И поступательного движения твердого тела

§ 5. Первый закон Ньютона.им в «Математических началах нату- Масса. Силаральной философии» (1687). Законы Ньютона играют исключительную роль

В основе классической динамики в механике и являются обобщением ог- (основной раздел механики) лежат три ромного числа опытных данных. Пра- закона Ньютона, сформулированные вильность этих законов (для обширно-

го, но все же ограниченного круга яв- лений) подтверждается согласием с опытом получаемых с их помощью ре- зультатов.

Первый закон Ньютона: всякая ма- териальная точка (тело) сохраняет со- стояние покоя или равномерного пря- молинейного движения до тех пор, пока воздействие со стороны других тел не заставит ее изменить это состояние. Стремление тела сохранять состояние покоя или равномерного прямолиней- ного движения называется инертнос- тью. Поэтому первый закон Ньютона называют также законом инерции.

Механическое движение относи- тельно, и его характер зависит от сис- темы отсчета. Первый закон Ньютона выполняется не во всякой системе от- счета, а те системы, по отношению к которым он выполняется, называются инерциальными системами отсчета. Инерциальной системой отсчета явля- ется такая система отсчета, относитель- но которой материальная точка, свобод- ная от внешних воздействий, либо по- коится, либо движется равномерно и прямолинейно.ПервыйзаконНьютона утверждаетсуществованиеинерциалъ- ныхсистемотсчета.

Опытным путем установлено, что инерциальной можно считать гелио- центрическую (звездную) систему от- счета (начало координат находится в центре Солнца, а оси проведены в на- правлении определенных звезд). Сис- тема отсчета, связанная с Землей, стро- го говоря, неинерциальна, однако эф- фекты, обусловленные ее неинерциаль- ностью (Земля вращается вокруг соб- ственной оси и вокруг Солнца), при решении многих задач пренебрежимо малы, и в этих случаях ее можно счи- тать инерциальной.

Из опыта известно, что при одина- ковых воздействиях различные тела

неодинаково изменяют скорость свое- го движения, т. е., иными словами, при- обретают различные ускорения. Уско- рение зависит не только от величины воздействия, но и от свойств самого тела (от его массы).

Масса тела — физическая величи- на, являющаяся одной из основных ха- рактеристик материи, определяющая ее инерционные {инертная масса) и гра- витационные {гравитационная мас- са) свойства. В настоящее время мож- но считать доказанным, что инертная и гравитационная массы равны друг дру- гу (с точностью, не меньшей 10~12 их значения).

Чтобы описывать воздействия, упо- минаемые в первом законе Ньютона, вво- дят понятие силы. Под действием сил тела либо изменяют скорость движения, т. е. приобретают ускорения (динамиче- ское проявление сил), либо деформиру- ются, т. е. изменяют свою форму и раз- меры (статическое проявление сил).

В каждый момент времени сила ха- рактеризуется числовым значением, направлением в пространстве и точкой приложения. Итак, сила — это вектор- ная величина, являющаяся мерой меха- нического воздействия на тело со сто- роны других тел или полей, в результа- те которого тело приобретает ускорение или изменяет свою форму и размеры.

§ 6. Второй закон Ньютона

Второйзакон Ньютона — основной закон динамики поступательного дви- жения — отвечает на вопрос, как изме- няется механическое движение матери- альной точки (тела) под действием при- ложенных к ней сил.

Если рассмотреть действие различ- ных сил на одно и то же тело, то оказы- вается, что ускорение, приобретаемое

телом, всегда пропорционально равно- действующей приложенных сил:

а F (т = const). (6.1)

При действии одной и той же силы на тела с разными массами их ускорения оказываются различными, а именно

(6.2)

Используя выражения (6.1) и (6.2) и учитывая, что сила и ускорение — ве- личины векторные, можем записать

(6.3)

Соотношение (6.3) выражает вто- рой закон Ньютона: ускорение, при- обретаемое материальной точкой (те- лом), пропорционально вызывающей его силе, совпадает с нею по направле- нию и обратно пропорционально массе материальной точки (тела).

В СИкоэффициент пропорциональ- ности к — 1. Тогда

или

(6.4)

Учитывая, что масса материальной точки (тела) в классической механике есть величина постоянная, в выраже- нии (6.4) ее можно внести под знак про- изводной:

(6.5)

Векторная величина

вается импульсом {количеством дви- жения) этой материальной точки.

Подставляя (6.6) в (6.5), получим

(6.7)

Это выражение— болееобщаяфор- мулировка второго закона Ньютона: скорость изменения импульса матери- альной точки равна действующей на нее силе. Выражение (6.7) называется так- же уравнением движения матери- альной точки.

Если на тело действует несколько сил, то в формулах (6.4) и (6.7) под F подразумевается их результирующая (векторная сумма сил).

Единица силы в СИ — ньютон (Н): 1 Н — сила, которая массе 1 кг сообща- ет ускорение 1 м/с2 в направлении дей- ствия силы:

Второй закон Ньютона справедлив только в инерциальных системах отсче- та. Казалось бы, первый закон Ньюто- на входит во второй как его частный случай. В самом деле, в случае равен- ства нулю равнодействующей сил (при отсутствии воздействия на тело со сто- роны других тел) ускорение [см. (6.3)] также равно нулю. Однако первый за- кон Ньютона рассматривается как са- мостоятельный закон, так как именно он утверждает существование инерци- альных систем отсчета, в которых толь- ко и выполняется уравнение (6.7).

Если на материальную точку одно- временно действуют несколько сил

то ее ускорение

= (6.6)

численно равная произведению массы материальной точки на ее скорость и имеющая направление скорости, назы-

Рис. 10 (7.1)

где — сила, действующая на первую материальную точку со стороны вто- рой; — сила, действующая на вторую материальную точку со стороны пер- вой. Эти силы приложены к разным ма-

Следовательно, если на материаль- ную точку действует одновременно не- сколько сил, то каждая из этих сил со- общает материальной точке ускорение согласно второму закону Ньютона, как будто других сил не было (принцип не- зависимости действия сил).

Силы и ускорения можно разлагать на составляющие, использование кото- рых приводит к существенному упро- щению решения задач.

Например, на рис. 10 действующая сила F = та разложена на два компо- нента: тангенциальную силу (направ- лена по касательной к траектории) и нормальную силу (направлена по

§ 7. Третий закон Ньютона

Взаимодействие между материаль- ными точками (телами) определяется третьим законом Ньютона: всякое действие материальных точек (тел) друг на друга носит характер взаимо- действия; силы, с которыми действуют друг на друга материальные точки, все- гда равны по модулю, противополож- но направлены и действуют вдоль пря- мой, соединяющей эти точки:

териальным точкам (телам), всегда дей- ствуют парами и являются силами од- ной природы.

Третий закон Ньютона позволяет осуществить переход от динамики от- дельной материальной точки к дина- мике системы материальных точек. Это следует из того, что и для систе- мы материальных точек взаимодей- ствие сводится к силам парного взаи- модействия между материальными точками.

Третий закон Ньютона, как впрочем и первые два, справедлив только в инер- циальных системах отсчета. Отметим также, что при движении со скоростя- ми, сравнимыми со скоростью света, наблюдаются отступления от этого за- кона. Однако в рамках классической механики он справедлив, и утверждение о его невыполнимости имеет принци- пиальное значение лишь для определе- ния границ применимости механики Ньютона.

§ 8. Силы трения

Из опыта известно, что всякое тело, движущееся по горизонтальной повер- хности другого тела, при отсутствии действия на него других сил с течени- ем времени замедляет свое движение и в конце концов останавливается. Это можно объяснить существованием си- лы трения, которая препятствует скольжению соприкасающихся тел от- носительно друг друга. Силы трения за- висят от относительных скоростей тел,

Рис.11

в результате их действия механическая энергия всегда превращается во внут- реннюю энергию соприкасающихся тел, т. е. в энергию теплового движения ча- стиц.

Различают внешнее (сухое) и внут- реннее (жидкое или вязкое) трение. Это деление, впрочем, имеет условный ха- рактер. Внешним трением называется трение, возникающее в плоскости каса- ния двух соприкасающихся тел при их относительном перемещении. Если со- прикасающиеся тела неподвижны отно- сительно друг друга, говорят о трении покоя, если же происходит относитель- ное перемещение этих тел, то в зависи- мости от характера их относительного движенияговорято трениискольже- ния, качения или верчения.

Внутренним трением называется трение между частями одного и того же тела, например между различными слоями жидкости или газа, скорости которых меняются от слоя к слою. В отличие от внешнего трения здесь отсутствует трение покоя. Если тела скользят относительно друг друга и

Рис. 12

разделены прослойкой вязкой жидко- сти (смазки), то трение происходит в слое смазки. В таком случае говорят о гидродинамическом трении (слой смазки достаточно толстый) и гранич- ном трении (толщина смазочной про- слойки составляет около 0,1 мкм и ме- нее).

Силы трения определяются характе- ром взаимодействия между молекула- ми вещества и являются по своей при- роде электромагнитными силами. Эти силы описываются закономерностями, полученными опытным путем.

Обсудим некоторые закономернос- ти внешнего трения. Это трение обус- ловлено шероховатостью соприкасаю- щихся поверхностей, а в случае очень гладких поверхностей — силами меж- молекулярного притяжения.

Рассмотрим лежащее на плоскости тело (рис. 11), к которому приложена горизонтальная сила F. Тело придет в движение лишь тогда, когда приложен- ная сила F будет больше силы трения Французские физики Г.Амонтон (1663-1705) и Ш. Кулон (1736-1806)

опытным путем установили следую- щий закон: сила трения скольжения пропорциональна силе N нормального давления, с которой одно тело действу- ет на другое:

где / — коэффициент трения сколь- жения, зависящий от свойств соприка- сающихся поверхностей.

Найдем значение коэффициентатре- ния. Если тело находится на наклонной плоскости с углом наклона а (рис. 12), то оно приходит в движение только ког- да тангенциальная

силы тяжести Р больше силы трения Следовательно, в предельном случае (начало скольжения тела) F = или Р sin — fN = cos а, откуда

Таким образом, коэффициент тре- ния равен тангенсу угла при кото- ром начинается скольжение тела по на- клонной плоскости.

Для гладких поверхностей опреде- ленную роль начинает играть межмоле- кулярное притяжение. Для них приме- няется закон трения скольжения

где — истинный коэффициент тре- ния скольжения; S — площадь контак- та между телами; — добавочное дав- ление, обусловленное силами межмоле- кулярного притяжения, которые быст- ро уменьшаются с увеличением рассто- яния между частицами.

Трение играет большую роль в при- роде и технике. Благодаря трению дви- жется транспорт, удерживается заби- тый в стену гвоздь и т.д. В некоторых случаях силы трения оказывают вред- ное действие и поэтому их надо умень- шать. Для этого на трущиеся поверхно- сти наносят смазку (сила трения умень- шается примерно в 10 раз), которая за- полняет неровности между этими по- верхностями и располагается тонким слоем между ними так, что поверхнос- ти как бы перестают касаться друг дру- га, а скользят относительно друг друга отдельные слои жидкости. Таким обра- зом, внешнее трение твердых тел заме- няется значительно меньшим внутрен- ним трением жидкости.

Радикальным способом уменьшения силы трения является замена трения скольжения трением качения (шарико- вые и роликовые подшипники и т.д.).

Сила трения качения определяет- ся по закону, установленному Куло- ном:

где — коэффициент трения качения, имеющий размерность = r — радиус катящегося тела.

Из (8.1) следует, что сила трения ка- чения обратно пропорциональна ради- усу катящегося тела.

§ 9. Закон сохранения импульса.

Центр масс

Для вывода закона сохранения им- пульса рассмотрим некоторые понятия. Совокупность материальных точек (тел), рассматриваемых как единое це- лое, называется механической систе- мой.

Силы взаимодействия между мате- риальными точками механической си- стемы называются внутренними.

Силы, с которыми на материальные точки системы действуют внешние тела, называются внешними.

Механическая система тел, на кото- рую не действуют внешние силы, назы- вается замкнутой (или изолирован- ной).

Если мы имеем механическую сис- тему, состоящую из многих тел, то, со- гласно третьему закону Ньютона, силы, действующие между этими телами, бу- дут равны и противоположно направ- лены, т. е. геометрическая сумма внут- ренних сил равна нулю.

Рассмотрим механическую систему, состоящую из п тел, масса и скорость которых соответственно равны

Пусть —

равнодействующие внутренних сил, действующих на каждое из этих тел, а

..., — равнодействующие вне-

шних

Запишем второй закон Ньютона для каждого из п тел механической систе-

тр >

Г

(8.1)

мы:

Складывая почленно эти уравнения, получим

Так как геометрическая сумма внут- ренних сил механической системы по третьему закону Ньютона равна нулю, то

или

(9.1)

Таким образом, производная по вре- мени от импульса механической систе- мы равна геометрической сумме вне- шних сил, действующих на систему.

В случае отсутствия внешних сил (рассматриваем замкнутую систему)

Последнее выражение и является законом сохранения импульса: им- пульс замкнутой системы сохраняется, т. е. не изменяется с течением времени.

Закон сохранения импульса спра- ведлив не только в классической физи- ке, хотя он и получен как следствие за- конов Ньютона. Эксперименты доказы- вают, что он выполняется и для замк- нутых систем микрочастиц (они подчи- няются законам квантовой механики). Этот закон носит универсальный ха- рактер, т.е. закон сохранения импуль- са — фундаментальный закон природы.

Отметим, что, согласно (9.1), им- пульс сохраняется и для незамкнутой системы, если геометрическая сумма всех внешних сил равна нулю. Также сохраняется проекция импульса на на- правление, вдоль которого равнодей- ствующая сил равна нулю.

Закон сохранения импульса являет- ся следствием определенного свойства симметрии пространства — его однород- ности. Однородность пространства заключается в том, что при параллель- ном переносе в пространстве замкнутой системы тел как целого ее физические свойства и законы движения не изме- няются, иными словами, не зависят от выбора положения начала координат инерциальной системы отсчета.

Импульс системы может быть выра- жен через скорость ее центра масс. Цен- тром масс (или центром инерции) системы материальных точек называет- ся воображаемая точка С, положение которой характеризует распределение массы этой системы. Ее радиус-вектор равен

где — соответственно масса и ра- диус-вектор материальной точки; п — число материальных точек в систе-

Скорость центра масс

(9.2)

т.е. импульс системы равен произведе- нию массы системы на скорость ее цен- тра масс.

Подставив выражение (9.2) в урав- нение (9.1), получим

(9.3)

ния ракеты. Если в момент времени t масса ракеты т, а ее скорость v, то по истечении времени dt ее масса умень- шится на dm и станет равной т — dm, a скорость станет равной v dv. Изме- нение импульса системы за отрезок вре- мени dt

dp=[(m — —

где — скорость истечения газов сительно ракеты.

Тогда

dp = + dm

(учли, что — малый высшего по- рядка малости по сравнению с осталь- ными). Если на систему действуют вне- шние силы, то dp = Fdt, поэтому

т.е. центр масс системы движется как материальная точка, в которой сосредо- точена масса всей системы и на кото-

или

(10.1)

рую действует сила, равная геометри- ческой сумме всех внешних сил, прило- женных к системе. Выражение (9.3) представляет собой закон движения центра масс.

В соответствии с (9.2) из закона со- хранения импульса вытекает, что центр массзамкнутойсистемылибодвижет- ся прямолинейно иравномерно, либо ос- таетсянеподвижным.

§10.Уравнениедвижения тела переменной массы

Движение некоторых тел сопровож- дается изменением их массы, например масса ракеты уменьшается вследствие истечения газов, образующихся при сгорании топлива, и т. п.

Выведем уравнение движения тела переменной массы на примере движе-

Второе слагаемое в правой части (10.1)называют реактивной силой Если противоположен v по направ- лению, то ракета ускоряется, а если со- впадает с v, то тормозится.

Таким образом, мы получили урав- нение движения тела переменной массы

(10.2)

которое впервые было выведено И. Б. Ме- щерским (1859-1935).

Идея применения реактивной силы для создания летательных аппаратов высказывалась в 1881 г. Н.И.Кибаль- чичем (1854 -1881). В 1903 г. К. Э. Ци-

олковский (1857—1935) опубликовал статью, где предложил теорию движе- ния ракеты и основы теории жидко- стного реактивного двигателя, поэтому его считают основателем отечественной космонавтики.

Применим уравнение (10.1) к дви- жению ракеты, на которую не действу- ют внешние силы. Полагая F = 0 и считая, что скорость выбрасываемых газов относительно ракеты постоянна (ракета движется прямолинейно), по- лучим

откуда

Значение постоянной интегрирова- ния С определим из начальных усло- вий. Если в начальный момент време- ни скорость ракеты равна нулю, а ее

стартовая масса то С= Сле- довательно,

(10.3)

Это соотношение называется фор- мулой Циолковского. Она показывает, что: 1) чем больше конечная масса ра- кеты т, тем больше должна быть стар- товая масса ракеты 2) чем больше скорость истечения газов, тем боль- ше может быть конечная масса при дан- ной стартовой массе ракеты.

Выражения (10.2) и (10.3) получе- ны для нерелятивистских движений, т. е. для случаев, когда скорости v и и малы по сравнению со скоростью с рас- пространения света в вакууме.

Контрольные вопросы

• Какая Почему система отсчета, связанная с Землей,

• Что такое сила? Как ее можно охарактеризовать?

• Является ли первый закон Ньютона следствием второго закона Ньютона? Почему?

• В чем заключается принцип независимости действия сил?

• Какова физическая сущность трения? В чем отличие сухого трения от жидкого? Какие виды внешнего (сухого) вы знаете?

• Что называется механической системой? Какие системы являются замкнутыми? Явля- ется ли Вселенная замкнутой системой? Почему?

• В чем заключается закон сохранения импульса? В каких системах он выполняется? По- чему он является фундаментальным законом природы?

• Каким свойством пространства обусловливается справедливость закона сохранения им- пульса?

• Что называется центром масс системы материальных точек? Как движется центр масс замкнутой системы?

ЗАДАЧИ

2.1. По наклонной плоскости с углом наклона а к горизонту, равным 30°, скользит тело. Определите скорость тела в конце третьей секунды от начала скольжения, если коэффици- ент 0,15. [10,9 м/с]

2.2. Самолет описывает петлю Нестерова радиусом 80 м. Какова должна быть наимень- шая скорость самолета, чтобы летчик не оторвался от сиденья в верхней части петли? [28 м/с]

2.3. Блок укреплен на вершине двух наклонных плоскостей, составляющих с горизон- том углы а = 30° и = 45°. Гири равной массы = = 2 кг) соединены нитью, переки- нутой через блок. Считая нить и блок невесомыми, принимая коэффициенты трения гирь о

наклонные плоскости = = /= 0,1 и пренебрегая трением в блоке, определите:

1) ускорение, с которым движутся гири; 2) силу натяжения нити. [1) 0,24 м/с2; 2) 12 Н]

2.4. На железнодорожной платформе установлена безоткатная пушка, из которой про- изводится выстрел вдоль полотна под углом а = 45° к горизонту. Масса платформы с пуш- кой М= 20 т, масса снаряда = 10 кг, коэффициент трения между колесами платформы и рельсами /= 0,002. Определите скорость снаряда, если после выстрела платформа откати- лась на расстояние = 3 м. [ = М = 970 м/с]

т cos a

2.5.

катера через 3 мин после начала движени

На катере массой т = 5 т находится водомет, выбрасывающий — 25 кг/с воды со скоростью м/с относительно катера назад. Пренебрегая сопротивлением движению катера, определите: 1) скорость я; 2) предельно

возможную скорость катера. [1)

Глава 3 РАБОТА И ЭНЕРГИЯ

§11 . Энергия, работа, мощность

Энергия — универсальная мера раз- личных форм движения и взаимодей- ствия. С различными формами движе- ния материи связывают различные формы энергии: механическую, тепло- вую, электромагнитную, ядерную и др. В одних явлениях форма движения ма- терии не изменяется (например, горя- чее тело нагревает холодное), в других — переходит в иную форму (например, в результате трения механическое движе- ние превращается в тепловое). Однако существенно, что во всех случаях энер- гия, отданная (в той или иной форме) одним телом другому телу, равна энер- гии, полученной последним телом.

Изменение механического движе- ния тела вызывается силами, действу- ющими на него со стороны других тел. Чтобы количественно характеризовать процесс обмена энергией между взаи- модействующими телами, в механике вводится понятие работы силы.

Если тело движется прямолинейно

на него действует постоянная сила F,

которая составляет угол

с направлением перемещения, то рабо- та этой силы равна произведению про- екции силы на направление переме- щения = а), умноженной на пе- ремещение точки приложения силы:

A = = (11.1)

Сила может изменяться как по мо- дулю, так и по направлению, поэтому в общем случае формулой пользо- ваться нельзя. Если, однако, рассмот- реть элементарное перемещение dr, то силу F можно считать постоянной, а движение точки ее приложения — пря- молинейным. Элементарнойработой силы F на перемещении dr называется скалярная величина

= =

Рис. 13

где а — угол между векторами F и dr;

= — элементарный путь; — про- екция вектора F на вектор (рис. 13).

Работа силы на участке траектории от точки 1 до точки 2 равна алгебраи- ческой сумме элементарных работ на отдельных бесконечно малых участках пути. Эта сумма приводится к интегралу

Для вычисления этого интеграла надо знать зависимость силы от пути s вдоль траектории 1 — 2. Пусть эта зави- симость представлена графически (рис. 14), тогда искомая работа А определя- ется на графике площадью затониро- ванной фигуры. Если, например, тело движется прямолинейно, сила F= const и а = const, то получим

где s — путь, пройденный телом [см. также формулу (11.1)].

Из формулы (11.1) следует, что при

работа силы положительна, в этом случае составляющая совпадает

по направлению с вектором скорости движения (СМ. рис. 13). Если а > —,

то работа силы отрицательна. При (сила направлена перпендику-

Рис.14

лярно перемещению) работа силы рав- на нулю.

Единица работы — джоуль (Дж): 1 Дж — работа, совершаемая силой 1 Н на пути 1 м (1 Дж = 1 Н • м).

Чтобы охарактеризовать скорость совершения работы, вводят понятие мощности:

(11.3)

За время dt сила F совершает рабо- ту Fdr, и мощность, развиваемая этой силой, в данный момент времени

т.е. равна скалярному произведению вектора силы на вектор скорости, с ко- торой движется точка приложения этой силы; N — величина скалярная.

Единица мощности — ватт(Вт): 1 Вт — мощность, при которой за вре- мя 1 с совершается работа 1 Дж (1 Вт =

= 1 Дж/с).

§ 12. Кинетическая

И потенциальная энергии

Кинетическая энергия механиче- ской системы — энергия механическо- го движения этой системы.

Сила F, действуя на покоящееся тело и вызывая его движение, совершает ра- боту, а энергия движущегося тела возра- стает на величину затраченной работы. Такимобразом,работаdA силы F НА.пути, который тело прошло за время возраста- ния скорости от 0 до v, идет на увеличе- ние кинетической энергии тела, т.е.

Таким образом, тело массой т, дви- жущееся со скоростью v, обладает ки- нетической энергией

(12.1)

Из формулы (12.1) видно, что кине- тическая энергия зависит только от массы и скорости тела, т.е. кинетиче- ская энергия системы есть функция со- стояния ее механического движения.

При выводе формулы предпо- лагалось, что движение рассматривает- ся в инерциальной системе отсчета, так как иначе нельзя было бы использовать законы Ньютона. В разных инерциаль- ных системах отсчета, движущихся друг относительно друга, скорость тела, а следовательно, и его кинетическая энергия будут неодинаковы. Таким об- разом, кинетическая энергия зависит от выбора системы отсчета.

Кинетическая энергия механиче- ской системы равна сумме кинетиче- ских энергий тел, входящих в систему. Так, кинетическая энергия системы из п материальных точек равна

где — скорость материальной точ- ки массой

Пусть взаимодействие тел осуществ- ляется посредством силовых полей (на- пример, поля упругих сил, поля грави- тационных сил), характеризующихся тем, что работа, совершаемая действу-

ющими силами при перемещении тела из одного положения в другое, не зави- сит от того, по какой траектории это перемещение произошло, а зависит только от начального и конечного по- ложений. Такие поля называются по- тенциальными, а силы, действующие в них, — консервативными. Если же работа, совершаемая силой, зависит от траектории перемещения тела из одной точки в другую, то такая сила называ- ется диссипативной; ее примером яв- ляется сила трения.

Тела, находясь в потенциальном поле сил, обладают потенциальной энергией П. Потенциальнаяэнергия — механическая энергия системы тел, оп- ределяемая их взаимным расположени- ем и характером сил взаимодействия между ними. Работа консервативных сил при элементарном (бесконечно ма- лом) изменении конфигурации систе- мы равна приращению потенциальной энергии, взятому со знаком «—» (рабо- та совершается за счет убыли потенци- альной энергии):

= -dII. (12.2)

Работа dA выражается как скаляр- ное произведение силы перемеще- ние dr (см. § и выражение (12.2) можно записать в виде

(12.3)

Следовательно, если известна фун- кция то из формулы (12.3) мож- но найти силу F по модулю и направ- лению.

Согласно формуле (12.3), потенци- альная энергия

где С — постоянная интегрирования, т. е. потенциальная энергия определяет- ся с точностью до некоторой произволь- ной постоянной. Это, однако, не суще-

ственно, так как в физические соотно- шения входит или разность потенци- альных энергий в двух точках, или про- изводная функции П по координатам. Поэтому потенциальную энергию тела в каком-то определенном положении условно считают равной нулю (выби- рают нулевой уровень отсчета), а потен- циальную энергию тела в других поло- жениях отсчитывают относительно ну- левого уровня.

Для консервативных сил

или в векторном виде

(12.4)

жение (12.7) вытекает непосредствен- но из того, что потенциальная энергия равна работе силы тяжести при падении тела с высоты h на поверхность Земли. Так как начало отсчета выбирается произвольно, то потенциальная энер- гия может иметь отрицательное значе- ние (кинетическаяэнергиявсегдаполо- жительна!). Если принять за нуль по- тенциальную энергию тела, лежащего на поверхности Земли, то потенциаль- ная энергия тела, находящегося на дне