Задачи из лекций. (возможно, в билеты попадут не все они, но какая-то выборка из этих).
Задачи из лекций. (возможно, в билеты попадут не все они, но какая-то выборка из этих).
Лекция № 1
Пример. . Пример.
.
Пример. . Пример.
.
Пример. Пример.
.
Пример. . Пример.
.
Лекция № 2
Пример. . Пример.
.
Пример. . Пример.
.
Пример. . Пример.
.
Лекция № 3 ,
,
,
,
.
Пример. Вычислить .
Пример. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями .
Пример. Вывести формулу объёма шара .
Лекция № 4
Вычислить ,
,
.
Выяснить сходимость: ,
.
Вычислить , где
есть квадрат:
,
.
Вычислить , D треугольник с вершинами (0,0), (1,0), (1,1).
Лекция № 5.
Пример. Сменить порядок интегрирования .
Пример. Вычислить интеграл где D куб
.
Пример. Вычислить интеграл где D - четверть круга единичного радиуса в первой четверти плоскости.
Пример. Доказать формулу площади круга с помощью полярных координат.
Пример. С помощью сферических координат вывести формулу объёма шара .
Лекция № 6.
Пример. Решить дифференциальное уравнение .
Пример. Решить уравнение .
Пример. Решить линейное уравнение .
Лекция № 7.
Пример. Решить уравнение 2 порядка .
Пример. Решить уравнение 3 порядка .
Пример.Решить уравнение .
Пример.Решить уравнение .
Пример. Решить уравнение .
Лекция № 8.
Пример. Решить уравнение методом Лагранжа (вариации произвольных постоянных).
Пример. Решить уравнение методом неопределённых коэффициентов (по виду правой части).
Пример. Решить систему с помощью сведения системы к одному уравнению.
Пример. Решить систему с помощью собственных чисел и векторов.
Лекция № 9.
Пример. Поделить в показательной форме.
Пример. Найти по формуле Муавра.
Пример. Найдите все значения корня .
Лекция № 10
Пример. Исследовать сходимость ряда .
Пример. Исследовать сходимость ряда .
Пример.Выяснить сходимость ряда .
Лекция № 11.
Пример.Выяснить сходимость .
Пример. Выяснить, сходится ли ряд .
Пример.Найти сумму ряда .
Пример. Найти сумму ряда .
Лекция № 12.
Пример. Разложить в ряд Тейлора с помощью геометрической прогрессии: по степеням
, то есть в круге с центром 0.
Пример. Разложить в ряд Тейлора с помощью геометрической прогрессии: по степеням
.
Пример. Разложить в ряд Тейлора с помощью геометрической прогрессии по степеням
, то есть в круге с центром в точке 1.
Пример. Найти для
.
Пример. решить с помощью степенных рядов.
Пример. Решить дифференциальное уравнение с помощью степенных рядов.
Пример. Найти кольцо сх ряда Лорана .
Лекция № 13
Пример. Разложить функцию :
а) в ряд Лорана в кольце
б) во внешней области
в) в ряд Тейлора в круге .
Пример. Разложить в ряд Лорана по степеням
.
Пример. Найти скалярное произведение и
на интервале (0,1).
Пример. Доказать, что функции ,
ортогональны на интервале
.
Лекция № 14
Пример. Разложить в тригонометрический ряд Фурье функцию на интервале (-1,1).
Задачи из практики в билеты
(возможно, не все, но выборка из этих).
ПРАКТИКА № 1
Задача 11. Вычислить .
Ответ. .
ПРАКТИКА № 2
Задача 3. Вычислить . Ответ.
.
Задача 4. Вычислить . Ответ.
.
Задача 5. Вычислить . Ответ.
.
Задача 7. Вычислить .
Ответ. .
Задача 8. Вычислить . Ответ.
.
Задача 9. Вычислить . Ответ.
.
Домашние задачи.
2. Ответ.
. Указание. См. № 7.
3. . Ответ.
. Указание. См. задачу № 9.
ПРАКТИКА № 3
Задача 2. Вычислить интеграл .
Ответ. .
Задача 3. Вычислить интеграл
Ответ.
.
Задача 4.Вычислить интеграл .
Ответ. .
Задача 5. Вычислить интеграл .
Ответ. .
Задача 6. Вычислить интеграл
Ответ. =
.
Задача 7. Вычислить .
Ответ. =
.
Задача 8. Получить формулу вычисления интегралов вида .
Ответ.
ПРАКТИКА № 4
Задача 4. Вычислить интеграл .
Ответ. .
Задача 6. Вычислить интеграл .
Ответ.
Задача 7. Вычислить интеграл .
Ответ. .
Задача 8. Вычислить интеграл .
Ответ. .
Задача 9. Вычислить интеграл .
Ответ.
ПРАКТИКА № 5.
Задача 2. Вычислить интеграл .
Ответ. .
Задача 3. Вычислить интеграл .
Ответ. .
Задача 4.Вычислить интеграл .
Ответ. .
Ответ. .
Задача 6. Вычислить интеграл .
Ответ. .
Задача 8. Вычислить интеграл .
Ответ. .
Задача 9. Вычислить интеграл .
Ответ. .
Задача 10. Вычислить интеграл .
Ответ. .
ПРАКТИКА № 6.
Задача 1.Вычислить интеграл .
Ответ. .
Задача 2.Вычислить интеграл .
Ответ. .
Задача 5.Вычислить интеграл . Ответ.
.
Задача 6.Вычислить интеграл . Ответ.
.
ПРАКТИКА № 7
Задача 1. Вычислить интеграл . Ответ.
.
Задача 2. Вычислить интеграл . Ответ.
.
Задача 3. Вычислить интеграл . Ответ.
.
Задача 4. Вычислить интеграл . Ответ.
.
ПРАКТИКА № 8.
Задача 1. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями:
и
.
Ответ. .
Задача 2.Найти площадь области, ограниченной линиями
Ответ. .
Задача 4. Найти объём, получающийся при вращении кривой , при условии что
.
Ответ. .
Задача 5. С помощью основной формулы объёмов тел вращения, доказать формулу объёма конуса .
Задача 6.Найти длину явно заданной кривой: .
Ответ. .
Задача 7.Найти длину 1 витка винтовой линии в пространстве
Ответ. .
Задача 8.Найти длину дуги х = cos3(2t), y =sin3(2t),
Ответ. 3.
Задача 9.Найти длину кривой, заданной в полярных координатах: ,
.
Ответ. .
ПРАКТИКА № 10.
Задача 2. Вычислить двойной интеграл , где D квадрат,
.
Ответ. .
Задача 4. Вычислить интеграл по треугольнику D, вершины которого: (0,0),(1,1),(1,2).
Ответ. 2.
Задача 5.Сменить порядок интегрирования .
Ответ. .
ПРАКТИКА № 11.
Задача 1. Изменить порядок интегрирования: .
Ответ. .
Задача 2. Сменить порядок интегрирования в двойном интеграле:
.
Ответ. .
Задача 3. Изменить порядок интегрирования: .
Ответ. .
Задача 4.Вычислить по кубу
.
Ответ. .
Задача 5. Вычислить тройной интеграл .
Ответ. .
Задача 6. Найти объём тела, ограниченного поверхностями: .
Ответ. .
Задача 8. Вычислить , где D - четверть круга радиуса 1 (в первой координатной четверти).
Ответ. .
ПРАКТИКА № 12.
Задача 1. Записать в полярных координатах двойной интеграл по треугольнику с вершинами (0,0), (1,0), (1,1).
Ответ. .
Задача 2. Найти площадь поверхности .
Ответ. .
Задача 3. Вычислить объём тела, ограниченного цилиндром и двумя плоскостями
в цилиндрических координатах.
Ответ. .
Задача 4.Вычислить определитель Якоби сферических координат.
Ответ. .
Задача 5. Плотность вещества в шаре радиуса 1 равна расстоянию от начала координат. Вычислить массу (в сферических координатах).
Ответ. .
Задача 5-Б. Вычислить массу шара радиуса 1, если плотность равна квадрату расстояния от центра шара.
Ответ. .
Задача 6.Найти объём тела, ограниченного конусом
и сферой радиуса
.
Ответ. .
Задача 7.Найти объём тела, ограниченного поверхностями
.
Ответ. .
ПРАКТИКА № 13.
Задача 3.Решить дифференциальное уравнение .
Ответ. .
Задача 4. Решить уравнение , и найти частное решение задачи Коши:
.
Ответ. Общее решение , частное решение:
.
ПРАКТИКА № 14.
Задача 1. Решить уравнение .
Ответ. .
Задача 2. Решить уравнение .
Ответ. .
Уравнения Бернулли.
Задача 6. Решить дифференциальное уравнение
Ответ. .
ПРАКТИКА № 15.
Задача 4. Найти общее решение дифф. уравнения .
Ответ. .
Задача 5.Найти частное решение дифференциального уравнения при условиях Коши:
.
Ответ. , частное реш.
.
Задача 6. Найти частное решение дифференциального уравнения при условиях Коши:
.
Ответ. ,
.
Задача 9. Найти общее решение дифф. уравнения .
Ответ. .
Задача 10. Уравнение решить методом Лагранжа
Ответ. .
ПРАКТИКА № 16.
Задача 2. Решить уравнение: методом неопределённых коэффициентов.
Ответ. .
Задача 3.Решить уравнение .
Ответ. .
Задача 4.Решить уравнение .
Ответ.
.
Задача 5. Решить уравнение .
Ответ. .
Задача 6. Решить уравнение методом неопределённых коэффициентов.
Ответ. .
Задача домашняя. Решить уравнение. .
Ответ. .
ПРАКТИКА № 17
Задача 6. Вычислить Ответ.
.
Задача 7. Вычислить . Ответ.
и
.
Задача 9. Дано: . Найти
.
Ответ. .
Задача 10. Найти все значения .
Ответ. .
ПРАКТИКА № 19
Задача 1.Найти область сходимости ряда .
Ответ. абсолютно сходится в .
Задача 2. Найти область сходимости ряда .
Ответ. Ряд абсолютно сходится в интервале .
Задача 3. Найти область сходимости ряда .
Ответ. Ряд абсолютно сходится в интервале .
Задача 5. Найти радиус сходимости ряда . Ответ.
.
Задача 6. Найти радиус сходимости ряда . Ответ.
.
Задача 7. Найти радиус сходимости ряда . Ответ.
.
Задача 9. Найти радиус сходимости ряда . Ответ.
.
Задача 11. Найти сумму ряда Ответ.
=
.
Задача 12. Найти сумму ряда . Ответ.
=
.
Задача 13. Найти сумму ряда .
Ответ. =
.
Задача 14. Найти сумму ряда .
Ответ. =
.
ПРАКТИКА № 20
Задача 1. Найти сумму ряда . Ответ.
=
.
Задача 5. Найти для
. Ответ.10.
Задача 6. Найти для
. Ответ.
= 21.
ПРАКТИКА № 21
Задача 1. Найти производную для
. Ответ.
.
Задача 3. Разложить в ряд Тейлора по степеням
и найти
.
Ответ.Ряд ,
=
.
Задача 4. Разложить в ряд Тейлора: по степеням
.
Ответ. .
Задача 5. Разложить в ряд Тейлора: по степеням z.
Ответ.
Задача 6. Найти кольцо сходимости ряда Лорана:
Ответ. - кольцо сходимости.
Задача 9. Разложить в ряд Лорана во внешней области
.
Ответ. .
ПРАКТИКА № 22. Ряды Фурье.
Задача 3. Найти ряд Фурье для
Ответ. Ряд Фурье: .
Ниже показан чертёж к этой задаче, получившийся в результате работы программы. Видно, что чем больше n, тем более точно кривая огибает ломаную.
Задача 4. Разложить в тригонометрический ряд Фурье: .
Ответ. Ряд Фурье: .
Задача 5. Разложить в тригонометрический ряд Фурье на интервале (-1,1).
Ответ. .
Задачи из лекций. (возможно, в билеты попадут не все они, но какая-то выборка из этих).
Лекция № 1
Пример. . Пример.
.
Пример. . Пример.
.
Пример. Пример.
.
Пример. . Пример.
.
Лекция № 2
Пример. . Пример.
.
Пример. . Пример.
.
Пример. . Пример.
.
Лекция № 3 ,
,
,
,
.
Пример. Вычислить .
Пример. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями .
Пример. Вывести формулу объёма шара .
Лекция № 4
Вычислить ,
,
.
Выяснить сходимость: ,
.
Вычислить , где
есть квадрат:
,
.
Вычислить , D треугольник с вершинами (0,0), (1,0), (1,1).
Лекция № 5.
Пример. Сменить порядок интегрирования .
Пример. Вычислить интеграл где D куб
.
Пример. Вычислить интеграл где D - четверть круга единичного радиуса в первой четверти плоскости.
Пример. Доказать формулу площади круга с помощью полярных координат.
Пример. С помощью сферических координат вывести формулу объёма шара .
Лекция № 6.
Пример. Решить дифференциальное уравнение .
Пример. Решить уравнение .
Пример. Решить линейное уравнение .
Лекция № 7.
Пример. Решить уравнение 2 порядка .
Пример. Решить уравнение 3 порядка .
Пример.Решить уравнение .
Пример.Решить уравнение .
Пример. Решить уравнение .
Лекция № 8.
Пример. Решить уравнение методом Лагранжа (вариации произвольных постоянных).
Пример. Решить уравнение методом неопределённых коэффициентов (по виду правой части).
Пример. Решить систему с помощью сведения системы к одному уравнению.
Пример. Решить систему с помощью собственных чисел и векторов.
Лекция № 9.
Пример. Поделить в показательной форме.
Пример. Найти по формуле Муавра.
Пример. Найдите все значения корня .
Лекция № 10
Пример. Исследовать сходимость ряда .
Пример. Исследовать сходимость ряда .
Пример.Выяснить сходимость ряда .
Лекция № 11.
Пример.Выяснить сходимость .
Пример. Выяснить, сходится ли ряд .
Пример.Найти сумму ряда .
Пример. Найти сумму ряда .
Лекция № 12.
Пример. Разложить в ряд Тейлора с помощью геометрической прогрессии: по степеням
, то есть в круге с центром 0.
Пример. Разложить в ряд Тейлора с помощью геометрической прогрессии: по степеням
.
Пример. Разложить в ряд Тейлора с помощью геометрической прогрессии по степеням
, то есть в круге с центром в точке 1.
Пример. Найти для
.
Пример. решить с помощью степенных рядов.
Пример. Решить дифференциальное уравнение с помощью степенных рядов.
Пример. Найти кольцо сх ряда Лорана .
Лекция № 13
Пример. Разложить функцию :
а) в ряд Лорана в кольце
б) во внешней области
в) в ряд Тейлора в круге .
Пример. Разложить в ряд Лорана по степеням
.
Пример. Найти скалярное произведение и
на интервале (0,1).
Пример. Доказать, что функции ,
ортогональны на интервале
.
Лекция № 14
Пример. Разложить в тригонометрический ряд Фурье функцию на интервале (-1,1).
Задачи из практики в билеты
(возможно, не все, но выборка из этих).
ПРАКТИКА № 1
Задача 11. Вычислить .
Ответ. .
ПРАКТИКА № 2
Задача 3. Вычислить . Ответ.
.
Задача 4. Вычислить . Ответ.
.
Задача 5.