Научная и практическая значимость работы

Результаты работы могут быть использованы в теории квантовой информации и квантовых вычислений при выборе и определении оптимальных режимов работы логических элементов квантовых компьютеров в виде двухуровневых атомов или ионов в оптических и магнитных ловушках

Полученные в работе результаты могут также использоваться в учебном процессе при подготовке студентов, специализирующихся по теоретической физике, лазерной физике и оптике.

Структура и объем работы

Работа изложена на 34 страницах печатного текста. Состоит из введения, 3 глав, заключения и библиографический список, который включает 41 наименования. Общий объем работы 34 траниц текста.

Глава 1. Модель Джейнса-Каммингса. Кубит

Модель Джейнса-Каммингса

Модель Джейнса- Каммнгса была предложена в 1963 году Эдвином Джейнсом и Фредом Каммингсом при сравнении полуклассической теории спонтанного излучения и квантовой теории излучения. В полуклассической теории взаимодействия атом-поле, поле рассматривалось как функция времени, а не как оператор, атом же квантовался. Многие явления в современной оптике описываются полуклассической теорией (например, цикл Раби).

Модель Джейнса-Каммингса показала, что на эволюцию состояния двухуровневой системы влияет квантование поля излучения по сравнению с полуклассической теорией взаимодействия света и атомов. Так же было обнаружено, дискретность состояния поля влечет за собой распад и возрождение атомной инверсии. Такой чисто квантовый эффект может быть описан моделью Джейнса-Каммингса, но только в случае полуклассической теории. В 1987 году Ремпе, Вальтер, и Кляйн продемонстрировали случай квантовых коллапсов (распадов) и ревайвэлов (возрождений) в одноатомном мазере.

Рассмотрим модель Джейнса-Каммингса подробнее. Для данной системы можно записать гамильтониан с помощью гамильтониана из классической электродинамики. Нерелятивистский электрон взаимодействует с потенциальным полем U(r) и электромагнитным полем с потенциалом A(r). Классический гамильтониан для такой системы будет иметь вид:

, (1.1)

Каждое слагаемое распишем:

.

здесь p-импульс электрона, m-его масса, e-заряд. ,

,электромагнитное поле поперечное. Член описывает возмущение, а гамильтониан невозмущенной системы, в рамках теории возмущения.

Само представление о двухуровневом атоме построено на предположении о том, что из всех возможных состояний мы можем ограничится лишь двумя, и ограничение накладывается так же моду поля, в данном случае рассматривается одна мода поля.

Состояние атома, как известно, ограничивается правилами отбора и характеризуется значениями момента и четности. В модели Джейнса-Каммингса всевозможные типы переходов, в частности дипольные переходы.

Задача сводится к вычислению члена в выбранном базисе, но обычно этим членом пренебрегают, а более точное вычисление приводит к перенормировке массы.

Запишем векторный потенциал в рамках вторичного квантования для одной моды поля:

, (1.2)

где e-единичный вектор поляризации, - частота, -объем квантования.

Так как объемы атома намного меньше чем длина волны оптического излучения, то мы можем прибегнуть к следующему приближению: . Тогда для матричных элементов в данном приближении:

Беря в учет соотношение , заменим матричные элементы импульса на радиус-вектор. Так же введем атомные операторы

Тогда гамильтониан будет иметь вид:

, (1.3)

где , , , , .

Дальше нужно из исключить члены , . В итоге мы приходим к модели Джейнса-Каммингса:

. (1.4)

Можно подчеркнуть, что аналогичный по структуре гамильтониан можно получить при приближении , подробнее этот вопрос можно рассмотреть в работе [16].

Кубит

Квантово-механические процессы, как правило, описываются переходами между энергетическими уровнями [37]. Один из уровней описывает начальное состояние до перехода, второй уровень-конечное состояние после перехода. Нужно отметить, что такой переход так же может осуществляться через несколько промежуточных состояний.

Существует система, называемая кубитом, в которой можно ограничится рассмотрением двух уровней.

Применим постулаты квантовой механики к описанию кубита. Пространство состояний кубита является двумерным гильбертовым пространством. Вектор произвольного состояния кубита есть когерентная линейная суперпозиция базисных состояний:

, (2.1)

где - комплексные числа, удовлетворяющие условию нормировки: ; векторы и – ортонормированные базисные состояния. При этом положении кубит находится в обоих состояниях одновременно. Базисные состояния кубита могут быть выбраны произвольным образом, различается лишь поворот в двухмерном базисном состоянии. Выбор базиса определяется измерительным процессом.

С помощью вектора состояния описывается «чистое» состояние, состояние замкнутой квантовой системы. На самом деле данная система рассматривается в совокупности квантовой системы, которая взаимодействует с окружением (Рисунок 1).

Рис. 1. Смешанное состояние ,являющаяся частью системы.

Чтобы описать отельные подсистемы нужно пользоваться матрицей плотности . Опишем систему, состояние которой нам не полностью известно, для этого воспользуемся понятием статистического ансамбля чистых состояний, вероятность нахождения системы в них равна . Таким состоянием системы называют смешанное состояние.