Эквипотенциальные поверхности
Найдем взаимосвязь между напря- женностью электростатического по- ля — силовой характеристикой поля, и потенциалом — энергетической харак- теристикой поля.
Работа по перемещению единичного точечного положительного заряда из одной точки поля в другую вдоль оси х при условии, что точки расположе- ны бесконечно близко друг к другу и
—
равна
Та же работа равна — = Приравняв оба вы- ражения, можем записать
(85.1)
где символ частной производной под- черкивает, что дифференцирование производится только по х. Повторив аналогичные рассуждения для осей у и z, можем найти вектор Ё:
![]() |
где — единичные векторы коор- динатных осей x,y,z.
Из определения градиента (12.4) и (12.6) следует, что
т. е. напряженность Ё поля равна гра- диенту потенциала со знаком «—».Знак
«—»определяется тем, что вектор на- пряженности Е поля направлен в сто- рону убывания потенциала.
Для графического изображения рас- пределения потенциала электростати- ческого поля, как и в случае поля тяго- тения (см. § 25), пользуются эквипо- тенциальнымиповерхностями —по- верхностями, во всех точках которых потенциал имеет одно и то же значе- ние.
Если поле создается точечным заря- дом, то его потенциал, согласно (84.5),
Таким образом, эквипо-
тенциальные поверхности в данном случае — концентрические сферы. С другой стороны, линии напряженно- сти в случае точечного заряда — ради- альные прямые. Следовательно, линии напряженности в случае точечного за- ряда перпендикулярны эквипотенциаль- ным поверхностям.
Линии напряженности всегда нор- мальны к эквипотенциальным поверх- ностям. Действительно, все точки экви- потенциальной поверхности имеют одинаковый потенциал, поэтому рабо- та по перемещению заряда вдоль этой поверхности равна нулю, т. е. электро- статические силы, действующие на за- ряд, всегда направлены по нормалям к эквипотенциальным поверхностям. Следовательно, вектор Ёвсегда норма- леи к эквипотенциальным поверхнос- тям, а поэтому линии вектора Ё ор- тогональны этим поверхностям.
Эквипотенциальных поверхностей вокруг каждого заряда и каждой систе- мы зарядов можно провести бесчислен- ное множество. Однако их обычно про- водят так, чтобы разности потенциалов между любыми двумя соседними экви- потенциальными поверхностями были
![]() |
Таблица 5
одинаковы. Тогда густота эквипотенци- альных поверхностей наглядно харак- теризует напряженность поля в разных точках. Там, где эти поверхности рас- положены гуще, напряженность поля больше.
Итак, зная расположение линий на- пряженности электростатического поля, можно построить эквипотенциальные поверхности и, наоборот, по известно- му расположению эквипотенциальных поверхностей можно определить в каж- дой точке поля модуль и направление напряженности поля. На рис. 135 для
![]() | ![]() | ||
Рис. 135
примера показан вид линии напряжен- ности (штриховые линии) и сечений эквипотенциальных поверхностей (сплошные линии) полей положитель- ного точечного заряда (рис. 135, а) и за- ряженного металлического цилиндра, имеющего на одном конце выступ, а на другом — впадину (рис. 135, б).
В табл. 5 приведено сопоставление характеристик гравитационного и элект- ростатического полей.
§ 86. Вычисление разности потенциалов по напряженности поля
Установленная в § 85 связь между напряженностью поля и потенциалом позволяет по известной напряженнос- ти поля найти разность потенциалов между двумя произвольными точками
1.Поле равномерно заряженной беско- нечной плоскостиопределяется по формуле (82.1): Е=
, где — поверхностная плотность заряда. Разность потенциалов между точками, лежащими на расстояниях от плоскости, равна [используем фор-
мулу "(85.1)]
![]() |
2. Поле двух бесконечных параллель- ных разноименно заряженных плоскостейопределяется формулой (82.2): Е = , где а — поверхностная плотность заряда. Раз-
ность потенциалов между плоскостями, рас- стояние между которыми равно d [см. фор- мулу (85.1)], равна
3. Поле равномерно заряженной сфе- рическойповерхностирадиусомRсобщим
лов между двумя точками, лежащими на расстояниях и
от центра сферы
R,
равна
(86.2)
Если принять = = оо, то потенциал вне сферической поверхности, соглас-
но формуле (86.2), задается выражением
[ср. с формулой (84.5)]. Внутри сфериче- ской поверхности потенциал всюду одина- ков и равен
График зависимости от г приведен па рис. 136.
Рис. 136
4.
Поле объемно заряженного шарарадиусом R с общим зарядом Q вне шара
>
по
(82.3), по- этому разность потенциалов между двумя точками, лежащими на расстояниях
от центра шара
> R, > R, > опре- деляется формулой (86.2). В любой точке, лежащей внутри шара на расстоянии
от его центра
< R), напряженность опреде- ляется выражением (82.4): Е =
разность потенциалов между двумя точками, лежащими расстояниях от центра шара
< R, ri < R,
>
равна
5. Поле равномерно заряженного бес- конечногоцилиндрарадиусомВ.,заряжен- ного с линейной плотностью т, вне цилинд- ра > определяется но формуле (82.5):
Следовательно, разность по- тенциалов между двумя точками, лежащи- ми на расстояниях от оси заряженно- го цилиндра
> В., >
равна
(86.3)
§87.Типыдиэлектриков. Поляризация диэлектриков
Диэлектрик (как и всякое вещество) состоит из атомов и молекул. Так как
положительный заряд всех ядер моле- кулы равен суммарному заряду элект- ронов, то молекула в целом электриче- ски нейтральна.
Если заменить положительные заря- ды ядер молекул суммарным зарядом
+ Q, находящимся в центре «тяжести» положительных зарядов, а заряд всех электронов — суммарным отрицатель- ным зарядом - Q, находящимся в центре
«тяжести» отрицательных зарядов, то молекулу можно рассматривать как элек- трический диполь с электрическим мо- ментом, определяемым формулой (80.3). Первую группу диэлектриков
...) составляют веще- ства, молекулы которых имеют симмет- ричное строение, т. е. центры «тяжести» положительных и отрицательных заря- дов в отсутствие внешнего электриче- ского поля совпадают и, следовательно, дипольный момент молекулы равен нулю. Молекулы таких диэлектриков называются неполярными. Под дей- ствием внешнего электрического поля заряды неполярных молекул смещают- ся в противоположные стороны (поло- жительные по полю, отрицательные против поля) и молекула приобретает дипольный момент.
Вторую группу диэлектриков (Н2О,
CO,...) составляют вещества, молекулы которых имеют асимметрич- ное строение, т.е. центры «тяжести» положительных и отрицательных заря- дов не совпадают. Таким образом, эти молекулы в отсутствие внешнего элек- трического поля обладают динольным моментом. Молекулы таких диэлектри- ков называются полярными. При от- сутствии внешнего ноля, однако, ди- польные моменты полярных молекул вследствие теплового движения ориен- тированы в пространстве хаотично и их результирующий момент равен нулю. Если такой диэлектрик поместить во
внешнее поле, то силы этого поля бу- дут стремиться повернуть диполи вдоль поля и в результате возникнет отлич- ный от нуля результирующий момент. Третью группу диэлектриков (NaCl, КС1, КВr,...) составляют вещества, мо- лекулы которых имеют ионное строе- ние. Ионные кристаллы представляют собой пространственные решетки с пра- вильным чередованием ионов разных знаков. В этих кристаллах нельзя вы- делить отдельные молекулы, а рассмат- ривать их можно как систему двух вдви- нутых одна в другую ионных подреше- ток. При наложении на ионный крис- талл электрического поля происходит некоторая деформация кристалличе- ской решетки или относительное сме- щение подрешеток, приводящее к воз-
никновению дипольных моментов.
Таким образом, внесение всех трех групп диэлектриков во внешнее элект- рическое поле приводит к возникнове- нию отличного от нуля результирую- щего электрического момента диэлек- трика или, иными словами, к поляри- зации диэлектрика.
Поляризацией диэлектрика называ- ется процесс ориентации диполей или появления под воздействием внешнего электрического поля ориентированных по полю диполей.
Соответственно трем группам ди- электриков различают три вида поля- ризации:
электронная, или деформацион- ная, поляризация диэлектрика с непо- лярными молекулами, заключающаяся в возникновении у атомов индуциро- ванного диполыюго момента за счет де- формации электронных орбит;
ориентационная, или дипольная, поляризация диэлектрика с полярны- ми молекулами, заключающаяся в ори- ентации имеющихся дипольных момен- тов молекул по полю. Естественно, что
6 Курс фишки 161
тепловое движение препятствует пол- ной ориентации молекул, но в резуль- тате совместного действия обоих факто- ров (электрическое поле и тепловое дви- жение) возникает преимущественная ориентация дипольных моментов моле- кул по полю. Эта ориентация тем силь- нее, чем больше напряженность элект- рического поля и ниже температура;
ионная поляризация диэлектриков с ионными кристаллическими решетка- ми, заключающаяся в смещении подре- шетки положительных ионов вдоль поля, а отрицательных — против поля, приводящем к возникновению диполь- ных моментов.
§88.Поляризованность.