вом состоянии с энергией Е равно

(236.1)

Для фермионов (электроны являют- ся фермионами) среднее число частиц в квантовом состоянии и вероятность заселенности квантового состояния со- впадают, так как квантовое состояние либо может быть не заселено, либо в нем будет находиться одна частица. Это означает, что для фермионов (N(E)) =

— f(E), где f(E) —функция распределе- ния электронов по состояниям.

Из (236.1) следует, что при Т— О К функция распределения (N(E)) = 1, если Е < и (N(E)) = 0, если Е > График этой функции приведен на рис.

В области энергий от 0 до фун- кция (N(E)) равна единице. При Е= она скачкообразно изменяется до нуля. Это означает, что при Т = О К все ниж- ние квантовые состояния, вплоть до состояния с энергией Е = заполне- ны электронами, а все состояния с энер- гией, большей свободны. Следова- тельно, есть не что иное, как макси- мальная кинетическая энергия, которую могут иметь электроны проводимости в металле при О К. Эта максимальная ки- нетическая энергия называется энерги- ей Ферми обозначается = Поэтому распределение Ферми —Дира- ка обычно записывается в виде

(236.2)

Рис.315

Наивысший энергетический уро- вень, занятый электронами, называет- уровнем Ферми. Уровню Ферми со- ответствует энергия Ферми кото- рую имеют электроны на этом уровне.

Уровень Ферми, очевидно, будет тем выше, чем больше плотность электрон- ного газа. Работу выхода электрона из металла нужно отсчитывать не от дна

«потенциальной ямы», как это делалось в классической теории, а от уровня Ферми, т.е. от верхнего из занятых электронами энергетических уровней. Для металлов при не слишком вы- соких температурах выполняется нера- венство Это означает, что элек- тронный газ в металлах практически всегда находится в состоянии сильно- го вырождения. Температура вырож- дения (см. § 235) находится из условия

— Она определяет границу, выше которой квантовые эффекты перестают быть существенными. Соответствую- щие расчеты показывают, что для элек- тронов в металле К, т. е. для всех температур, при которых металл может существовать в твердом состоянии, электронный газ в металле вырожден.

При температурах, отличных от О К, функция распределения Ферми рака (236.2) плавно изменяется от 1 до О в узкой области (порядка окре- стности 315, б). (Здесь же для сравнения пунктиром приведена фун- кция распределения при Г = О К.) Это объясняется тем, что при Т > 0 неболь- шое число электронов с энергией, близ- кой к возбуждается вследствие теп- лового движения и их энергия стано- вится больше Вблизи границы Фер- ми при Е < заполнение электрона- ми меньше единицы, а при Е > — больше нуля. В тепловом движении участвует лишь небольшое число элек- тронов, например при комнатной тем- пературе Т 300 К и температуре вы- рождения = 3 • 104 К, — это от общего числа электронов.

Если (Е — Ер) функ- ции распределения), то единицей в зна- менателе (236.2) можно пренебречь по

сравнению с и тогда рас- пределение Ферми — Дирака переходит в распределение Максвелла— Больцма- образом, при (Е — кТ, т.е. при больших значениях энергии к электронам в металле применима клас- сическая статистика, в то же время, ког- да (Е — кТ, ним применима только квантовая статистика Ферми —

Дирака.

§ 237. Понятие о квантовой теории теплоемкости. Фононы

Квантовая статистика устранила труд- ности в объяснении зависимости тепло- емкости газов (в частности, двухатом- ных) от температуры (см. § 53). Соглас- но квантовой механике, энергия враща- тельного движения молекул и энергия колебаний атомов в молекуле могут лишь дискретные значения.

Если энергия теплового движения значительно меньше разности энергий соседних уровней энергии (кТ то при столкновении молекул враща- тельные и колебательные степени сво- боды практически не возбуждаются. Поэтому при низких температурах по- ведение двухатомного газа подобно од- ноатомному. Так как разность между соседними вращательными уровнями энергии значительно меньше, чем между колебательными, т.е. (см. § 230), то с ростом температуры возбуждаются вначале вращательные степени свободы, в результате чего теп- лоемкость увеличивается; при дальней- шем повышении возбуж- даются и колебательные степени свобо- ды и происходит дальнейший рост теп- лоемкости (см. рис. 82).

Функции распределения Ферми- Дирака для Г = 0 К и Т > 0 К заметно различаются (рис. 315) лишь в узкой

области энергий (порядка кТ). Следо- вательно, в процессе металла участвует лишь незначительная часть всех электронов проводимости. и объясняется отсутствие заметной раз- ницы между теплоемкостями металлов и диэлектриков, что не могло быть объяснено классической теорией (см.

§

Как уже указывалось (см. § 73), клас- сическая теория не смогла объяснить также зависимость теплоемкости твер- дых тел от температуры, а квантовая статистика решила эту задачу. Так, А. Эйнштейн, приближенно считая, что колебания атомов кристаллической ре- шетки независимы (модель кристалла как совокупности независимых колеб- лющихся с одинаковой частотой гармо- нических осцилляторов), создал каче- ственную квантовую теорию теплоем- кости кристаллической решетки. Она впоследствии была развита П.Дебаем, который учел, что колебания атомов в кристаллической решетке не являются независимыми (рассмотрел непрерыв- ный спектр частот гармонических ос- цилляторов).

Рассматривая непрерывный спектр частот осцилляторов, П. Дебай показал, что основной вклад в среднюю энергию квантового осциллятора вносят колеба- ния низких частот, соответствующих упругим волнам. Поэтому тепловое воз- буждение твердого тела можно описать в виде упругих волн, распространяю- щихся в кристалле.

Согласно

му дуализму свойств вещества, упругим волнам в кристалле сопоставляют фо- обладающие энергией Е = Фонон есть квант энергии звуковой вол- ны (так как упругие волны — волны звуковые). являются квазича- стицами — элементарными возбужде- ниями, ведущими себя подобно микро-

частицам. Аналогично тому как кван- тование электромагнитного излучения привело к представлению о фотонах, квантование упругих волн привело к представлению о фононах.

Квазичастицы, в частности фононы, сильно отличаются от обычных частиц (например, электронов, протонов, фо- тонов), так как они связаны с коллек- тивным движением многих частиц си- стемы. Квазичастицы не могут возни- кать в вакууме, они существуют только в кристалле. Импульс фонола облада- ет своеобразным свойством: при стол- кновении фононов в кристалле их им- пульс может дискретными порциями передаваться кристаллической решет- ке он при этом не сохраняется. По- этому в случае фононов говорят о ква- зиимпульсе.

Энергия кристаллической решетки рассматривается как энергия фононно- го газа, подчиняющегося статистике Бозе (см. § 235), так как фононы являются бозонами

равен нулю). Фононы могут испускать- ся и поглощаться, но их число не сохра- няется постоянным; поэтому в форму- ле (235.1) для фононов необходимо положить равным нулю.

Применение статистики Бозе — Эйн- штейна к фононному газу — газу из не- взаимодействующих бозе-частиц — привело П.Дебая к количественному выводу, согласно которому при

ких температурах, когда Т (классическая область), теплоемкость твердых тел описывается законом Дю- лонга и Пти (см. § 73), а при низких тем- пературах, когда (квантовая об- ласть), — пропорциональна кубу термо- динамической температуры: В данном случае — характеристи- ческая температура Дебая, опреде- ляемая соотношением — где

—предельная частота упругих коле-

баний кристаллической решетки. Та- ким образом, теория Дебая объяснила расхождение опытных и теоретических (вычисленных на основе классической теории) значений теплоемкости твер- дых тел (см. § 73 и рис.

Выводы, получаемые на основе фор- мулы (238.1), полностью соответству- ют опытным данным. Квантовая теория электропроводности металлов, в част- ности, объясняет зависимость удельной

проводимости от температуры:

Модель квазичастиц — фононов —

оказалась эффективной для объясне-

[классическая теория (см. § 103)

T

дает,

ния открытого П.Л.Капицей явления сверхтекучести жидкого гелия (см. § 31, 75). Теория сверхтекучести, созданная (1941) Л.Д.Ландау и развитая (1947) российским ученым Н.Н.Боголюбо- вым (р. 1909), применена впоследствии к явлению сверхпроводимости (см.

§ 239).

§ 238. Выводы квантовой теории электропроводности металлов

Квантовая теория электропро- водности металлов — теория элект- ропроводности, основывающаяся на квантовой механике и квантовой ста- тистике Ферми—Дирака,— пересмот- рела вопрос об электропроводности ме- таллов, рассмотренный в классической физике. Расчет электропроводности ме- таллов, выполненный на основе этой теории, приводит к выражению для удельной электрической проводимости металла

(238.1)

которое по внешнему виду напоминает классическую формулу (103.2) для но имеет совершенно другое физическое содержание. Здесь п — концентрация электронов проводимости в металле; — средняя длина свободного про- бега электрона, имеющего энергию Фер- ми; — средняя скорость теплового движения такого электрона.

что 1, а также аномально боль-

шие величины (порядка сотен периодов решетки) средней длины свободного пробега электронов в металле (см.

§

Квантовая теория рассматривает движение электронов с учетом их взаи- модействия с кристаллической решет- кой. Согласно корпускулярно-волново- му дуализму, электрона сопо- ставляют волновой процесс. Идеальная кристаллическая решетка (в ее узлах находятся неподвижные частицы и в пей отсутствуют нарушения периодичнос- ти) ведет себя подобно оптически одно- родной среде — она «электронные вол- ны» не рассеивает. Это соответствует тому, что металл не оказывает электри- ческому току — упорядоченному движе- нию электронов — никакого сопротив- ления. «Электронные волны», распрос- траняясь в идеальной кристаллической решетке, как бы огибают узлы решетки и проходят значительные расстояния.

В реальной кристаллической решет- ке всегда имеются неоднородности, ко- торыми могут быть, например, приме- си, вакансии; неоднородности обуслов- ливаются также тепловыми колебани- ями. В реальной кристаллической ре- шетке происходит рассеяние «элект- ронных волн» на что и является причиной электрического сопротивления металлов. Рассеяние

«электронных воли» на неоднороднос- тях, связанных с тепловыми колебани- ями, можно рассматривать как столкно- вения электронов с фононами.

Согласно классической теории, (и)

поэтому она не смогла объяснить истинную зависимость от температу- ры (см. § 103). В квантовой теории сред- няя скорость от температуры прак- тически не зависит, так как доказыва- ется, что с изменением температуры уровень Ферми остается практически неизменным. Однако с повышением температуры рассеяние «электронных волн» на тепловых колебаниях решет- ки (на фонолах) возрастает, что соот- ветствует уменьшению средней длины свободного пробега электронов. В об- ласти комнатных температур Г"1, поэтому, учитывая независимость (и) от температуры, получим, что сопротивле- ние металлов —) в соответствии с

данными опытов растет пропорцио- нально Таким образом, квантовая те- ория электропроводности металлов ус- транила и эту трудность классической теории.

§ 239. Сверхпроводимость.