Тригонометрические подстановки.
Следующие интегралы превращаются в тригонометрические выражения при помощи тригонометрических подстановок:
13. Интегрирование иррациональных выражений, рационализирующие подстановки
Функция f(x) называется иррациональной, если она получена с помощью четырёх рациональных операций (сложения, вычитания, умножения, деления) и возведения в рациональную степень (не целую) переменной интегрирования или некоторого рационального выражения от этой переменной.
Далеко не всегда можно выразить интеграл от иррациональной функции с помощью элементарных функций (интеграл “не берётся” в конечном виде).
Мы рассмотрим некоторые наиболее употребительные иррациональные выражения, неопределённые интегралы от которых могут быть выражены через элементарные функции.
1) Интегрирование выражений R(x,xm/n,…,xr/s), где m/n,...,r/s рациональные дроби. Здесь символ R(x,xm/n,…,xr/s) означает, что над x,xm/n,…,xr/s производятся только рациональные действия (четыре перечисленных выше и возведение в натуральную степень). /“R”=”рациональное выражение от...”/. Пусть k– наименьший общий знаменатель дробей m/n,...,r/s. Осуществим замену X = tk , тогдаdx = ktk-1dt.
Каждая дробная степень Xтогда выразится через натуральную степень t и потому
подинтегральное выражение станет рациональной функцией от t. В этой связи замену X = tk называют рационализирующей подстановкой.
Пример. Вычислить неопределённый интеграл
Решение.Т. к. то наименьший общий знаменатель дробей 1/3и 1/6
будет 6.Потому берём x = t6 ,откуда dx = 6t5dtи . Тогда
Интегрирование выражений
Пусть k –наименьший общий знаменатель дробей m/n, … ,r/s.Осуществляя замену
мы сведём интеграл от этого иррационального выражения к интегралу от
рационального выражения по t.
Пример.Вычислить интеграл
Положим
– интеграл от
–
– рациональной. функции.
Разлагаем подинтегральную функцию на простейшие рациональные дроби по методу неопределённых коэффициентов:
Затем проинтегрируем их и перейдём в результате к первоначальному аргументу x.
14. Задачи, приводящие к понятию определенного интеграла. Определение определенного интеграла, необходимые условия его существования.
Задача о пройденном пути.
Пусть известен закон изменения мгновенной скорости v = v(t). Определим путь, пройденный при движении точки за промежуток времени от t = б до t = в. Движение в общем случае предполагается неравномерным.
Поступим следующим образом.
1). Разобьем весь промежуток времени на n произвольных интервалов
t0 = б < t1< t2 < … < ti-1 < ti < … tn-1 < tn = в,
где ti – ti-1 = Дti. На произвольном участке [ti-1, ti] будем считать движение близким к равномерному с постоянной скоростью v = v(фi), ti-1 ≤ фi ≤ ti. Тогда за время Дti пройденный путь приближенно равен si = v(фi)Дti. Результат справедлив для каждого интервала (i = 1, 2, …, n).
2). Если указанные интервалы достаточно малы, то весь путь приближенно равен сумме:
Эта формула тем точнее, чем мельче разбиение данного промежутка времени.
3). Для получения точной формулы пути перейдем к пределу, увеличивая число дроблений (n→∞) и бесконечно измельчая сами интервалы. Обозначим л = Дti, тогда
Задача о количестве вещества, вступившего в реакцию.
Пусть скорость химического превращения некоторого вещества, участвующего в химической реакции, есть функция времени v = v(t). Найти количество m вступившего в реакцию вещества за промежуток времени от t0 до T. Проделаем последовательно те же операции, что и при решении предыдущей задачи. В результате получим:
Работа переменной силы.
Пусть материальная точка под действием постоянной силы F перемещается по направлению этой силы. Если пройденный путь равен s, то, как известно из курса физики, работа Р этой силы F вычисляется по формуле: Р = FS.
Пусть теперь материальная точка движется по оси Ох от точки А(а) до точки B(b) (b>a) под действием переменной силы, направленной по Ох и являющейся функцией от х: F = f(x).
Для нахождения работы Р в этом случае разобьем отрезок [a; b] точками a = x0<x1<…<xn = b на n частичных отрезков и положим: Дxi = xi – xi-1, i = 1, 2, ..., n. Наибольшую из этих разностей обозначим через л = maxДxi. Если эти отрезки достаточно малы, то без большой ошибки на каждом из них силу F можно считать постоянной (равной f(фi)), что дает приближенное выражение для работы
,
где фi – одна из точек сегмента [xi-1, xi]. Отсюда:
Задачи о площади криволинейной трапеции.
Пусть на промежутке [a; b] задана функция f(x)≥0. Криволинейной трапецией называется плоская фигура, ограниченная указанной кривой y=f(x), прямыми x=a, x=b и осью Оx. (рис. 1). Для вычисления ее площади проделаем несколько операций.
Рис. 1.
1). Разобьем промежуток [a; b] произвольными точками x0=a<x1<x2<…<xi-1<xi<…<xn=b на n частей. Положим Дxi = xi – xi-1, то есть Дxi есть длина i-го частичного отрезка, а наибольшую из этих длин обозначим л, (л=max Дxi).
2). На каждом отрезке [xi-1, xi] возьмем по произвольной точке ci,
xi-1<ci< xi и вычислим f(ci). Построим прямоугольник с основанием [xi-1, xi] и высотой f(ci). Его площадь равна Si=f(ci)( xi – xi-1). Проделаем это для каждого i = 1, 2, …, n.
3). Площадь всей заштрихованной ступенчатой фигуры, составленной из прямоугольников, равна сумме
Площадь S криволинейной трапеции будет приближенно равна площади ступенчатой фигуры:
Чем мельче отрезки деления, тем точнее полученная фигура “отображает” криволинейную трапецию.
4). За площадь криволинейной трапеции принимают предел, к которому стремятся площади ступенчатых фигур, когда длины отрезков деления стремятся к нулю, а их число неограниченно увеличивается (n→∞). Таким образом,
15. Критерий интегрируемости функции (без доказательств). Достаточные условия существования определенного интеграла
Условия интегрируемости функции на отрезке – это условия существования определенного интеграла
. При определении его как предела интегральной суммы предполагалось, что функция
ограничена на отрезке
.
Необходимое условие интегрируемости функции
Покажем, что условие ограниченности функций на отрезке является необходимым условием интегрируемости функций, т.е. справедлива следующая теорема.
Т. Если существует, то функция
ограничена на отрезке
.
Ограниченность является необходимым, но не достаточным условием интегрируемости функции на отрезке , Существуют ограниченные функции, не являющиеся интегрируемыми.
Достаточные условия интегрируемости функции
Т. Если функция непрерывна на отрезке [a, b], то она интегрируема на этом отрезке, т.е. существует
Т. Если функция ограничена на отрезке [a, b] и непрерывна на нем всюду, кроме конечного числа точек разрыва первого рода, то она интегрируема на этом отрезке.
Т. Если функция монотонна и ограничена на отрезке [a, b], то она интегрируема на [a, b].
Свойства определенного интеграла, выражаемые равенствами
1. Если нижний и верхний пределы интегрирования равны , то интеграл равен нулю:
.
2. При перестановке пределов интегрирования определенный интеграл меняет знак на противоположный:
3.
4. Если функция f(x) интегрируема на отрезке [a, b], то и функция , где k – постоянная, также интегрируема на [a, b], причем
,
т.е. постоянный множитель можно выносить за знак определенного интеграла.
5. Если функции f(x) и g(x) интегрируемы на [a, b], то также интегрируема на [a, b], причем
.
6. Аддитивность определенного интеграла. Если существуют интегралы и
, то существует также интеграл
(и обратно) и для любых чисел a, b, c
.
7. Если функция f(x) не меняет знак на , то определенный интеграл
сохраняет ее знак, т.е. если
, то
,
,
.
8. Монотонность определенного интеграла. Если интегрируемые функции и
удовлетворяют неравенству
, то
,
.
9. Оценка интеграла. Если f(x) интегрируема на
и
, то
,
.
10. (о среднем значении для непрерывной функции). Если функция f(x) непрерывна на отрезке , то существует такая точка
, что
,
т.е. определенный интеграл от непрерывной функции равен произведению значения подынтегральной функции в некоторой промежуточной точке отрезка интегрирования
и длины b–a этого отрезка.
Число , определяемое по формуле
, называется интегральным средним значением функции f(x) на отрезке
.
16. Основные свойства определенного интеграла
Доопределим понятие определенного интеграла при a ≥ b следующими равенствами:
Сформулируем некоторые свойства определенного интеграла в предположении, что подынтегральная функция ограничена на отрезке, по которому она интегрируется.
1). Если функция интегрируема на [a; b], то она интегрируема на
любом отрезке [x1; x2] [a; b].
2). Для любых a, b и c
3). Интеграл обладает свойством линейности: для любых функций f(x) и g(x) и любой постоянной A
4). Если f(x) и g(x) интегрируемы на [a; b], то f(x) · g(x) также интегрируема на этом отрезке.
5). Если f(x) – периодическая функция с периодом T, то для любого a
Для определенных интегралов верны также следующие оценки (предполагается, что функции f и g интегрируемы на [a; b]).
1). Если f(x) ≥ g(x), то
2). В частности, если f(x) ≥ 0, то
3). Если f(x) ≥ 0 для любого х [a; b] и существует х0
[a; b] такое, что f(x0)>0, причем f(x) непрерывна в х0 то
4). |f(x)| интегрируема на [a; b], причем
5). Если на отрезке [a; b] m ≤ f(x) ≤ M, то
17. Теорема о среднем и ее геометрический смысл