Внезапное короткое замыкание синхронной машины
Общие замечания
Анализ электромагнитного переходного процесса при внезапном коротком замыкании, рассматриваемый в настоящей главе, ограничен условием, что синхронная машина работает отдельно от других источников питания. Внешняя цепь ее статора при возникшем коротком замыкании характеризуется некоторым постоянным сопротивлением, преимущественно индуктивным.
Чтобы иметь некоторое представление о взаимном влиянии машин на характер протекания электромагнитного переходного процесса (при неизменной скорости их вращения), в конце главы данный вопрос кратко освещен для простейших условий, когда в схеме имеются две машины, связанные между собой через произвольные реактивности.
Вначале рассматривается переходный процесс в синхронной машине без демпферных обмоток и при отключенном устройстве автоматического регулирования возбуждения. В дальнейшем введен учет такого регулирования, используя материал предыдущей главы. Влияние и учет демпферных обмоток
изложен без строгих математических выкладок: при этом основное внимание обращено на вскрытие физической сущностиявления и возможности упрощенной оценки этот влияния.
Практический интерес представляет протекание процесса при каскадном (или ступенчатом) отключении короткого замыкания и его повторном включении. В общем виде данный вопрос очень сложен. Поэтому здесь он рассмотрен применительно к условиям, когда в схеме имеется лишь одна машина.
9-2. Внезапное короткое замыкание синхронноймашины без демпферных обмоток
При металлическом трехфазном коротком замыкании напряжение каждой фазы в месте короткого замыкания U=0. Следовательно, приращение напряжения в этой точке при возникновении такого повреждения будет ΔU= -Uo или в операторной форме. U(p)= -Uo/pАналогично приращения составляющих этого напряжения будут:
Δud = -udo= Δud (p) = -udo/p (9-1)
Δuq = -uqo= Δuq (p) = -uqo/p (9-2)
![]() |
.При отсутствии АРВ Δuf==0. Тогда из (7-39) имеем:
(9-3)
и из (7-40)
Фd(р)=хd(р) Δid (р). (9-4)
Для рассматриваемого переходного процесса уравнения (7-29) и (7-30) с учетом (7-34) после соответствующей группировки слагаемых можно представить в виде
Δud (p) = -udo/p=-(r+pxd(p)) Δid (p) - xq Δiq (p) (9-5)
Δuq (p) = -uqo/p= xd(p) Δid (p) – (r+pxq )Δiq (p) (9-6)
![]() | ![]() | ||||
![]() | |||||
откуда приращения токов:
|
![]() |
где определитель
D(p)=(r+pxd(p))(r+pxq)+xd(p)xq (9-9)
![]() |
Приравняв определитель нулю, получим характеристическое уравнение, которое после подстановки вместо хd{р) выражения (7-42) и проведения ряда преобразований приобретает вид:
|
Как видно, оно является полным кубическим уравнением относительно оператора р. Это указывает на то, что каждое из приращений токов (Δid, Δiq) содержит в себе три свободные составляющие. Таким образом, уже для самых элементарных условий требуется решить уравнение третьей степени, что достаточно просто лишь в числовых значениях.
Анализ характеристического уравнения (9-10) приводит к выводу, что при относительно малых значениях активных сопротивлений цепей, .как это обычно имеет место в условиях короткого замыкания, корни этого уравнения с достаточной для практики точностью можно определять, принимая поочередно гf==0 и г==0.
Так, при гf=0 (или Tf0=∞) характеристическое уравнение приобретает более простой вид:
[x'dxqp2+r(x'd+xd)p+(x'dxq+r2)]p=0 (9-11)
|
![]() |
корни соответственно равны:
p3=0
Два первых корня, как видно, выражаются сопряженными комплексами. Их действительная часть отрицательная, что указывает на затухание соответствующих им
![]() |
свободных токов с постоянной времени
где x2 = 2¢xd xq /(x¢d + xq ) (9 - 14)
/представляет собой реактивность обратной последовательности машины (подробнее—см. § 12-2). Значения мнимых частей этих корней
(9-15)
представляют относительные угловые частоты изменения соответствующих свободных токов, выраженных в координатах d, q.
Вычитаемое под корнем в (9-15) обычно ничтожно мало по сравнению с единицей, что позволяет практически им пренебречь. Тогда вместо (9-12) получим упрощенно:
(9-12а)
В то время как найденные при rf = 0 значения корней p1 и р2 достаточно близки к действительности, значение третьего корня рз при том же допущении не отражает истинного характера изменения соответствующей ему свободной составляющей тока. В самом деле, pз=0 указывает на то, что эта составляющая тока остается неизменной, но это противоречит физической сущности рассматриваемого процесса.
Близкое к действительности значение корня рз можно получить, полагая, r=0, но rf ¹0. При этом (9-10) переходит в простое уравнение
(p2+1) (x¢dp +xd /Tjo ) = 0 (9-16)
первые два корня которого получаются чисто мнимыми сопряженными:
p1,2 =± j
а третий корень
p3 = - xd / Tfo x´d , (9-17)
являясь вещественной отрицательной величиной, указывает на то, что отвечающий ему свободный ток затухает по экспоненте с постоянной времени
Т´d = -1/p3 = Tfox´d /xd (9-18)
При необходимости значение T´d.можно несколько уточнить, введя приближенный учет активного сопротивления цепи статора r. При этом выражение для T´d приобретает вид:
T´d = Tfo x´d xq + r2 / (xd xq + r2) (9-19)
Поскольку корни характеристического уравнения определены, то переход от изображений (9-7) и (9-8) к их оригиналам (т. е. временным функциям) уже не представляет принципиальных трудностей. Для каждого слагаемого этих выражений можно применить известную формулу разложения. Однако и здесь для упрощения решения можно без заметной погрешности использовать еще дополнительное допущение. Сущность последнего состоит в следующем: поскольку rf и r относительно малы, при определении принужденных токов и начальных значений свободных токов практически можно пренебречь всеми активными сопротивлениями одновременно, а не поочередно, как это делалось при определении корней характеристического уравнения. В этом случае, как правило,учет активных сопротивлений находит отражение только в значениях соответствующих постоянных слагающих затухания свободных токов.
При r==0 и rf==0 определитель вместо (9-9) будет:
D(p)=(1+p2)x´dxq (9-20)
и выражения (9-7) и (9-8) становятся совсем простыми:
id(p) = udo / ((1+p2)x´d) – uqo / (p(1+p2)x´d) , (9-21)
iq(p) = uqo / ((1+p2)xq) + udo / (p(1+p2)xq) . (9-22)
Непосредственно из таблиц преобразования функций по Лапласу имеем:
1/(1+p2) = sin t
и 1 / (p (1+p2)) = 1 – cos t.
поэтому оригиналами выражений (9-21) и (9-22) будут:
(9-23) ;
(9-24)
Прибавив к полученным приращениям токов предшествующие значения ido и iqo , и приняв во внимание, что в соответствии с принятыми положительными направлениями осей d и q
E'qо = uqo—x´d ido и udo = -xq iqo
![]() | ![]() | ||
получим:
Далее, используя (7-18), можно перейти от переменных в осях d, q к переменным в фазных осях А, В, С.Так, например, для фазы А после ряда преобразований имеем:
![]() |
Здесь, как видно, пока еще не учтено затухание свободных токов. В частности, первый член этого выражения представляет собой периодическую слагающую основной частоты, амплитуда которой при rf =0 остается
постоянной и равной начальному переходному току. Эта слагающая вызвана э. д. с. вращения, и ее изменение легко выявить, рассматривая отдельно действие этой э. д. с. при представлении машины операторной реактивностью Xd(p). Другими словами, для приращения этой слагающей Δ i dп в операторной форме имеем:
Δ i dп(p) = -uqo/(pxd (p)) = -uqo(1+pTfo) / (p (xd+Tfox´dp)), (9-28)
которое после перехода к оригиналу при значении p3 определяемом из (9-17), дает:
Δ i dп =-uqo / xd-(uqo / x´d-uqo / xd)e-t/T´d (9-29)
Прибавив предшествующий ток ido и сделав небольшие преобразования, получим:i dп = Δi dп+ i do= -Eqo / xd – (E´qo / x´d - Eqo / xd) e -t/T´d (9-30)
|
![]() |
Полученная закономерность изменения тока idn в координатах d, q в то же время характеризует изменение огибающей кривой периодической слагающей основной частоты тока статора. Эта слагающая в рассматриваемых условиях (пренебрежение активными сопротивлениями цепи статора и отсутствие замкнутого контура в поперечной оси ротора) является только продольной. Ее действующее значение в произвольный момент определяется аналогичным выражением, т. е.
где I—установившийся ток короткого замыкания;
(I´/0/ —I)=I' св/0/ —начальный свободный переходный ток.
|
![]() |
Для мгновенного значения периодической слагающей тока основной частоты фазы А имеем:
Остальные члены в (9-27) обусловлены действием трансформаторной э. д. с., и их затухание происходит с постоянной времени Га, определяемой (9-13).
Таким образом, полное выражение для мгновенного значения тока фазы А с учетом затухания свободных слагающих будет:
Здесь первые два члена образуют периодическую слагающую тока основной частоты, третий и четвертый члены — апериодическую слагающую и два последних члена—вторую гармонику тока.
Из структуры (9-32) видно, что вторая гармоника обусловлена несимметрией ротора (хq ¹ x'd). Ее возникновение вызвано апериодической слагающей тока статора, что непосредственно следует из простых физических представлений. В самом деле, поскольку магнитный поток от апериодической слагающей токов трех фаз статора' практически неподвижен в пространстве, в обмотке возбуждения он наводит э. д. с. синхронной частоты, которая создает в этой обмотке переменный ток той же частоты. В результате возникает пульсирующий магнитный поток, неподвижный относительно ротора. Чтобы проще представить влияние этого потока на статор, разложим его на два вращающихся в противоположные стороны. Один из них, очевидно, неподвижен относительно статора и частично компенсирует вызвавший его поток, а другой вращается относительно статора с двойной синхронной скоростью и вызывает в нем вторую гармонику тока.
Все полученные выражения справедливы при коротком замыкании как на выводах машины, так и в произвольной точке присоединенной к машине сети. В последнем случае под ud0 и uq0 нужно понимать составляющие предшествующего напряжения в рассматриваемой точке короткого замыкания, а к каждой из реактивностей машины должна быть прибавлена внешняя реактивность до места короткого замыкания. Аналогично в (9-13), а также в
(9-19) величина r должна включать в себя активное сопротивление внешней цепи до точки короткого замыкания. Из выражения для второй гармоники следует, что с увеличением удаленности короткого замыкания величина этой гармоники падает.
Обратимся теперь к обмотке возбуждения. Выражение для тока в ней можно получить, используя соотношение (9-3). Однако при ранее принятых допущениях его можно установить проще.
|
|
![]() |
Для компенсации магнитного потока, созданного током ∆idп/0/ ,с целью сохранения в начальный момент предшествующего потокосцепления обмотки возбуждения в последней возникнет свободный ток ifa, начальное значение которого(приведенное статору) определяется из равенства:
Этот ток обмотки возбуждения, затухает с постоянной времени Т'd.
С другой стороны ,как отмечалось выше ,от апериодической слагающей тока статора в обмотке возбуждения наводится переменный ток практически синхронной частоты ,затухающий с постоянной времени Та. Начальное значение этого тока должно быть равно ifa/0/, но противоположно ему, чтобы в момент короткого замыкания в обмотке возбуждения сохранился предшествующий ток if0.
![]() |
Следовательно,
![внезапное короткое замыкание синхронной машины внезапное короткое замыкание синхронной машины - student2.ru](/images/fizika/osnovnye-svedeniya-ob-yelektromagnitnykh-perekhodnykh-processakh-1644204-25.gif)
|
![внезапное короткое замыкание синхронной машины внезапное короткое замыкание синхронной машины - student2.ru](/images/fizika/osnovnye-svedeniya-ob-yelektromagnitnykh-perekhodnykh-processakh-1644204-25.gif)
![внезапное короткое замыкание синхронной машины внезапное короткое замыкание синхронной машины - student2.ru](/images/fizika/osnovnye-svedeniya-ob-yelektromagnitnykh-perekhodnykh-processakh-1644204-25.gif)
![внезапное короткое замыкание синхронной машины внезапное короткое замыкание синхронной машины - student2.ru](/images/fizika/osnovnye-svedeniya-ob-yelektromagnitnykh-perekhodnykh-processakh-1644204-25.gif)
Следует заметить, что, в тo время Как ток в фазах статора при коротком замыкании зависит от значения начального угла g0, ток в обмотке возбуждения не зависит от него. Это объясняется тем, что свободные токи обмотки возбуждения связаны с результирующими магнитными потоками, образуемыми соответствующими свободными токами фазных обмоток статора, и величины этих потоков не зависят от положения ротора в момент возникновения короткого замыкания.
На рис. 9-1 приведены кривые изменения токов статора и ротора при внезапном коротком замыкании синхронного генератора, предварительно работавшего на холостом ходу. Для большей наглядности кривых основная частота тока резко сокращена. Периодическая слагающая тока статора iп соответствует апериодической слагающей тока обмотки возбуждения ifa; в то же время апериодическая слагающая тока статора ia обусловливает периодическую слагающую тока обмотки возбуждения ifп, а последняя вследствие несимметрии ротора — вторую гармонику тока статора i2ω. Постоянная времени T'd, как правило, значительно больше Tа.
Пример 9-1. Для генератора известны следующие параметры 67 Мва; 10,5 кв; 3,68 ка; хd= 1,0; xq= 0,6; хσ= 0,15; х'd= 0,3;
r=0.83·10-2 ом; Tf0=5 сек, ток возбуждения холостого хода 450 а. Генератор работает на холостом ходу с номинальным напряжением; его АРВ отключено.
Для случая внезапного трехфазного короткого замыкания на выводах генератора требуется построить кривые изменения мгновенных значений токов статора и обмотки возбуждения, а также кривые изменения действующего значения полного тока статора в начальной стадии процесса короткого замыкания. Определить также максимальное мгновенное значение напряжения на кольцах ротора.
Расчет проведем в относительных единицах при номинальных условиях генератора и лишь некоторые конечные результаты выразим в именованных единицах.
Согласно заданному условию E'q0=Eq0=U0=l. При этом будем иметь:
I'/0/=1/0.3=3.33;I=1/1=1;
![]() |
начальное значение апериодической слагающей тока статора (при γ0=0), с учетом того, что uq0=Uq0, будет:
![]() |
начальная амплитуда второй гармоники тока статора
![]() |
Величина реактивности
![]() |
Рис. 9-1. Кривые изменения токов при внезапном коротком замыкании синхронной машины без демпферных обмоток,
а—обмотка статора; б—обмотка возбуждения.
относительная величина активного сопротивления статора
r=0.83·10-2·67/10.52=0,005. :
Значения постоянных времени:
Ta=x2/ωr=0.4/(314·0.005)=0.255 сек и
сек
Выражение для мгновенного значения тока фазы А (при γ0 = 0) будет:
iA= (2,33e-t/1.5 + 1) cosωt— (2,5 + 0,83 cos2ωt) е-t/0.255
где начальный свободный переходный ток
I'св/0/ = I'/0/ =3,33-1=2,33.
![]() |
Относительный ток возбуждения, приведенный к статору, будет:
![]() |
Для мгновенного значения тока в обмотке возбуждения имеем:
По этим выражениям построены кривые, представленные на рис. 9-2,а и 9-3,а. Для статора они даны только для первых нескольких периодов, а для обмотки возбуждения — до 3 сек, причем для большей наглядности период слагающей ifп резко увеличен, хотя огибающая по ее максимальным мгновенным значениям сохранена в правильном масштабе.
Для ударного тока короткого замыкания имеем:
или |
iy=2.33e-0.01/1.5+1+(2.5+0.83)e-0.01/0.255=6.52
iy = Ö2×3,68×6,52=34ка
Ударный коэффициент составляет:
Рис. 9-2. К примерам 9-1 и 9-2. Кривые изменения тока статора синхронной машины при внезапном коротком замыкании.
а—при отсутствии демпферных обмоток; б—при наличии демпферных
обмоток.
Рис 9-3. К примерам 9-1 и 9-2. Кривые изменения тока возбуждения синхронной машины при внезапном коротком замыкании.
в—при отсутствии демпферных обмоток: б—при наличии демпферных обмоток.
![]() |
Для действующего значения полного тока статора (в относительных единицах) э соответствии с указаниями § 3-3 имеем:
Если не выделять вторую гармонику, а считать, что только одна апериодическая слагающая полностью уравновешивает начальную амплитуду периодической слагающей (т. е. I¢0=3,33), то третьего слагаемого под радикалом не будет, а коэффициент перед последним слагаемым будет 22 (вместо 13,2), что приводит к завышению определяемой величины тока.
По вычисленным для нескольких моментов времени величинам действующих значений токов статора построены кривые 1, 2 и 3, представленные на рис. 9-4.
Рис. 9-4. К примерам 9-1 и 9-2. Кривые изменения действующего значения тока статора.
/ — периодической слагающей тока; 2 — полного тока с учетом второй гармоники; 3 — то же, но без учета второй гармоники с соответствующим увеличением апериодической слагающей тока при отсутствии демпферных обмоток; 4, 5 и 6 — то же, но при наличии демпферных обмоток.
Для определения напряжения на кольцах ротора предварительно найдем активное сопротивление обмотки возбуждения. Из выражения для Tfo для относительной величины этого сопротивления, приведенного к статору, имеем:
где реактивность обмотки возбуждения
,
Во взаимной системе относительных единиц базисный ток в цепи возбуждения должен быть (см. § 5-3)
Ifб=ifx.,xxad=450×0.85=380a,
а Sfб=Sб=67Мва;
следовательно,
Ufб = 67/0,38 =176кв
Действительная величина активного сопротивления обмотки возбуждения в именованных единицах составляет:
rf=0,655×10-2× 1762/67 =0,304 oм.
Максимальное мгновенное значение тока в обмотке возбуждения, выраженное в относительных единицах, при которых задается характеристика холостого хода, будет:
If=Ifxad=6.52×0.85=5.55
или
If=5.55×450=2500 a
Напряжение на кольцах ротора при холостом ходе Ufx.x=0,304×450»137 в; искомое максимальное мгновенное значение при коротком замыкании Ufмакс =0,304×2 500=760 в.