Математическое дисконтирование

Математическое дисконтирование – определение первоначальной суммы долга, которая при начислении процентов по заданной величине процентной ставки (i), позволит к концу срока получить указанную наращенную сумму:

для простых процентов

PV = FV : (1 + n • i ) = FV • 1 / (1 + n • i ) =

= FV • (1 + n • i )^-1 = FV • k_д,

где k_д – дисконтный множитель (коэффициент приведения) для простых процентов.

Дисконтный множитель показывает, какую долю составляет первоначальная сумма долга в величине наращенной суммы. Поскольку дисконтный множитель (множитель приведения) зависит от двух аргументов (процентной ставки и срока ссуды), то его значения легко табулируются, что облегчает финансовые расчеты.

Пример. Через 150 дней с момента подписания контракта необходимо уплатить 310 тыс. руб., исходя из 8% годовых и временной базы 360 дней. Определить первоначальную сумму долга.

Решение:

Поскольку срок ссуды менее года, то используем формулу простых процентов:

PV = FV • 1 / (1 + t / T • i ) =

310'000 • 1 / (1 + 150 / 360 • 0,08) = 300'000 руб.

PV = FV • k_д = 310'000 • 0,9677419 = 300'000 руб.

Таким образом, первоначальная сумма долга составила 300 тыс. руб., а проценты за 150 дней – 10 тыс. руб.

для сложных процентов

PV = FV • (1 + i)^-n = FV • k_д,

где k_д – дисконтный множитель для сложных процентов.

Если начисление процентов производится m раз в год, то формула примет вид:

PV = FV • (1 + j/m)^{-m • n}

Пример. Через два года фирме потребуется деньги в размере 30 млн руб., какую сумму необходимо сегодня поместить в банк, начисляющий 25% годовых, чтобы через 2 года получить требуемую сумму?

Решение:

Поскольку срок финансовой операции составляет более года, что используем формулу приведения для сложных процентов:

PV = FV • 1 / (1 + i)ⁿ =

30'000'000 • 1 / (1 + 0,25)² = 19'200'000 руб.

или

PV = FV •╥k_д = 30'000'000 • 0,6400000 = 19'200'000 руб.

Таким образом, фирме следует разместить на счете 19'200'000 руб. под 25% годовых, чтобы через два года получить желаемые 30'000'000 руб.

Современная величина и процентная ставка, по которой проводится дисконтирование, находятся в обратной зависимости: чем выше процентная ставка, тем при прочих равных условиях меньше современная величина.

В той же обратной зависимости находятся современная величина и срок финансовой операции: чем выше срок финансовой операции, тем меньше при прочих равных условиях современная величина.

Банковский учет

Банковский учет – второй вид дисконтирования, при котором исходя из известной суммы в будущем, определяют сумму в данный момент времени, удерживая дисконт.

Операция учета (учет векселей) заключается в том, что банк или другое финансовое учреждение до наступления платежа по векселю покупает его у предъявителя по цене ниже суммы векселя, т.е. приобретает его с дисконтом. Сумма, которую получает векселедержатель при досрочном учете векселя, называется дисконтированной величиной векселя. При этом банк удерживает в свою пользу проценты (дисконт) от суммы векселя за время, оставшееся до срока его погашения. Подобным образом (с дисконтом) государство продает большинство своих ценных бумаг.

Для расчета дисконта используется учетная ставка:

• >простая учетная ставка:

D = FV - PV = FV • n • d = FV • t/T • d ,

где n – продолжительность срока в годах от момента учета до даты выплаты известной суммы в будущем.

Отсюда:

PV = FV - FV • n • d = FV • (1 - n • d),

где (1 - n • d) – дисконтный множитель.

Очевидно, что чем выше значение учетной ставки, тем больше дисконт. Дисконтирование по простой учетной ставке чаще всего производится по французской практике начисления процентов, т.е. когда временная база принимается за 360 дней, а число дней в периоде берется точным.

Пример. Вексель выдан на 5'000 руб. с уплатой 17 ноября, а владелец учел его в банке 19 августа по учетной ставке 8%. Определить сумму, полученную предъявителем векселя и доход банка при реализации дисконта.

Решение:

Для определения суммы при учете векселя рассчитываем число дней, оставшихся до погашения обязательств:

t = 13 (август) + 30 (сентябрь) + 31 (октябрь) + 17 (ноябрь) - 1 = 90 дней.

Отсюда, определяемая сумма:

PV = FV • (1 - t/T • d) =

5'000 • (1 - 90/360 • 0,08) = 4'900 руб.

Тогда дисконт составит:

D = FV - PV = 5'000 - 4'900 = 100 руб.

или

D = FV • t / T • d = 5'000 • 90/360 • 0,08 = 100 руб.

Следовательно, предъявитель векселя получит сумму 4'900 руб., а банк при наступлении срока векселя реализует дисконт в размере 100 руб.

• по сложной учетной ставке:

PV = FV •╥(1 - d)ⁿ

При использовании сложной учетной ставки процесс дисконтирования происходит с прогрессирующим замедлением, т.к. учетная ставка каждый раз применяется к уменьшаемой на величину дисконта величине.

Пример. Определить величину суммы, выдаваемую заемщику, если он обязуется вернуть ее через два года в размере 55 тыс. руб. Банк определяет свой доход с использованием годовой учетной ставки 30%.

Решение:

Используя формулу дисконтирования по сложной учетной ставке, определяем:

PV = FV • (1 - d)ⁿ = 55'000 • (1 - 0,3)² = 26'950 руб.

Заемщик может получить ссуду в размере 26'950 руб., а через два года вернет 55 тыс. руб.

Объединение платежей можно производить и на основе учетной ставки, например, при консолидировании векселей. В этом случае, сумма консолидированного платежа рассчитывается по следующей формуле:

FV_oб = ΣFV_j•(1 - d • t_j)^-1,

где t_j – интервал времени между сроками векселей.

Пример. Вексель на сумму 10 тыс. руб. со сроком погашения 10.06, а также вексель на сумму 20 тыс. руб. со сроком погашения 01.08 заменяются одним с продлением срока до 01.10. При объединении векселей применяется учетная ставка 25%. Определить сумму консолидированного векселя.

Решение:

Для использования формулы консолидированного платежа необходимо определить срок пролонгации векселей:

t₁ = 21 (июнь) + 31 (июль) + 31 (август) + 30 (сентябрь) + 1 (октябрь) - 1 = 113 дней,

t₂ = 31 (август) + 30 (сентябрь) + 1(октябрь) - 1 = 61 день.

Тогда, сумма консолидированного векселя:

FV_o = ΣFV_j • (1 - d • t_j)^-1 =

10'000 • (1 - 113/360 • 0,25)^-1 + 20'000 • (1 - 61/360 • 0,25)^-1 =

=31'736 руб.

Таким образом, сумма консолидированного векселя с датой погашения 01.10 составит 31'736 руб.

В том случае, когда учету подлежит долговое обязательство, по которому предусматривается начисление процентов, происходит совмещение начисления процентов по процентной ставке и дисконтирования по учетной ставке:

PV₂ = PV₁ • (1 + n₁ • i ) • (1 - n₂ • d ),

где PV₁ – первоначальная сумма долга;

PV₂ – сумма, получаемая при учете обязательства;

n₁ – общий срок платежного обязательства;

n₂ – срок от момента учета до погашения.

Пример. Обязательство уплатить через 100 дней сумму долга в размере 50 тыс. руб. с начисляемыми на нее точными процентами по ставке 40%, было учтено за 25 дней до срока погашения по учетной ставке 25%. Определить сумму, полученную при учете обязательства.

Решение:

Следует обратить внимание на различие временных баз, используемых при наращении и учете:

PV₂ = PV₁ • (1 + n_1/ • i ) • (1 - n₂ • d) =

50'000 • (1 + 100/365 • 0,4) • (1 - 25/360 • 0,25) = 54'516 руб.

Следовательно, сумма, получаемая при учете данного обязательства, составит 54'516 руб.