Главное значение (в смысле Коши)
Если функция такова, что при любом
существуют собственные интегралы
и
,
то под главным значением в смысле Коши (v. p.) понимается число
v. p. .
24. признаки сравнения несобственных интегралов от неотрицательных функций. Следствие.
Все теоремы сформулированы для положительных функций, однако они справедливы для знакопостоянных функций.
Теоремы сравнения.
А) Несобственные интегралы с бесконечными пределами интегрирования
Первая теорема сравнения. Пусть и
определены на
, интегрируемы на любом отрезке
, где
и
, причем
. Тогда:
1. если сходится , то сходится и
;
2. если расходится , то расходится и
.
Вторая теорема сравнения.Пусть функции и
определены на
, и пусть существует
. Тогда
1) Если , то
и
сходятся или расходятся одновременно.
2) Если , то из сходимости
следует сходимость
, а из расходимости
следует расходимость
.
3) Если , то из сходимости
следует сходимость
, а из расходимости
следует расходимость
.
Б) Несобственные интегралы от неограниченных функций.
Первая теорема сравнения. Пусть на отрезке функции
и
разрывны в точке
, и для каждого
выполняется неравенство
. Тогда если сходится
, то сходится и
; если расходится
, то расходится и
.
Вторая теорема сравнения.Пусть на отрезке функции
и
разрывны в точке
, и пусть существует
. Тогда:
1) Если , то
и
сходятся или расходятся одновременно.
2) Если , то из сходимости
следует сходимость
, а из расходимости
следует расходимость
.
3) Если , то из сходимости
следует сходимость
, а из расходимости
следует расходимость
.
25. Собственные интегралы зависящие от параметра, их непрерывности и дифференцируемости.
Для того чтобы дать определение интеграла, зависящего от параметра, введем функцию . Пусть эта функция
будет определена на некотором множестве, где
и
, то есть в результате получится множество
. Если функция
непрерывна в D, то тогда имеет смысл интеграл
, где x принадлежит некоторому конечному или бесконечному промежутку
, значит, интеграл может быть несобственным.
На основании этого можно дать определение интеграла, зависящего от параметра.
Определение.
Интеграл называется интегралом, зависящим от параметра, если
интегрируема на промежутке
при любом фиксированным
, где .
Следовательно, представляет собой функцию переменной (параметра)
, определенную в промежутке
. Возможно также существование интеграла при фиксированном
, тогда он будет представлять собой функцию переменной (параметра)
, определенную в промежутке
. Обозначается она так
, так что
.
Основная задача будет состоять в том, чтобы, зная свойства функции , получить информацию о свойствах функции
. Эти свойства имеют многообразные применения, особенно при вычислении несобственных интегралов.
Пример. Найти интеграл от функции
,
Функция непрерывна на отрезке
при любом фиксированном
, а значит, она интегрируема. Тогда
.