Влияние и приближенный учет демпферных обмоток

Общий путь исследования электромагнитного пере­ходного процесса внезапного короткого замыкания син­хронной машины с демпферными обмотками принципи­ально тот же, что и в предыдущем параграфе. Такая машина характеризуется операторными реактивностями в обеих осях ротора. Каждая дополнительная обмотка на роторе повышает порядок определителя системы уравнений, аналогичной (9-7) и (9-8). Так, если по осям d и q расположено по одной демпферной обмотке, то р в определителе уже достигает пятой степени. При этом решение характеристического уравнения, получающегося путем приравнивания определителя нулю, в общем виде невозможно.

Достаточно близкое к действи­тельности решение можно получить, так же как и при отсутствии демпферных обмоток, пренебрегая поочеред­но активными сопротивлениями цепей ротора и статора.

При таком решении корни характеристического урав­нения p₁ и р₂ могут быть определены по (9-12), где вместо x'_d и x_q нужно ввести соответственно x"_d и x"_q.Для нахождения значений Т_a и x₂ должна быть сделана аналогичная замена в (9-13) и (9-14).

Остальные корни находят, предполагая активное со­противление цепи статора равным нулю (r=0). В про­дольной оси, где имеются две обмотки ротора (возбуж­дения и демпферная), переходный процесс, как уста­новлено в § 4-2, характеризуется постоянными времени T'_d и T"_d, которые обратны по величинам соответствую­щим корням и противоположны им по знаку, т. е. р_з = = -1/T'_d и p₄ = -l/T"d. Ограничиваясь приближенным решением, для определения этих постоянных времени согласно (4-23) и (4-24) имеем:

T¢_d»T¢_f+T¢_1d (9-35)

T¢¢_d»s¢T¢_fT¢_1d/(T¢_f+T¢_1d). (9-36)

Здесь T'_f и Т'_1d — постоянные времени соответственно обмотки возбуждения и продольной демпферной обмотки при замкнутом статоре (в общем случае через Хвн), определяемые по (7-45) и (7-48);

s '—коэффициент рассеяния ротора при замкнутом через x_вн статоре, опреде­ляемый как

s '=1-x¢²_ad / x¢_f x¢_1d (9-35)

где

x¢_ad = x_ad//(x_s+x_вн);

x¢_f = x_sf + x¢_ad;

x¢_1d = x_s1d+x¢_ad.

Следует отметить, что при близких коротких замы­каниях из-за большой реакции статора его магнитная связь с ротором сильно уменьшается,

что приводит к уве­личению о'; при этом ошибка от применения прибли­женных выражений (9-35) и (9-36) возрастает.

Наконец, для последнего пятого корня из характери­стического уравнения для поперечной оси, которое ана­логично такому же уравнению в продольной оси при отсутствии в ней демпферной обмотки, подобно (9-17) имеем:

p5=-x_q / T_1qox¢¢_q; (9-38)

определяемая им постоянная времени

Т"_q=-1/p₅=Т_1qoxq / x_q, (9-39)

где T_1qo — постоянная времени поперечной демпферной обмотки при разомкнутом статоре;

x_q и x"_q — поперечные синхронная и сверхпереходная ре­активности машины, включающие в себя ре­активность x_вн.

Дальнейшее решение можно вести подобно тому, как это сделано для машины без демпферных обмоток (см. § 9-2). Выражения для апериодической слагающей и связанной с нею второй гармоники тока статора сохра­няют тот же вид, что и в (9-32), где лишь х''_d и x_qдолжны быть заменены соответственно x"_d и x"_q.

Принципиальное различие получается в структуре выражения для продольной периодической слагающей тока статора и связанных с нею апериодических сла­гающих токов в продольных обмотках ротора. Строгие выражения для этих слагающих токов получаются до­вольно сложными (см. [Л. 4]), поэтому ограничимся результатами приближенного решения, которое в боль­шинстве случаев (особенно когда требуется только ток статора) удовлетворяет требованиям практики.

Для большей наглядности обратимся сразу к рис. 9-5, где показаны кривые изменения рассматриваемых сла­гающих токов при наличии продольной демпферной об­мотки, причем для сравнения там же приведены анало­гичные кривые¹ при отсутствии такой обмотки. Как вид­но, влияние продольной демпферной обмотки сказывает­ся на величине тока I_dt и на характере его изменения.

' Они отмечены дополнительным индексом «б/д. о.».

Рис. 9-5. Кривые изменения периодической слагающей тока статора и апериодических слагающих токов в контурах ротора по его продольной оси при внезапном коротком замыкании синхронной машины с демпфер­ными обмотками.

а — обмотка статора: б — обмотка возбуждения;

в — продольная демпферная обмотка,

В течение всего нестационарного процесса он несколько больше, причем в начальной стадии его затухание про­исходит быстрее, а затем медленнее, чем при отсутст­вии демпферной обмотки. Это влияние идентично тому, которое оказывает замкнутая обмотка, связанная маг­нитно с другими обмотками (см. § 4-2).

Важно отметить, что величина начального переходного тока I_d/0/ зависит от того, имеется ли у машины про­дольная демпферная обмотка или нет, в то время как ве­личина i¢_f/о/, в обоих случаях практически одинакова. Чем меньше Т_1do по сравнению с T_fо, тем меньше сказывается влияние продольной демпферной обмотки на величину тока I¢_d/0/. Если пренебречь этим различием, т. е. считать, что величина тока I_d/о/ при наличии продольной демпферной обмотки сохраняется той же, что и при ее отсутствии, то в развитие (9-ЗОа) выражение для продольной перио­дической слагающей тока статора принимает вид:

I_dt=I_d+I¢_{св d /0/} e^-t/T¢¢d +I¢¢_{св d /0/} e^-t/T¢¢d (9-40)

где I¢¢_{св d /0/} = E¢¢_q0 /x¢¢_d -E¢_q0 /x¢_d начальное значение свободно­го сверхпереходного тока.

Когда Т_fo>>Т_1dо, что обычно имеет место у явно-полюсных машин, представляется возможным пренебречь Т_1dо по сравнению с Т_1dо; при этом вместо (9-35) и (9-36) получим:

T'_d»T'_f (9-35a)

Т"_d »s¢Т_1d. (9-36а)

При этих условиях из структуры (9-40) следует, что продольная демпферная обмотка приводит лишь как бы к возникновению дополнительного свободного сверхпере­ходного тока, затухание которого обусловлено постоян­ной времени только этой обмотки.

Однако такая упрощенная запись тока I_dt и ее трактовка находятся в противоречии с физикой явления, что нужно непременно иметь в виду во избежание не­правильных представлений. В самом деле, магнитная связь между обмоткой возбуждения и продольной демпферной обмоткой исключает какое-либо независимое изменение тока в каждой из них.

Ток статора I_dt отра­жает совместное действие токов в обмотках по продоль­ной оси ротора. При этом оказывается, что при Т_fo>>Т_1dо изменение тока I'_свd зависит главным образом от обмот­ки возбуждения, а изменение тока I"_свd—от продольной демпферной обмотки. Именно в силу преобладающего влияния каждой из указанных обмоток на изменение только одного из свободных токов практически представ­ляется возможным при T_fo>>Т_1dо использовать выраже­ние (9-40). Последнее вполне пригодно для гидрогене­раторов, а для турбогенераторов оно дает большую по­грешность ¹.

Разумеется, когда Т'_d и Т"_d определены по (9-35) и (9-36), нахождение тока I_dt по (9-40) дает меньшую погрешность.

Поскольку цепь статора принята чисто индуктивной, поперечного принужденного тока вообще не будет и, следовательно, изменение поперечной периодической сла­гающей тока статора определяется простым выраже­нием

i _qпt = I¢¢_{q /0/} e ^{- t/ T¢¢ q}

В соответствии с (7-14) для периодической слагаю­щей тока фаза А имеем:

i_пА=i_dпcos(wt+g₀)+i_qпsin(wt+g₀). (9-42)

Полное выражение для мгновенного значения тока фазы Л по аналогии с (9-32) имеет вид:

¹. В большинстве литературных источников обычно приводится упрощенное выражение (9-40) без должной оговорки его применимо­сти и условности физической интерпретации. Полная четкость и ясность в этот вопрос внесена Л. Г. Мамиконянцем,

Для тока в цепи обмотки возбуждения (приведенного к статору) имеем:

i_f=i_f0+i¢_fсв/0/e^-t/T¢d-i¢¢_fсв/0/e^-t/Ta coswt (9-44)

где i_fсв/0/=I¢¢_d/0/ начальный свободный токв этой цепи;

—начальные значения соответственно свободного переходного и сверхпереходного токов в той же цепи.

Для тока в цепи продольной демпферной обмотки имеем:

i_1dt=i¢_1dсв/0/e^-t/T1d+i¢¢_1dсв/0/e^-t/T¢¢d-

-i _{1dсв/0 /}e^-t/Ta coswt (9-45)

где i _1dсв/0/=I¢¢_dсв/0/ -- начальный свободный ток в этой цепи;

i¢_1dсв/0/=I¢_свd/0/ и i¢¢_1dсв/0/=i _1dсв/0/ ---

-- i¢_dсв/0/—начальные значения соответственно свободного переходного и сверхпереходного токов в той же цепи.

Еще раз напомним, что при коротком замыкании за внешней реактивностью x_вн последнюю следует приба­вить ко всем реактивностям статора машины. При этом под u_do и u_qo следует понимать составляющие предшест­вующего напряжения в точке короткого замыкания.

На рис. 9-6 приведены осциллограммы токов статора и ротора и их отдельных слагающих при внезапном ко­ротком замыкании синхронного генератора, предвари­тельно работавшего на холостом ходу. Чтобы не услож­нять иллюстрации, периодическая слагающая тока стато­ра и связанные с нею апериодические слагающие токор ротора даны без разложения.

Рис. 9-6. Кривые изменения токов при внезап­ном коротком замыкании синхронной машины с демпферными обмотками.

а — обмотка статора; б — обмотка возбуждения; в — продольная демпферная обмотка.

Демпферные обмотки в обеих осях ротора обычно уменьшают его электромагнитную несимметрию при пе­реходном процессе, что приводит к уменьшению второй гармоники.

Пример 9-2. Произвести подсчет тех же величин, что и в пре­дыдущем примере 9-1, но при условии, что ротор данного генератора имеет демпферные обмотки, параметры которых следующие: x_id= =0,95; x_i,=0,58; T_1do= T_1qo =1 сек.

Определим дополнительные реактивности генератора

x_aq= x_q-x_s =0,6— 0,15=0,45;

x_s1q = х_1q — x_aq = 0,58 — 0,45 == 0,13

и x_s1q=x_1d-x_ad =0,95—0,85=0,1;

x_sf= 1,03—0,85 ==0,18.

По (6-14) и (6-15) находим:

x"_d=0,\5+ (0,85/ /0,18/ /0,1) =0,21 и x"q=0,15+ (0,45/ /0,13) =0,25.

Начальный сверхпереходный ток при трехфазном коротком за­мыкании на выводах генератора составляет:

I¢¢ _/0/=Е¢¢0 / x¢¢_d= 1/0.21=4.76

Поскольку постоянная времени T_fо существенно больше постоян­ной времени Т_1do, то определение свободных токов и постоянных времени их затухания выполним приближенно. Примем, что началь­ный переходный ток сохранится тот же, что и при отсутствии демп­ферных обмоток, т. е. I'_/0/=3,33. Тогда начальные свободные токи статора будут:

I"_св/0/=4,76—3,33=1,43 и I'_св/0/=3,33—1=2,33.

При закороченной обмотке статора найдем значения реактивностей, коэффициента рассеяния и постоянных времени:

x'_ad == x_аd//х_s = 0.85//0,15 = 0,128;

x'_f = x_sf + x'_ad = 0,18 + 0,128 = 0,308;

x¢_1d = x_a1d + x¢_ad = 0,10 + 0,128 = 0,228;

_s¢=1 – (x¢ 2ad / x¢f x¢_1d) =1 – (0.128² /0,308×0,228) =0.766

Приближенные значения постоянных времени затухания свободных токов будут:

T'_d » T'_f+T'1d= 1,5+0,24= 1,74 сек;

T"_d » _s¢T'_1d =0,766×0,24 = 0,184 сек.

По тем же выражениям, что и при отсутствии демпферных обмоток, заменив в них только х'_d на х"_d и x'_q на x"_{q ,} найдем:

i_A/0/=1×(0.25+0.21) /2×0,25×0,21 = 4.38

I_m2w=1×(0.25 - 0.21) /2×0,25×0,21 = 0.38

Величина реактивности

x₂=2x¢¢_dx¢¢_q / x¢¢_d+x¢¢_q = 2×0,25×0,21/ (0.25 + 0.21) = 0.228

и постоянная времени

Тa=0,228 /314×0.005=0.145 сек

Выражение для тока фазы А статора (при g_o = 0) будет:

i_A=(l,43e ^{–t / 0.184}+2,33e ^{–t / 1.74}+ 1) cos wt) + 4,38e ^{–t / 0.145} - 0, 38е ^{–t / 0.145} cos (2wt)

Начальное значение свободного апериодического тока в обмотке возбуждения (приведенного к статору) находим, используя схему замещения на рис. 6-6,в, т. е.

и

Начальные значения составляющих свободного тока i¢_fсв/0/ нахо­дим, используя приближенное выражение, т. е.

Таким образом, выражение для тока в обмотке возбуждения будет:

i_ft=1.18-0.69e^-t/0.184+2.28e^-t/1.74-1.59^-t/0.145 coswt

где

i_fп/0/ = -i_св/0/ = -1.59

По полученным выражениям построены кривые, представленные на рис. 9-2,6 и 9-3,6. Как и раньше, в построении i_fa условно при­нято резкое увеличение периода при сохранении правильной оги­бающей данной кривой.

При наличии демпферных обмоток ударный ток значительно возрос и составляет в относительных единицах i_у=9.13 и в имено­ванных единицах

i_у=Ö2×3,68×9,13=47,6 ка,

однако при этом из-за более быстрого затухания свободных токов ударный коэффициент стал несколько меньше: k_у=1,92 (про­тив 1,96).

На рис. 9-4 приведены кривые 4, 5, 6 изменения во времени действующего значения полного тока статора. Подсчет этого зна­чения аналогичен тому, как сделано в решении примера 9-1; в нем появляются лишь дополнительные слагаемые, связанные с учетном свободного сверхпереходного тока,

Поскольку ротор с демпферными обмотками более симметричен в электромагнитном отношении, то их наличие приводит к сущест­венному (более, чем в 2 раза) снижению второй гармоники. Поэтому разница между кривыми 5 и 6 значительно меньше, чем между кривыми 2 и 3 (рис. 9-4).

Максимальное мгновенное значение тока в обмотке возбуждения составляет i_fмакс=1630 а (вместо 2500 а) и соответственно мак­симальное напряжение на кольцах ротора u_fмакс =0,304 × 1 630== =495 в (вместо 760 в).

Сравнение кривых рис. 9-3,а и б показывает, что продольная демпферная обмотка существенно экранирует обмотку возбуждения и свободный ток в последней в начальной стадии процесса значи­тельно меньше, чем при отсутствии этой демпферной обмотки.