Системы переменных и ограничений. Система переменных ЭММ оптимизации ПОС организации включает следующие группы показателей (в сельскохозяйственных организациях): 1) размеры земельных площадей

Система переменных ЭММ оптимизации ПОС организации включает следующие группы показателей (в сельскохозяйственных организациях): 1) размеры земельных площадей под сельскохозяйственными культурами раздельно по товарной и нетоварной (кормовой) продукции в разрезе видов культур и сортов, размеры кормовых угодий (сенокосы, пастбища) в разрезе видов угодий; 2) поголовье сельскохозяйственных животных по видам, половозрастным группам, породам; 3) дополнительные переменные – по объемам закупаемых кормов (комбикорм, отруби, жмых, обрат и др.), по объемам производства основной и побочной продукции растениеводства (солома, зерноотходы, ботва кормовых культур и др.) и животноводства (шкуры, пух, перо, волос и др.); 4) вспомогательные переменные – различные показатели, определяемые при необходимости попутно в ходе решения задачи (стоимость валовой, товарной продукции, объем использования различных видов ресурсов – трудовых, земельных, натуральные и стоимостные объемы затрат по статьям и в целом, объемы производства по видам продукции, прочие). В промышленных организациях перечень переменных может быть следующим: 1) объемы производства продукции по видам; 2) дополнительные переменные; 3) вспомогательные переменные.

Система ограничений данного типа задачи содержит следующие группы ограничений:

I) Основные ограничения.

1) ограничения, закрепляющие не отрицательность переменных в экономических задачах. Общий вид математической записи:

Х_j≥0 (j €J),

где J – множество искомых переменных;

2) ограничения по размерам ресурсов: производственно-техническим (площади производственных помещений, производственные мощности оборудования и машин, стоимость требуемых сырья и материалов и другие); земельным (площади пашни и сельскохозяйственных угодий); трудовым (трудовые ресурсы – всего, в напряженный период), прочим.

Общий вид математической записи ограничений по размерам ресурсов (использование ресурсов не должно превышать их наличие):

∑a_mnX_n ≤ b_m (n€N, m€M),

где ∑a_mnX_n – объем использования m-го вида ресурсов на N видов деятельности, прдукции;

a_mn – норматив (коэффициент) использования m-го вида ресурсов на единицу n-го вида деятельности, продукции (на га культур, угодий, на гол. животных, на единицу продукции);

b_m – наличие ресурсов m-го вида;

N –множество переменных по видам деятельности, продукции (по площадям культур, угодий и поголовью животных);

M– множество ограничений по размерам ресурсов;

m – порядковый номер вида ресурсов, n – порядковый номер вида деятельности, продукции;

3) ограничения по площадям культур (угодий): по размерам, удельному весу, их соотношению. Общий вид математической записи ограничений по соотношению площадей:

= =

a_k∑X_s ≥ c_k∑X_sилиa_k∑X_s–c_k∑X_s ≥ 0 (k€K₁, K₁€K),

s€S_kc ≤ s€S_ka s€S_kc s€S_ka ≤ S_kc, S_ka€S

где S_kc– множество культур, угодий, входящих в группу C, в k-м ограничении;

S_ka - множество культур, угодий, входящих в группу А, в k-м ограничении;

a_kис_k– доли размеров площадей культур (угодий) каждой из групп (соответственно, А и С) в общей площади групп А и С;

k – порядковый номер ограничения по площадям культур (угодий);

K₁– множество (группа) ограничений по соотношению посевов (угодий);

K – множество групп ограничений по площадям культур (угодий);

s – порядковый номер вида (сорта) культуры, угодий;

S – множество групп культур, угодий..

Общий вид математической записи ограничений по размерам площадей:

∑X_s ≤ (≥, =) b_k , (s€S_k, k€K₂, S_k€S, K₂€K)

где S_k– множество культур (угодий) k-й группы;

K₂ – множество ограничений по размерам земельных площадей;

b_k– минимально (максимально) допустимое значение площади культур, угодий k-й группы.

Общий вид математической записи ограничений по удельному весу площадей культур (угодий): ∑X_s ≥ (≤,=) c_k∑X_s (k€K₃, K₃€K, S_kc, S_ka€S)

s€S_kc s€S_ka

где S_kc– множество культур, угодий, входящих в группу С, в k-м ограничении;

S_ka - множество культур, угодий, входящих в группу А, в k-м ограничении;

с_k– удельный вес площади культур (угодий) группы С в общей площади культур (угодий) группы А;

K₃ – множество (группа) ограничений по удельному весу площадей культур (угодий).

4) ограничения по поголовью сельскохозяйственных животных: количеству голов, структуре стада, удельному весу (аналогично ограничениям по площадям). Общий вид математической записи ограничений по структуре стада животных определенного вида (породы):

a_f∑X_h ≥ (≤,=) c_f∑X_h (f€F₁, F₁€F, H_fc, H_fa€H)

h€H_fc h€H_fa

где H_fc– множество подгрупп животных (определенного вида, породы, половозрастной группы), входящих в группу С, в f-м ограничении;

H_fa - множество подгрупп животных (определенного вида, породы, половозрастной группы), входящих в группу А, в f-м ограничении;

a_fис_f– доли поголовья животных каждой из групп (соответственно, А и С) в общем поголовье групп А и С;

f – порядковый номер ограничения по поголовью животных;

F₁– множество (группа) ограничений по структуре различных видов (пород) стада животных;

F – множество групп ограничений по поголовью животных;

h – порядковый номер подгруппы (половозрастной группы, породы, вида) животных;

H – множество групп (подгрупп) животных.

Общий вид математической записи ограничений по количеству голов животных:

∑X_h ≤ (≥, =) b_f , (h€H_f, f€F₂, H_f€H, F₂€F)

где H_f– множество подгрупп (видов, пород, половозрастных групп) животных f-й группы;

F₂ – множество (группа) ограничений по количеству голов животных;

b_f– минимально (максимально) допустимое количество голов животных f-й группы.

Общий вид математической записи ограничений по удельному весу одних групп животных в других группах:

∑X_h ≥ (≤,=) c_f∑X_h (f€F₃, F₃€F, H_fc, H_fa€H)

h€H_fc h€H_fa

где H_fc– множество подгрупп животных (определенного вида, породы, половозрастной группы), входящих в группу С, в f-м ограничении;

H_fa - множество подгрупп животных (определенного вида, породы, половозрастной группы), входящих в группу А, в f-м ограничении;

c_f– удельный вес животных группы С в группе А;

F₃ – множество (группа) ограничений по удельному весу животных.

5) ограничения по производству кормов и обеспеченности животных питательными веществами в кормах по кормовым единицам, переваримому протеину, каротину, другим видам питательных веществ (наличие питательных веществ в заготавливаемых кормах не должно быть меньше потребности в них животных). Общий вид математической записи:

∑a_psX_s + ∑a_pqX_q ≥ (≤,=) ∑a_phX_hили∑a_psX_s + ∑a_pqX_q – ∑a_phX_h ≥ (≤,=)0

(s€S_корм, S_корм€S, h€H, p€P, q€Q_корм, Q_корм€Q)

где S_корм –множество видов кормовых культур, выращиваемых в хозяйстве, кормовых угодий;

P – множество видов питательных веществ;

p – порядковый номер вида питательного вещества;

Q_корм – множество (группа) дополнительных переменных по объемам используемых кормов (покупных кормов, побочной продукции и отходов на корм и т. д.);

q – порядковый номер дополнительной переменной;

Q – множество групп дополнительных переменных;

a_ps– выход p-го питательного вещества с единицы площади s-й культуры;

a_pq– выход p-го питательного вещества с единицы q-й дополнительной переменной;

a_ph– потребность в p-м питательном веществе одной головы h-й подгруппы животных.

6) ограничения по структуре кормовых рационов, а именно по содержанию и соотношению отдельных видов и групп кормов в рационах животных (объемы потребления отдельных групп кормов животными должны быть в пределах допустимых физиологических норм – двухсторонние ограничения). Общий вид математической записи ограничений по содержанию отдельных групп (подгрупп) кормов в рационе:

∑k_uminh a_hX_h ≤ ∑a_sX_s + ∑a_qX_q ≤ ∑k_umaxh a_hX_h

(s€S_u, S_u€S, h€H, q€Q_u, Q_u€Q, u€U)

S_u –множество видов культур (угодий), используемых для производства u-й группы (подгруппы) корма;

u – порядковый номер группы (подгруппы) корма;

U – множество групп (подгрупп) кормов, используемых для кормления животных;

Q_u – множество видов покупных кормов, побочной продукции и отходов, входящих в u-ю группу корма;

a_s– выход кормовых единиц с единицы площади s-й культуры;

a_q– выход кормовых единиц с единицы q-го вида корма;

a_h– потребность в кормовых единицах одной головы h-й подгруппы животных;

k_uminhиk_umaxh– соответственно минимальное и максимальное содержание u-й группы корма в кормовом рационе h-й подгруппы животных в долях по питательности.

Общий вид математической записи ограничений по соотношению отдельных групп (подгрупп, видов) кормов в рационах животных (см. лекцию кормовые рационы).

7) ограничения по объемам производства, реализации и структуре товарной продукции. Общий вид математической записи ограничений по объемам производства и реализации продукции:

∑a_wsX_s ≥ (≤,=) b_w ; ∑a_whX_h ≥ (≤,=) b_w (s€S_тов, S_тов€S, h€H, w€W)

где S_тов – множество видов культур (угодий), используемых для получения товарной продукции растениеводства;

w – вид или группа однородных видов товарной продукции, его порядковый номер;

W – множество видов (групп) однородной товарной продукции (количество ограничений);

a_ws– выход w-го вида товарной продукции с единицы площади s-й культуры (угодий);

a_wh – выход w-го вида товарной продукции с одной головы h-й подгруппы животных;

b_w – предельно допустимое (min или max) значение объема производства, реализации w-го вида товарной продукции.

Общий вид математической записи ограничений по структуре товарной продукции (аналогично ограничениям по структуре поголовья, площадей и т. д.).

8) прочие группы основных ограничений. Например, по наличию, распределению и использованию удобрений; по составу, распределению работы и использованию МТП; по составу и распределению рабочей силы различной квалификации и т. д.

9) дополнительные ограничения – вводятся для определения или ограничения объема дополнительных переменных. Общий вид математической записи ограничения, определяющего объем дополнительной переменной:

∑a_qnX_n = X_q (q€Q, n€N)

где q – характеризует один и тот же вид дополнительной переменной и дополнительного ограничения;

a_qn – значение, на которое изменяется q-я дополнительная переменная с единицы n-го вида деятельности;

X_q– значение q-й дополнительной переменной.

Общий вид математической записи ограничений, ограничивающих размеры дополнительных переменных (зависит от того чем ограничивается – константой или объемами других переменных):

X_q ≥ (≤,=) b_q; ∑a_qnX_n ≥ (≤,=) X_q (q€Q, n€N)

10) вспомогательные ограничения – вводятся для определения размеров вспомогательных переменных (ограничения типа =). Общий вид математической записи:

a_vnX_n = X_v (v€V, n€N)

где V – множество вспомогательных ограничений (переменных);

v – вид вспомогательного ограничения (переменной);

a_vn - значение, на которое изменяется v-я вспомогательная переменная с единицы n-го вида деятельности;

X_v -значение v-й вспомогательной переменной.