Глава 26 квантовая природа излучения

§ 197. Тепловое излучениеобусловленное нагреванием,

и его характеристики тепловым (температурным) из-

лучением. Тепловое излучение, явля- Тела, нагретые до достаточно высо- ясь самым распространенным в ких температур, светятся. Свечение тел, де, совершается за счет энергии тепло-

вого движения атомов и молекул веще- ства (т. е. за счет его внутренней энер- гии) и свойственно всем телам при тем- пературе выше О К.

Тепловое излучение характеризует- сясплошнымспектром,положениемак- симума которого зависит от температу- ры. При высоких температурах излуча- ются короткие (видимые и ультрафио- летовые) электромагнитные волны, при низких — преимущественно длин- ные (инфракрасные).

Тепловое излучение — единственный вид излучения, которое является равновесным.Предположим, что нагретое (излучающее) тело поме- щено в полость, ограниченную идеаль- но отражающей оболочкой. С течением времени, в результате непрерывного об- мена энергией между телом и излуче- нием, наступит равновесие, т. е. тело в единицу времени будет поглощать столь- ко же энергии, сколько и излучать.

Допустим, что равновесие между те- лом и излучением но какой-либо при- чине нарушено и тело излучает энер- гии больше, чем поглощает. Если в еди- ницу времени тело больше излучает, чем поглощает (или наоборот), то тем- пература тела начнет понижаться (или повышаться). В результате будет ос- лабляться (или возрастать) количе- ство излучаемой телом энергии, пока, наконец, не установится равновесие. Все другие виды излучения неравно- весны.

Количественной характеристикой теплового излучения служит спект- ральная плотность энергетическойсветимости тела — мощность излучения с едини- цы площади поверхности тела в интер- вале частот единичной ширины:

энергияэлектромагнит- ного излучения, испускаемого за едини- цу времени (мощность излучения) с единицы площади поверхности тела в интервале частот от + dv.

Единица спектральной плотности энергетической светимости ~ джоуль на метр в квадрате(Дж/м2).

Записанную формулу для но представить в виде функции длины волны:

Так как с = \v, то

где знак « —» указывает на то, что с воз- растанием одной из величин или X) другая величина убывает. Поэтому в дальнейшем знак « —» будем опускать. Таким образом,

(197.1)

С помощью формулы (197.1) мож- но перейти от наоборот.

Зная спектральную плотность энер- гетической светимости, можно вычис- лить интегральную энергетическую светимость (интегральную излуча- тельность) (ее называют просто энер- гетической светимостью тела). Для это- го следует просуммировать спектраль- ную плотность энергетической свети- мости по всем частотам:

(197.2)

Способность тел поглощать падаю- щее на них излучение характеризуется спектральной поглощательной спо- собностью

какая доля энергии, приносимой за единицу времени на еди- ницу площади поверхности тела пада- ющими на нее электромагнитными вол- нами с частотами от v до + dv, погло- щается телом. Спектральная поглоща- тельнаяспособность— величинабезраз- мерная. Величины

природы тела, его термодинамической температуры и при этом различаются для излучений с разными частотами. Поэтому эти величины относят к опре- деленным Т (вернее, к достаточно узкому интервалу частот от v до v + способное поглощать полно- стью при любой температуре все пада- ющее на него излучение любой часто- ты, называется черным. Следователь- но, спектральная поглощательиая спо- собность черного тела для всех частот и температур тождественно равна еди- нице 1). Черных тел в природе нет, однако такие тела, как сажа, пла- тиновая чернь, черный бархат и неко- торые другие, в определенном интерва- ле частот по своим свойствам близки к

Наиболее совершенной моделью черного тела может служить замкнутая полость с небольшим отверстием О (рис. 289). Луч света, попавший внутрь такой полости, испытывает многократ- ные отражения от стенок, в результате чего интенсивность вышедшего излуче- ния оказывается практически равной нулю. Опыт показывает, что при разме- ре меньшего 0,1 диаметра по- лости, падающее излучение всех частот практически полностью поглощается. Вследствие этого открытые окна домов со стороны улицы кажутся черными, хотя внутри комнат достаточно светло из-за отражения света от стен.

Наряду с понятием черного тела ис- пользуют понятие серого — тела, поглощательная способность которого

Рис. 289

меньше единицы, но одинакова для всех частот и зависит только от температу- ры, материала и состояния поверхнос- ти тела. Таким образом, для серого тела = = const < 1.

Исследование теплового излучения сыграло важную роль в создании кван- теории света, поэтому необходи- мо рассмотреть законы, которым оно подчиняется.

§ 198. Закон Кирхгофа

Кирхгоф, опираясь на второй закон термодинамики и анализируя условия равновесного излучения в изолирован- ной системе тел, установил количе- ственную связь между спектральной плотностью энергетической светимос- ти и спектральной поглощательной способностью тел. Отношение спект- ральной плотности энергетической све- тимости к спектральной поглощатель- ной способности ие зависит от природы тела; оно является для всех тел универ- сальной функцией частоты (длины вол- ны) и температуры (закон Кирхгофа):

(198.1)

Для черного тела 1, поэтому из закона Кирхгофа [см. (198.1)] следу- ет, что черного тела равна Таким образом, универсальная функ- ция Кирхгофа есть что иное, как спектральная плотность энергетиче-

светимости черного тела. Следо- вательно, согласно закону Кирхгофа, для всех тел отношение спектральной плотности энергетической светимости к спектральной способ- ности равно спектральной плотности энергетической светимости черного те- ла притой температуре ичастоте. Из закона Кирхгофа следует, что спектральная плотность энергетичес- кой светимости любого тела в любой области спектра всегда меньше спект- ральной плотности энергетической све- тимости черного тела (при тех же зна- чениях и v), так как < 1 и поэто- му Крометого,из(198.1)вы- текает, что если тело при данной тем- пературе Т не поглощает электромаг- нитные волны в интервале частот от v

до v + = 0), в интервале частот при температуре излучает,таккак —

Используя закон Кирхгофа, выраже- ние для энергетической светимости тела (197.2) можно записать в виде

ние, которое закону Кирхгофа не под- чиняется, не является тепловым.

§ 199. Законы

И смещения Вина

Из закона Кирхгофа [см. (198.1)] следует, что спектральная плотность энергетической светимости черного тела является универсальной функци- ей, поэтому нахождение ее явной зави- симости от частоты и температуры яв- ляется важной задачей теории теплово- го излучения.

Австрийский физик И. Стефан (1835 — 1893), анализируя эксперимен- тальные данные (1879), и Л. применяя термодинамический метод (1884), решили эту задачу лишь частич- но, установив зависимость энергетиче- ской светимости черного тела от тем- пературы. Согласно закону Стефа- на — Больцмана,

Для серого тела

где

(198.3)

= (199.1)

т. е. энергетическая светимость черно- го тела пропорциональна четвертой сте- его термодинамической темпера- туры; — постоянная Стефана— Больц- мана, ее экспериментальное значение

равно 5,67 • К1).

Закон опре-

деляя зависимость от температуры, не дает ответа относительно спектраль- ного состава излучения черного тела. Из экспериментальных кривых зависи-

— энергетическая светимость чер-

ного тела (зависит только от темпера- туры).

Закон Кирхгофа описывает только тепловое излучение, являясь настоль- ко характерным для него, что может служить надежным критерием для оп- ределения природы излучения. Излуче-

функции \

X" различных темпера- турах (рис. 290) следует, что распреде- ление энергии в спектре черного тела является неравномерным. кривые имеют явно выраженный максимум,

290 §200.Формулы

и Планка

по мере повышения темпера- туры смещается в более корот- ких длин волн. Площадь, ограниченная кривой зависимости X и осью аб- сцисс, пропорциональна энергетичес- кой светимости черного тела и, сле- довательно, по закону Стефана— Больц- мана, четвертой степени температуры. Немецкий физик — 1928), опираясь на законы термо- и электродинамики, установил зависи- мость длины волны соответству- ющей максимуму функции от тем- пературы Т. Согласно закону смеще-

Ния Вина,

(199.2)

т. е. длина волны соответствующая максимальному значению спектраль- ной плотности энергетической свети- мости черного тела, обратно про- порциональна сто термодинамической температуре; Ь — постоянная Вина; ее экспериментальное значение равно 2,9 • 1СГ3м• К. Выражение (199.2) пото- му называют законом смещения Вина, что оно показывает смещение положе- ния максимума функции по мере возрастания температуры в область ко- ротких длин волн. Закон Вина объяс- няет, почему при понижении темпера- туры нагретых тел в их спектре все силь- нее преобладает длинноволновое излу- чение (например, переход белого кале- ния в красное при остывании металла).

Из рассмотрения законов Стефана — и Вина следует, что термо- динамический подход к решению зада- чи о нахождении универсальной функ- ции Кирхгофа дал желаемых ре- зультатов. Следующая строгая попыт- ка теоретического вывода зависимости

английским ученым Д.Рэлею и Д. Джинсу 1946), ко- торые применили к тепловому излуче- нию методы статистической физики, воспользовавшись классическим зако- ном равномерного распределения энер- гии по степеням свободы.

Формула Рэлея для спек- тральной плотности

светимости черного тела имеет вид

(200.1)

где — кТ — средняя энергия осцил- лятора с частотой у. Для осциллятора, совершающего колебания, средние значения кинетической и потен- циальной одинаковы (см. § 50), поэтому средняя энергия каждой коле- бательной степени свободы (е) = к.Т.

Как показал опыт, выражение согласуется с экспериментальными данными только в достаточно малых частот и больших температур. В области больших частот формула

Рис.291

Рэлея — резко расходится с эк- спериментом, а также с законом смеще- ния Вина (рис. Кроме того, оказа- лось, что попытка получить закон Сте-

[см. (199.1)] из фор-

мулы Рэлея приводит к аб- сурду. Действительно, вычисленная с использованием (200.1) энергетическая светимость черного тела [см. (198.3)]

в то время как по закону Стефана — Больцмана четвер-

той степени температуры. Этот резуль- тат получил название «ультрафиолето- вой катастрофы». Таким образом, в рамках классической физики не уда- лось объяснить законы распределения энергии в спектре черного тела.

В области больших частот хорошее согласие с опытом дает формула Вина (закон излучения Вина), полученная им из общих теоретических соображений:

где спектральная плотность энер- гетической светимости черного тела; А — постоянные величины.

В современных обозначениях с ис- пользованием постоянной Планка, ко- торая в то время еще не была известна, закон излучения Вина может быть за- писан в виде

Правильное, согласующееся с опыт- ными данными выражение для спект- ральной плотности энергетической све- тимости черного тела было найдено в 1900 г. немецким физиком М. Плапком. Для этого ему пришлось отказаться от

установившегося положения класси- ческой физики, согласно которому энергия любой системы может изме- няться непрерывно, т.е. может прини- мать любые сколь угодно близкие зна- чения.

Согласно выдвинутой кван- товой гипотезе, атомные осциллято- ры излучают энергию не непрерывно, а определеннымипорциями — квантами,причем энергия кванта пропорциональ- на частоте колебания [см. (170.3)]:

где h— 6,625 • Дж• с— постоян- ная Планка.

Так как излучение испускается пор- циями, то энергия осциллятора г может принимать лишь определенные диск- ретные значения, кратные целому чис- лу элементарных порций энергии

= nhv (n = 0,1,2,...).

В данном случае среднюю энер- гию (г) осциллятора нельзя принимать равной Т. В приближении, что распре- деление осцилляторов

дискретным состояниям подчиняется распределению Больцмана (см. § 45), средняя энергия осциллятора

а спектральная плотность энергетичес- кой светимости черного тела

Таким образом, Планк вывел для универсальной функции Кирхгофа формулу

(200.3)

которая, как оказалось, блестяще согла- суется с экспериментальными данными по распределению энергии в спектрах излучения черного тела во интер- вале частот и температур. Теорети- ческий вывод этой формулы М. Планк изложил 14 декабря 1900 г. на заседа- нии Немецкого физического общества. Этот день стал датой рождения кванто- вой физики.

В области малых частот, т.е. при hv кТ (энергия кванта очень мала по сравнению с энергией теплового движения кТ), форму- ла Плаика (200.3) совпадает с формулой Рэлея — Для доказательства этого разложим экспоненциальную функ- цию в ряд, ограничившись для рассматри- ваемого случая двумя первыми членами:

Подставляя последнее выражение в фор- мулу Планка (200.3), найдем, что

т.е. получили формулу — Джинса (200.1).

Из формулы можно получить закон Согласно

(198.3) и (200.3),

=

я

таккак

. Таким образом, действи-

тельно формула позволяет полу- чить закон Стефана Бол [(ср. фор-

мулы (199.1) и того, подста- новка числовых значений с и h дает для постоянной значе-

ние, хорошо согласующееся с эксперимен- тал

Закон Вина получим с помо- щью формул (197.1) и (200.3):

откуда

Значение котором функция до- стигает максимума, найдем, приравняв эту производную. Тогда, введя х =

уравнение

1)=0 .

этого трансцендентного урав- нения методом последовательных приближе-

даст х— Следовательно,

т.е. получили закон смещения Вина [см. (199.2)].

Из формулы Планка, зная универ- сальные постоянные h, к и с, можно вы- числить постоянные Стефана— Больц- сти Вина Ь. С другой стороны, зная

экспериментальные значения ст и можно вычислить значения h и (имен- но так и было впервые найдено число- вое значение постоянной Планка).

Таким образом, формула Планка не только хорошо согласуется с экспери- ментальными данными, но и содержит в себе частные законы теплового излу- чения, а также позволяет вычислить постоянные в законах теплового излу- чения. Следовательно, формула План- ка является полным решением основ-

пой задачи теплового Ее стало возможным благо-

даря революционной квантовой гипо- тезе Планка.

§ 201. Оптическая пирометрия.

Тепловые источники света

Законы теплового излучения ис- пользуются для измерения температу- ры раскаленных и самосветящихся тел (например, звезд). Методы измерения высоких температур, за- висимость спектральной плотности энергетической светимости или интег- ральной энергетической светимости тел от температуры, называются оптиче- ской пирометрией.

Приборы для измерения температу- ры нагретых тел по интенсивности их теплового излучения в оптическом ди- апазоне спектра называются пиромет- рами. В зависимости от того, какой за- кон теплового излучения

при измерении температуры тел, чают радиационную, цветовую

температуры.

Радиационнаятемпература—это такая температура черного тела, при которой его энергетическая светимость [см. (198.3)] равна энергетической светимости (197.2)] исследуемо- го тела. В данном случае регистрирует- ся энергетическая светимость исследу- емого тела и по закону Стефана — Бол ь- (199.1) вычисляется его радиаци-

онная температура:

Радиационная температура тела всегда меньше его истинной температу- ры Т. Для доказательства этого предпо- ложим, что исследуемое тело является

серым. Тогда, используя (199.1) и (198.2), можно записать

С другой стороны,

Из сравнения этих выражений вы- текает,

Так как < 1, то < Т, т. е. истин- ная температура тела всегда выше ра- диационной.

2. Цветовая температура.Для се- рых тел (или тел, близких к ним свойствам) спектральная плотность энергетической

где const < 1. Следовательно, рас- пределение энергии в спектре излуче- ния серого тела такое же, как и в спект- ре черного тела, имеющего ту же тем- пературу, поэтому к серым телам при- меним закон смещения Вина [см. (199.2)]. Зная длину волны соот- ветствующую максимальной спект- ральной плотности энергетической све- тимости исследуемого тела, мож- но определить его температуру

которая называется темпе- ратурой. Для серых тел цветовая тем- пература совпадает с истинной. Для тел, которые сильно отличаются от серых (например, обладающих селективным поглощением), понятие цветовой тем- пературы теряет смысл. Таким спосо- бом определяется температура на по- верхности Солнца ( 6500 К) и звезд.

3. Яркостная температура — это температура черного тела, которой

для длины волны его спектральная плотность энергетичес- кой светимости равна плотности энергетической светимости исследуемого тела, т. е.

(201.1)

где Т — истинная температура тела.

По закону Кирхгофа [см. для исследуемого тела при длине вол-

X

или, учитывая

(201.2)

Так как для нечерных тел А < 1, то < следовательно, < Т, е. истинная температура тела всегда выше яркостной.

В качестве яркостного пирометра обычно используется исче- зающей Накал нити пирометра подбирается таким, чтобы выполнялось условие (201.1). В данном случае изоб- ражение нити пирометра становится неразличимым на фоне поверхности раскаленного тела, т. е. нить как бы «ис- чезает». Используя ироградуирован- по черному телу миллиамперметр, можно определить

поглощательную способность тела при той же длине волны, по яркостпой температуре можно опреде- лить истинную. Переписав формулу

Планка (200.3) в виде

и учитывая это в(201.2), получим

т.е. при известных X можно оп- истинную температуру иссле-

дуемого тела.

4. Тепловые источники света.Све- чение раскаленных тел используется для создания источников света, первые из которых — лампы накаливания и ду- говые лампы — были соответственно

русскими учеными А. Н.Ло- дыгиным в 1873 г. и П.И.Яблочковым в 1876 г.

На первый взгляд кажется, что чер- ные тела должны быть

тепловыми источниками света, так как их спектральная плотность энергети- светимости для любой длины волны больше спектральной плотнос- ти энергетической светимости нечер- ных тел, взятых при одинаковых тем- пературах. Однако оказывается, что для некоторых тел (например, вольф- рама), обладающих селективностью теплового излучения, доля энергии, приходящаяся на излучение в види- мой области спектра, значительно больше, чем для черного тела, нагре- того до той же температуры. Поэтому вольфрам, обладая еще и высокой тем- пературой плавления, является наи- лучшим материалом для изготовления нитей ламп.

Температура вольфрамовой нити в вакуумных лампах не должна превы- шать 2450 К, поскольку при более высо- ких температурах происходит ее силь- ное распыление. Максимум излучения при этой температуре соответствует длине волны «1,1 мкм, т.е. очень далек от максимума чувствительности чело- веческого глаза мкм). Напол- нение баллонов ламп инертными газа- ми (например, смесью криптона и ксе-

нона с добавлением азота) при давле- нии кПа позволяет увеличить тем- пературу нити до 3000 К, что приводит к улучшению спектрального состава из- лучения. Однако светоотдача при этом не увеличивается, так как возникают дополнительные потери энергии из-за теплообмена между нитью и газом вследствие теплопроводности и кон- векции.

Для уменьшения энергии

за счет теплообмена и све- тоотдачи газонаполненных ламп пить изготовляют в виде спирали, отдель- ные витки которой обогревают друг друга. При высокой температуре вок- руг этой спирали образуется непод- вижный слой газа и исключается теп- лообмен вследствие конвекции. Энер- гетический КПД ламп накаливания в настоящее время не превышает 5 %.

§ 202. Виды фотоэлектрического эффекта. Законы внешнего фотоэффекта

Гипотеза Планка, блестяще решив- шая задачу теплового излучения черно- го тела, получила подтверждение и даль- нейшее развитие при объяснении фото- эффекта — явления, открытие и иссле- дование которого сыграло важную роль в становлении квантовой теории. Раз-

292

личают фотоэффект внешний, внут- ренний вентильный.

Внешним фотоэлектрическим эффектом {фотоэффектом) называ- ется испускание электронов веществом под действием электромагнитного из- лучения. Внешний фотоэффект наблю- дается в твердых телах (металлах, по- лупроводниках, диэлектриках), а также в газах на отдельных атомах и молеку- лах (фотоионизация). Фотоэффект об- наружен Г. Герцем (1887), наблюдав- шим усиление процесса разряда при об- лучении искрового промежутка ультра- фиолетовым излучением.

Первые фундаментальные исследо- вания фотоэффекта выполнены рус- ским ученым А.Г.Столетовым. Прин- ципиальная схема для исследования фотоэффекта приведена на рис. 292. Два электрода (катод К из исследуемо- го металла и анод А — в схеме Столето- ва применялась металлическая сетка) в вакуумной трубке подключены к бата- рее так, что с помощью потенциометра R можно изменять не только значение, но и знак подаваемого на них напряжения. Ток, возникающий при освещении като- да монохроматическим светом (через кварцевое окошко), измеряется вклю- ченным в цепь миллиамперметром.

Облучая катод светом различных длин волн, А. Г. Столетов установил сле- дующие закономерности, не утратившие своего значения до нашего времени:

1) наиболее эффективное действие ока- зывает ультрафиолетовое излучение;

2) под действием света вещество теряет только отрицательные заряды; 3) сила тока, возникающего под действием све- та, прямо пропорциональна его интен- сивности.

в 1898 г. измерил удельный заряд испускаемых под дей- ствием света частиц (по отклонению в электрическом и магнитном полях).

Эти измерения показали, что под дей- ствием света вырываются электроны.

Внутренний фотоэффект —это вызванные электромагнитным излуче- нием переходы электронов внутри по- лупроводника или диэлектрика из свя- занных состояний в свободные без вы- лета наружу. В результате концентра- ция носителей тока внутри тела увели- чивается, что приводит к возникнове- нию фотопроводимости (повышению проводимости полупроводника или ди- электрика при его освещении) или к возникновению ЭД С.

Вентильный фотоэффект, явля- ющийся разновидностью внутреннего фотоэффекта, — возникновение ЭДС (фото-ЭДС) при освещении контакта двух разных полупроводников или по- лупроводника и металла (при отсут- ствии внешнего электрического поля). Вентильный фотоэффект открывает, таким образом, пути для прямого пре- образования солнечной энергии в элек- трическую. На экспериментальной ус- тановке, приведенной рис. 292, мож- но исследовать вольт-амперную ха- рактеристику фотоэффекта — за- висимость фототока /, образуемого по- током электронов, испускаемых като- дом под действием света, от напряже- ния U между электродами. Вольт-ам- перная характеристика, соответствую- щая двум различным освещенпостям катода (частота света в обоих случаях одинакова), приведена на рис. 293. По мере увеличения U фототок постепен- но возрастает, т.е. все большее число фотоэлектронов достигает анода. Поло- гий характер кривых показывает, что электроны вылетают из катода с раз- личными скоростями. Максимальное значение тока — фототокнасыще- ния — определяется таким значением U, при котором все электроны, испускае- мые катодом, достигают анода:

где п — число электронов, испускаемых катодом в 1 с.

Из вольт-амперной характеристики следует, что при фототок не исче- зает. Следовательно, электроны, выби- тые светом из катода, обладают некото- рой начальной скоростью v, а значит, PI отличной от нуля кинетической энер- гией и могут достигнуть анода б