Тригонометрические подстановки.

Следующие интегралы превращаются в тригонометрические выражения при помощи тригонометрических подстановок:

  1. Тригонометрические подстановки. - student2.ru Тригонометрические подстановки. - student2.ru

Тригонометрические подстановки. - student2.ru

Тригонометрические подстановки. - student2.ru

  1. Тригонометрические подстановки. - student2.ru

Тригонометрические подстановки. - student2.ru

Тригонометрические подстановки. - student2.ru

  1. Тригонометрические подстановки. - student2.ru

Тригонометрические подстановки. - student2.ru

Тригонометрические подстановки. - student2.ru

13. Интегрирование иррациональных выражений, рационализирующие подстановки

Функция f(x) называется иррациональной, если она получена с помощью четырёх рациональных операций (сложения, вычитания, умножения, деления) и возведения в рациональную степень (не целую) переменной интегрирования или некоторого рационального выражения от этой переменной.

Далеко не всегда можно выразить интеграл от иррациональной функции с помощью элементарных функций (интеграл “не берётся” в конечном виде).

Мы рассмотрим некоторые наиболее употребительные иррациональные выражения, неопределённые интегралы от которых могут быть выражены через элементарные функции.

1) Интегрирование выражений R(x,xm/n,…,xr/s), где m/n,...,r/s рациональные дроби. Здесь символ R(x,xm/n,…,xr/s) означает, что над x,xm/n,…,xr/s производятся только рациональные действия (четыре перечисленных выше и возведение в натуральную степень). /“R”=”рациональное выражение от...”/. Пусть k– наименьший общий знаменатель дробей m/n,...,r/s. Осуществим замену X = tk , тогдаdx = ktk-1dt.

Каждая дробная степень Xтогда выразится через натуральную степень t и потому

подинтегральное выражение станет рациональной функцией от t. В этой связи замену X = tk называют рационализирующей подстановкой.

Тригонометрические подстановки. - student2.ru

Тригонометрические подстановки. - student2.ru Пример. Вычислить неопределённый интеграл

Решение.Т. к. то наименьший общий знаменатель дробей 1/3и 1/6

Тригонометрические подстановки. - student2.ru

Тригонометрические подстановки. - student2.ru
будет 6.Потому берём x = t6 ,откуда dx = 6t5dtи . Тогда

Тригонометрические подстановки. - student2.ru Тригонометрические подстановки. - student2.ru

Интегрирование выражений

Тригонометрические подстановки. - student2.ru Пусть k –наименьший общий знаменатель дробей m/n, … ,r/s.Осуществляя замену

мы сведём интеграл от этого иррационального выражения к интегралу от

рационального выражения по t.

Пример.Вычислить интеграл

Тригонометрические подстановки. - student2.ru

Тригонометрические подстановки. - student2.ru

Положим

Тригонометрические подстановки. - student2.ru

– интеграл от

– рациональной. функции.

Разлагаем подинтегральную функцию на простейшие рациональные дроби по методу неопределённых коэффициентов:

Тригонометрические подстановки. - student2.ru
Затем проинтегрируем их и перейдём в результате к первоначальному аргументу x.

14. Задачи, приводящие к понятию определенного интеграла. Определение определенного интеграла, необходимые условия его существования.

Задача о пройденном пути.

Пусть известен закон изменения мгновенной скорости v = v(t). Определим путь, пройденный при движении точки за промежуток времени от t = б до t = в. Движение в общем случае предполагается неравномерным.

Поступим следующим образом.

1). Разобьем весь промежуток времени на n произвольных интервалов

t0 = б < t1< t2 < … < ti-1 < ti < … tn-1 < tn = в,

где ti – ti-1 = Дti. На произвольном участке [ti-1, ti] будем считать движение близким к равномерному с постоянной скоростью v = v(фi), ti-1 ≤ фi ≤ ti. Тогда за время Дti пройденный путь приближенно равен si = v(фi)Дti. Результат справедлив для каждого интервала (i = 1, 2, …, n).

2). Если указанные интервалы достаточно малы, то весь путь приближенно равен сумме:

Тригонометрические подстановки. - student2.ru

Эта формула тем точнее, чем мельче разбиение данного промежутка времени.

3). Для получения точной формулы пути перейдем к пределу, увеличивая число дроблений (n→∞) и бесконечно измельчая сами интервалы. Обозначим л = Дti, тогда

Тригонометрические подстановки. - student2.ru

Задача о количестве вещества, вступившего в реакцию.

Пусть скорость химического превращения некоторого вещества, участвующего в химической реакции, есть функция времени v = v(t). Найти количество m вступившего в реакцию вещества за промежуток времени от t0 до T. Проделаем последовательно те же операции, что и при решении предыдущей задачи. В результате получим:

Работа переменной силы.

Пусть материальная точка под действием постоянной силы F перемещается по направлению этой силы. Если пройденный путь равен s, то, как известно из курса физики, работа Р этой силы F вычисляется по формуле: Р = FS.

Пусть теперь материальная точка движется по оси Ох от точки А(а) до точки B(b) (b>a) под действием переменной силы, направленной по Ох и являющейся функцией от х: F = f(x).

Для нахождения работы Р в этом случае разобьем отрезок [a; b] точками a = x0<x1<…<xn = b на n частичных отрезков и положим: Дxi = xi – xi-1, i = 1, 2, ..., n. Наибольшую из этих разностей обозначим через л = maxДxi. Если эти отрезки достаточно малы, то без большой ошибки на каждом из них силу F можно считать постоянной (равной f(фi)), что дает приближенное выражение для работы

,

где фi – одна из точек сегмента [xi-1, xi]. Отсюда:

Задачи о площади криволинейной трапеции.

Пусть на промежутке [a; b] задана функция f(x)≥0. Криволинейной трапецией называется плоская фигура, ограниченная указанной кривой y=f(x), прямыми x=a, x=b и осью Оx. (рис. 1). Для вычисления ее площади проделаем несколько операций.

Тригонометрические подстановки. - student2.ru

Рис. 1.

1). Разобьем промежуток [a; b] произвольными точками x0=a<x1<x2<…<xi-1<xi<…<xn=b на n частей. Положим Дxi = xi – xi-1, то есть Дxi есть длина i-го частичного отрезка, а наибольшую из этих длин обозначим л, (л=max Дxi).

2). На каждом отрезке [xi-1, xi] возьмем по произвольной точке ci,

xi-1<ci< xi и вычислим f(ci). Построим прямоугольник с основанием [xi-1, xi] и высотой f(ci). Его площадь равна Si=f(ci)( xi – xi-1). Проделаем это для каждого i = 1, 2, …, n.

3). Площадь всей заштрихованной ступенчатой фигуры, составленной из прямоугольников, равна сумме

Тригонометрические подстановки. - student2.ru

Площадь S криволинейной трапеции будет приближенно равна площади ступенчатой фигуры:

Тригонометрические подстановки. - student2.ru

Чем мельче отрезки деления, тем точнее полученная фигура “отображает” криволинейную трапецию.

4). За площадь криволинейной трапеции принимают предел, к которому стремятся площади ступенчатых фигур, когда длины отрезков деления стремятся к нулю, а их число неограниченно увеличивается (n→∞). Таким образом,

Тригонометрические подстановки. - student2.ru

15. Критерий интегрируемости функции (без доказательств). Достаточные условия существования определенного интеграла

Условия интегрируемости функции на отрезке Тригонометрические подстановки. - student2.ru – это условия существования определенного интеграла Тригонометрические подстановки. - student2.ru . При определении его как предела интегральной суммы предполагалось, что функция Тригонометрические подстановки. - student2.ru ограничена на отрезке Тригонометрические подстановки. - student2.ru .

Необходимое условие интегрируемости функции

Покажем, что условие ограниченности функций на отрезке Тригонометрические подстановки. - student2.ru является необходимым условием интегрируемости функций, т.е. справедлива следующая теорема.

Т. Если Тригонометрические подстановки. - student2.ru существует, то функция Тригонометрические подстановки. - student2.ru ограничена на отрезке Тригонометрические подстановки. - student2.ru .

Ограниченность является необходимым, но не достаточным условием интегрируемости функции на отрезке Тригонометрические подстановки. - student2.ru , Существуют ограниченные функции, не являющиеся интегрируемыми.

Достаточные условия интегрируемости функции

Т. Если функция Тригонометрические подстановки. - student2.ru непрерывна на отрезке [a, b], то она интегрируема на этом отрезке, т.е. существует Тригонометрические подстановки. - student2.ru

Т. Если функция Тригонометрические подстановки. - student2.ru ограничена на отрезке [a, b] и непрерывна на нем всюду, кроме конечного числа точек разрыва первого рода, то она интегрируема на этом отрезке.

Т. Если функция Тригонометрические подстановки. - student2.ru монотонна и ограничена на отрезке [a, b], то она интегрируема на [a, b].

Свойства определенного интеграла, выражаемые равенствами

1. Если нижний и верхний пределы интегрирования равны Тригонометрические подстановки. - student2.ru , то интеграл равен нулю: Тригонометрические подстановки. - student2.ru .

2. При перестановке пределов интегрирования определенный интеграл меняет знак на противоположный:

Тригонометрические подстановки. - student2.ru

Тригонометрические подстановки. - student2.ru

3.

4. Если функция f(x) интегрируема на отрезке [a, b], то и функция Тригонометрические подстановки. - student2.ru , где k – постоянная, также интегрируема на [a, b], причем Тригонометрические подстановки. - student2.ru Тригонометрические подстановки. - student2.ru ,

т.е. постоянный множитель можно выносить за знак определенного интеграла.

5. Если функции f(x) и g(x) интегрируемы на [a, b], то Тригонометрические подстановки. - student2.ru также интегрируема на [a, b], причем

Тригонометрические подстановки. - student2.ru .

6. Аддитивность определенного интеграла. Если существуют интегралы Тригонометрические подстановки. - student2.ru и Тригонометрические подстановки. - student2.ru , то существует также интеграл Тригонометрические подстановки. - student2.ru (и обратно) и для любых чисел a, b, c Тригонометрические подстановки. - student2.ru .

7. Если функция f(x) не меняет знак на Тригонометрические подстановки. - student2.ru , то определенный интеграл Тригонометрические подстановки. - student2.ru сохраняет ее знак, т.е. если Тригонометрические подстановки. - student2.ru Тригонометрические подстановки. - student2.ru Тригонометрические подстановки. - student2.ru , то Тригонометрические подстановки. - student2.ru , Тригонометрические подстановки. - student2.ru , Тригонометрические подстановки. - student2.ru .

8. Монотонность определенного интеграла. Если интегрируемые функции Тригонометрические подстановки. - student2.ru и Тригонометрические подстановки. - student2.ru удовлетворяют неравенству Тригонометрические подстановки. - student2.ru Тригонометрические подстановки. - student2.ru , то Тригонометрические подстановки. - student2.ru , Тригонометрические подстановки. - student2.ru .

9. Оценка интеграла. Если f(x) интегрируема на Тригонометрические подстановки. - student2.ru Тригонометрические подстановки. - student2.ru и Тригонометрические подстановки. - student2.ru Тригонометрические подстановки. - student2.ru , то Тригонометрические подстановки. - student2.ru , Тригонометрические подстановки. - student2.ru .

10. (о среднем значении для непрерывной функции). Если функция f(x) непрерывна на отрезке Тригонометрические подстановки. - student2.ru , то существует такая точка Тригонометрические подстановки. - student2.ru , что Тригонометрические подстановки. - student2.ru ,

т.е. определенный интеграл от непрерывной функции равен произведению значения подынтегральной функции в некоторой промежуточной точке Тригонометрические подстановки. - student2.ru отрезка интегрирования Тригонометрические подстановки. - student2.ru и длины b–a этого отрезка.

Число Тригонометрические подстановки. - student2.ru , определяемое по формуле Тригонометрические подстановки. - student2.ru , называется интегральным средним значением функции f(x) на отрезке Тригонометрические подстановки. - student2.ru .

16. Основные свойства определенного интеграла

Доопределим понятие определенного интеграла при a ≥ b следующими равенствами:

Тригонометрические подстановки. - student2.ru Тригонометрические подстановки. - student2.ru

Сформулируем некоторые свойства определенного интеграла в предположении, что подынтегральная функция ограничена на отрезке, по которому она интегрируется.

1). Если функция интегрируема на [a; b], то она интегрируема на

любом отрезке [x1; x2] Тригонометрические подстановки. - student2.ru [a; b].

2). Для любых a, b и c

Тригонометрические подстановки. - student2.ru

3). Интеграл обладает свойством линейности: для любых функций f(x) и g(x) и любой постоянной A

Тригонометрические подстановки. - student2.ru

Тригонометрические подстановки. - student2.ru

4). Если f(x) и g(x) интегрируемы на [a; b], то f(x) · g(x) также интегрируема на этом отрезке.

5). Если f(x) – периодическая функция с периодом T, то для любого a

Тригонометрические подстановки. - student2.ru

Для определенных интегралов верны также следующие оценки (предполагается, что функции f и g интегрируемы на [a; b]).

1). Если f(x) ≥ g(x), то

Тригонометрические подстановки. - student2.ru

2). В частности, если f(x) ≥ 0, то

Тригонометрические подстановки. - student2.ru

3). Если f(x) ≥ 0 для любого х Тригонометрические подстановки. - student2.ru [a; b] и существует х0 Тригонометрические подстановки. - student2.ru [a; b] такое, что f(x0)>0, причем f(x) непрерывна в х0 то

Тригонометрические подстановки. - student2.ru

4). |f(x)| интегрируема на [a; b], причем

Тригонометрические подстановки. - student2.ru

5). Если на отрезке [a; b] m ≤ f(x) ≤ M, то

Тригонометрические подстановки. - student2.ru

17. Теорема о среднем и ее геометрический смысл

Наши рекомендации