Вычисление площади плоской области.
Теорема 24(вычисление площади области в декартовойсистеме координат). Если f(x) определена, непрерывна и неотрицательна на отрезке [a,b], то площадь множества выражается формулой:
. (16)
Множество Р называется криволинейной трапецией, порожденной графиком функции f(x) на [a,b].
□ Пусть некоторое разбиение [a,b]. Обозначим
∆xi =xi - xi-1; ∆i =[xi-1, xi]; h(T)=
;
(i=1,2…n).
Также обозначим через p(T) и P(T) – множества, составленные из прямоугольников
;
; (17)
;
. (18)
Рис.2
Поскольку , для любого разбиения T имеют место неравенства
. (19)
Из (17) и (18) получим, что
.
Отсюда, т.к. прямоугольники и
не имеют общих внутренних точек, следует что
;
.
Следовательно, площади многоугольников p(T) и P(T) равны соответственно нижней и верхним суммам Дарбу функции f(x) на [a,b]. Поэтому из (19) следует, что . Но, т.к. f(x) непрерывна на [a,b], то она интегрируема на этом отрезке, следовательно
.
По критерию интегрируемости верхний и нижний интеграл Дарбу совпадают и равны интегралу от f(x) по [a,b] (см. замечание к критерию интегрируемости). Переходя к пределу при h(T)→0 в неравенствах (19), получим
.
Следствие 1. Если функция f(x) непрерывная и неположительная на отрезке [a,b] и P={(x,y): a≤x≤b, f(x)≤y≤0}, то
. (20)
□ Положим . Тогда множество P* симметрично множеству P относительно оси Ox. Тогда в силу (16):
Рис.3
.
Но μ(P*)=μ(P), тогда справедлива формула (20). ■ Следствие 2.Формулы (16) и (20) можно объединить в одну формулу. Если f(x) непрерывна и знакопеременна на [a,b] , то площадь множества, заключенного между графиком функции и осью OX равна:
.
Примеры. 1) Вычислить площадь, образованную одной аркой синусоиды.
Решение. Область имеет вид (рис.4)
Рис.4
.
2)Вычислить площадь множества, ограниченного эллипсом.
Рис.5
Решение. Из канонического уравнения эллипса имеем:
Тогда площадь будет равна:
Следствие 3. Если функции f(x) и g(x) определены и непрерывны на [a,b], причем f(x)≥g(x) x
[a,b], то площадь области P, заключенной между графиками функций f(x), g(x) и прямыми x=a, x=b , равна:
. (21)
Рис.6
□ Пусть сначала f(x)≥g(x); f(x)≥0 и g(x)≥0. По теореме, площадь множества Р равна разности площадей криволинейных трапеций, порожденных графиками f(x) и g(x)
.
Отсюда, учитывая линейное свойство интегралов, получается формула (21). Теперь пусть f(x) и g(x) имеют произвольные знаки на [a,b], но f(x)≤g(x) x
[a,b]. Пусть число
. Сделаем замену: y’=y+A.
Рис. 7
В системе координат (x, y’) площадь фигуры ограниченную функциями f(x)+A и g(x)+A назовем P’. Ясно, что P’=P. Вычислим μ( Р’) в (x,y’), учитывая, что f(x)+A≥0 и g(x)+A≥0, по формуле (21) имеем:
.
Но, т.к. μ(P)= , то
. ■
Пример.Найти площадь области, ограниченной кривымиy=x и y=x2-2.
Решение. Найдем точки пересечения кривых.
Рис.8
Приравнивая ординаты, получим: x2-2=x Тогда площадь будет равна
.
Теорема 25(вычисление площади множества в полярной системе координат). Если функция определена и непрерывна на отрезке [α,β], то площадь множества P={(
φ,): α≤φ≤β,
}, граница которой в полярной системе координат задана графиком r(φ) и лучами φ=α и φ=β (которые могут превращаться в точки) определяется по формуле:
(22)
□ Возьмем разбиение отрезка [α,β], где φ0=α, φn=β, и положим
∆φi= φi - φi-1, ∆i=[ φi-1, φi], ,
, и h(T)=
.
Выберем произвольные точки
. Тогда pi(T)={(φ,
): φi-1≤φ≤φi, 0≤
≤mi} и Pi(T)={(φ,r): φi-1≤φ≤φi, 0≤
≤Mi} круговые секторы с углом ∆φi, i=1,2….n и радиусами mi и Mi.
Рис.9
Обозначим
ступенчатые фигуры, составленные из секторов pi(T) и Pi(T), соответственно вписанные в P и описанные около множества Т. Тогда
p(T) P
P(T) => μ(p(T))≤μ(P)≤μ(P(T)).
По формуле для площади сектора имеем:
Поэтому
Здесь s(T) и S(T) – суммы Дарбу для функции . Тогда выполняется неравенство
, (23)
где - интегральная сумма для функции
на отрезке
. Так как функция
непрерывна на
, то
тоже непрерывна и интегрируема на отрезке [a,b], а следовательно, выполняется критерий
.
Переходя в (23) к пределу при , по теореме сравнения получим, что справедлива формула (22). ■
Пример. Найти площадь множества Р, ограниченного кривой , которая называется кардиоидой .
.
Теорема 26 (вычисление площади множества, ограниченного кривой, заданной параметрически). Площадь множества, ограниченного простой гладкой замкнутой кривой , заданной параметрическими уравнениями
причем , определяется по формуле
(24)
Рис.10.
□ Для доказательства воспользуемся формулой (22). Рассмотрим полярную систему координат. Пусть А и С крайние точки , соответствующие полярным координатам
и
, причем точке А соответствует значение параметра
начало кривой Г, а значение
- соответствуют точке В – конец замкнутой кривой Г. Пусть
соответствуют точке С. Из параметрических уравнений кривой Г и уравнений полярных координат в декартовой системе координат имеем
Площадь в полярной системе координат равна разности площадей двух криволинейных секторов
и
. По формуле (22), предполагая, что
, получим
В силу. ■
Пример.Вычислить площадь, ограниченную эллипсом пользуясь формулой (24).
Решение. Запишемуравнение эллипса в параметрическом виде:
.
Тогда по формуле (24) имеем:
Вычисление длины кривой.Пусть Г – кривая на плоскости или в пространстве, заданная непрерывно дифференцируемой векторной функцией , т.е.
По определению, длиной кривой называется верхняя грань длин всевозможных ломанных вписанных в эту кривую, т.е. и, если
, то кривая называется спрямляемой, и имеет конечную длину. Переменная длина дуги кривой
, отсчитываемая от начала кривой Г, является возрастающей непрерывно дифференцируемой функцией параметра t и ее производная равна
.
Тогда длина кривой Г будет равна
.
По формуле Ньютона-Лейбница имеем
.
а) Если Г пространственная кривая, то
.
б) Если Г – плоская кривая, заданная параметрически уравнениями
,
то (25)
в) Если Г кривая является графиком функции y=f(x) на , то параметризуя ее уравнение
, из (25) будем иметь:
(26)
г) Пусть кривая Г задана в полярной системе координат уравнением , причем функции
непрерывны на
. Уравнение кривой можно параметризовать, используя связь декартовой системы координат и полярной, приняв за параметр угол
:
Подставим в (25) и, после преобразований, получим
(27)
Примеры. 1) Вычислить длину дуги верхней ветви полукубической параболы , если
.
Решение. Из уравнения находим:
Следовательно, по формуле (26) получим
2) Вычислить длину дуги одной арки циклоиды .
Решение. Из уравнений циклоиды находим:
Когда переменная изменяется на отрезке
то параметр
принимает значения на отрезке
. Следовательно, искомая длина дуги будет равна:
3) Вычислить длину первого витка спирали Архимеда: .
Решение. Первый виток спирали образуется при изменении полярного угла от 0 до
. Поэтому по формуле (26) искомая длина дуги равна