Граничное условие для номальной составляющей на поверхности раздела двух проводящих сред
Условия для векторов d и Е при переходе границы раздела проводящих сред получают так же, как условия для векторов электрического поля на границе раздела двух диэлектриков.
На границе раздела двух сред с различными проводимостями и
выделим точку и окружим ее элементарным цилиндром, у которого высота бесконечно мала по сравнению с линейными размерами оснований (рис.1.8а).
Из Принцип непрерывности тока в интегральной форме аналогично предыдущему имеем
или
.
На границе раздела двух сред с различными проводимостями равны нормальные составляющие вектора плотности тока .
Для кастельных составляющие вектора напряженности поля было получено ранеедля границы диэлектриков
или
.
На границе раздела двух сред с различными проводимостями и
равны тангенциальные составляющие вектора напряженности поля
.
Получим соотношение, определяющее преломление векторов на границе проводящих сред сразличными свойствами:
.
Энергия электромагнитного поля.
Теорема Умова-Пойтинга
Плотность энергии электрического поля определяется
.
Плотность энергии магнитного поля имеет вид .
Плотность энергии электромагнитного поля может быть представлена как .
Энергия электромагнитного поля в объеме
.
Вектор Пойнтинга —вектор, равный векторному произведению напряженности электрического поля и напряженности магнитного поля, поток которого сквозь некоторую поверхность, представляет собой мгновенную электромагнитную мощность, передаваемую сквозь эту поверхность.
Вектор Пойнтинга характеризует величину и направление энергии, проходящей в единицу времени через единицу площади в направлении вектора Пойнтинга (рис.1.13).
Теорема Умова‒Пойтинга математически выражает закон сохранения энергии в электромагнитном поле.
Рис.1.13. Вектор Пойнтинга
Выделим в переменном электромагнитном поле некоторый объем V, ограниченный поверхностью S. Внутри выделенного объема могут оказаться частично или полностью источники и приемники электрической энергии в любых сочетаниях. Будем считать среду однородной и изотропной. Электромагнитное поле внутри объема описывается системой уравнений Максвелла:
, (1.8)
, ( 1.9)
. ( 1.10)
Здесь — вектор стороннего электрического поля (внутри источников электрической энергии).
Умножим скалярно уравнение (1.8) на а уравнение (1.9) на
, и вычтем почленно левые и правые части уравнений:
.
Из курса математики известно, что
Преобразуем правые части уравнения. Из закона Ома (1.9) следует:
;
.
После преобразования получим:
.
Проинтегрируем все члены полученного уравнения по выделенному объему V:
Преобразуем левую часть по теореме Остроградского -Гаусса:
.
— мощность тепловых потерь или потребляемая мощность в заданном объеме, эта мощность всегда положительна;
— мощность источников энергии внутри объема, эта мощность отрицательна, если векторы
и
совпадают, и положительна, если эти векторы не совпадают;
— мощность электромагнитного поля в объеме — она положительна, если идет процесс накопления энергии в объеме, и отрицательна, если идет процесс возврата энергии.
Таким образом, после принятых обозначений теорема Умова-Пойтинга получит вид:
или
.
Скорость изменения электромагнитной энергии, запасенной в объеме, равна сумме потока мощности через поверхность, ограничивающую этот объем, и мощности, поглощаемой или выделяемой протекающими в объеме токами.
Замечания.
1. В общем случае величина вектора Умова-Пойнтинга и дивергенция вектора Умова-Пойнтинга говорит только о наличии внутри выделенного объема электрических и магнитных полей. Наличие или отсутствие излучения показывает не дивергенция вектора Умова-Пойнтига, а только баланс энергии, согласно общему закону сохранения энергии.
2. Физический смысл «потока вектора Умова-Пойнтинга» в общем виде не определяет наличие излучения или поглощения электромагнитной энергии. Физический смысл имеет только поток вектора Умова-Пойнтинга в случае если магнитный поток В,входящий в уравнение Умова-Пойнтинга, создан в результате электрических токов при движении электрических зарядов под действием электрического поля, также входящего в то же самое уравнение. Другими словами, если магнитное поле существует независимо от внешнего электрического поля (например, для постоянных магнитов), то в этом случае теорема Умова-Пойнтинга недействительна. И поток вектора Умова-Пойнтинга в этом случае ничего не определяет, кроме наличия в выделенном объеме совместно отдельного электрического поля и отдельного магнитного поля.