Эквипотенциальные поверхности

Найдем взаимосвязь между напря- женностью электростатического по- ля — силовой характеристикой поля, и потенциалом — энергетической харак- теристикой поля.

Работа по перемещению единичного точечного положительного заряда из одной точки поля в другую вдоль оси х при условии, что точки расположе- ны бесконечно близко друг к другу и

— равна Та же работа равна — = Приравняв оба вы- ражения, можем записать

(85.1)

где символ частной производной под- черкивает, что дифференцирование производится только по х. Повторив аналогичные рассуждения для осей у и z, можем найти вектор Ё:

где — единичные векторы коор- динатных осей x,y,z.

Из определения градиента (12.4) и (12.6) следует, что

т. е. напряженность Ё поля равна гра- диенту потенциала со знаком «—».Знак

«—»определяется тем, что вектор на- пряженности Е поля направлен в сто- рону убывания потенциала.

Для графического изображения рас- пределения потенциала электростати- ческого поля, как и в случае поля тяго- тения (см. § 25), пользуются эквипо- тенциальнымиповерхностями —по- верхностями, во всех точках которых потенциал имеет одно и то же значе- ние.

Если поле создается точечным заря- дом, то его потенциал, согласно (84.5),

Таким образом, эквипо-

тенциальные поверхности в данном случае — концентрические сферы. С другой стороны, линии напряженно- сти в случае точечного заряда — ради- альные прямые. Следовательно, линии напряженности в случае точечного за- ряда перпендикулярны эквипотенциаль- ным поверхностям.

Линии напряженности всегда нор- мальны к эквипотенциальным поверх- ностям. Действительно, все точки экви- потенциальной поверхности имеют одинаковый потенциал, поэтому рабо- та по перемещению заряда вдоль этой поверхности равна нулю, т. е. электро- статические силы, действующие на за- ряд, всегда направлены по нормалям к эквипотенциальным поверхностям. Следовательно, вектор Ёвсегда норма- леи к эквипотенциальным поверхнос- тям, а поэтому линии вектора Ё ор- тогональны этим поверхностям.

Эквипотенциальных поверхностей вокруг каждого заряда и каждой систе- мы зарядов можно провести бесчислен- ное множество. Однако их обычно про- водят так, чтобы разности потенциалов между любыми двумя соседними экви- потенциальными поверхностями были

Таблица 5

одинаковы. Тогда густота эквипотенци- альных поверхностей наглядно харак- теризует напряженность поля в разных точках. Там, где эти поверхности рас- положены гуще, напряженность поля больше.

Итак, зная расположение линий на- пряженности электростатического поля, можно построить эквипотенциальные поверхности и, наоборот, по известно- му расположению эквипотенциальных поверхностей можно определить в каж- дой точке поля модуль и направление напряженности поля. На рис. 135 для

Рис. 135

примера показан вид линии напряжен- ности (штриховые линии) и сечений эквипотенциальных поверхностей (сплошные линии) полей положитель- ного точечного заряда (рис. 135, а) и за- ряженного металлического цилиндра, имеющего на одном конце выступ, а на другом — впадину (рис. 135, б).

В табл. 5 приведено сопоставление характеристик гравитационного и элект- ростатического полей.

§ 86. Вычисление разности потенциалов по напряженности поля

Установленная в § 85 связь между напряженностью поля и потенциалом позволяет по известной напряженнос- ти поля найти разность потенциалов между двумя произвольными точками

1.Поле равномерно заряженной беско- нечной плоскостиопределяется по формуле (82.1): Е= , где — поверхностная плотность заряда. Разность потенциалов между точками, лежащими на расстояниях от плоскости, равна [используем фор-

мулу "(85.1)]

2. Поле двух бесконечных параллель- ных разноименно заряженных плоскостейопределяется формулой (82.2): Е = , где а — поверхностная плотность заряда. Раз-

ность потенциалов между плоскостями, рас- стояние между которыми равно d [см. фор- мулу (85.1)], равна

3. Поле равномерно заряженной сфе- рическойповерхностирадиусомRсобщим

лов между двумя точками, лежащими на расстояниях и от центра сферы R,

равна

(86.2)

Если принять = = оо, то потенциал вне сферической поверхности, соглас-

но формуле (86.2), задается выражением

[ср. с формулой (84.5)]. Внутри сфериче- ской поверхности потенциал всюду одина- ков и равен

График зависимости от г приведен па рис. 136.

Рис. 136

4. Поле объемно заряженного шарарадиусом R с общим зарядом Q вне шара > по (82.3), по- этому разность потенциалов между двумя точками, лежащими на расстояниях

от центра шара > R, > R, > опре- деляется формулой (86.2). В любой точке, лежащей внутри шара на расстоянии от его центра < R), напряженность опреде- ляется выражением (82.4): Е =

разность потенциалов между двумя точками, лежащими расстояниях от центра шара < R, ri < R, >

равна

5. Поле равномерно заряженного бес- конечногоцилиндрарадиусомВ.,заряжен- ного с линейной плотностью т, вне цилинд- ра > определяется но формуле (82.5):

Следовательно, разность по- тенциалов между двумя точками, лежащи- ми на расстояниях от оси заряженно- го цилиндра > В., > равна

(86.3)

§87.Типыдиэлектриков. Поляризация диэлектриков

Диэлектрик (как и всякое вещество) состоит из атомов и молекул. Так как

положительный заряд всех ядер моле- кулы равен суммарному заряду элект- ронов, то молекула в целом электриче- ски нейтральна.

Если заменить положительные заря- ды ядер молекул суммарным зарядом

+ Q, находящимся в центре «тяжести» положительных зарядов, а заряд всех электронов — суммарным отрицатель- ным зарядом - Q, находящимся в центре

«тяжести» отрицательных зарядов, то молекулу можно рассматривать как элек- трический диполь с электрическим мо- ментом, определяемым формулой (80.3). Первую группу диэлектриков

...) составляют веще- ства, молекулы которых имеют симмет- ричное строение, т. е. центры «тяжести» положительных и отрицательных заря- дов в отсутствие внешнего электриче- ского поля совпадают и, следовательно, дипольный момент молекулы равен нулю. Молекулы таких диэлектриков называются неполярными. Под дей- ствием внешнего электрического поля заряды неполярных молекул смещают- ся в противоположные стороны (поло- жительные по полю, отрицательные против поля) и молекула приобретает дипольный момент.

Вторую группу диэлектриков (Н2О, CO,...) составляют вещества, молекулы которых имеют асимметрич- ное строение, т.е. центры «тяжести» положительных и отрицательных заря- дов не совпадают. Таким образом, эти молекулы в отсутствие внешнего элек- трического поля обладают динольным моментом. Молекулы таких диэлектри- ков называются полярными. При от- сутствии внешнего ноля, однако, ди- польные моменты полярных молекул вследствие теплового движения ориен- тированы в пространстве хаотично и их результирующий момент равен нулю. Если такой диэлектрик поместить во

внешнее поле, то силы этого поля бу- дут стремиться повернуть диполи вдоль поля и в результате возникнет отлич- ный от нуля результирующий момент. Третью группу диэлектриков (NaCl, КС1, КВr,...) составляют вещества, мо- лекулы которых имеют ионное строе- ние. Ионные кристаллы представляют собой пространственные решетки с пра- вильным чередованием ионов разных знаков. В этих кристаллах нельзя вы- делить отдельные молекулы, а рассмат- ривать их можно как систему двух вдви- нутых одна в другую ионных подреше- ток. При наложении на ионный крис- талл электрического поля происходит некоторая деформация кристалличе- ской решетки или относительное сме- щение подрешеток, приводящее к воз-

никновению дипольных моментов.

Таким образом, внесение всех трех групп диэлектриков во внешнее элект- рическое поле приводит к возникнове- нию отличного от нуля результирую- щего электрического момента диэлек- трика или, иными словами, к поляри- зации диэлектрика.

Поляризацией диэлектрика называ- ется процесс ориентации диполей или появления под воздействием внешнего электрического поля ориентированных по полю диполей.

Соответственно трем группам ди- электриков различают три вида поля- ризации:

электронная, или деформацион- ная, поляризация диэлектрика с непо- лярными молекулами, заключающаяся в возникновении у атомов индуциро- ванного диполыюго момента за счет де- формации электронных орбит;

ориентационная, или дипольная, поляризация диэлектрика с полярны- ми молекулами, заключающаяся в ори- ентации имеющихся дипольных момен- тов молекул по полю. Естественно, что

6 Курс фишки 161

тепловое движение препятствует пол- ной ориентации молекул, но в резуль- тате совместного действия обоих факто- ров (электрическое поле и тепловое дви- жение) возникает преимущественная ориентация дипольных моментов моле- кул по полю. Эта ориентация тем силь- нее, чем больше напряженность элект- рического поля и ниже температура;

ионная поляризация диэлектриков с ионными кристаллическими решетка- ми, заключающаяся в смещении подре- шетки положительных ионов вдоль поля, а отрицательных — против поля, приводящем к возникновению диполь- ных моментов.

§88.Поляризованность.