Вычисление одностороннего доверительного интервала

Чтобы вычислить односторонний интервал, сначала по t-таблице 9.1.1 найдите значение t, используя графу “Односторонний” для уровня доверительности в верхней части таблицы. (Используйте ту же строку таблицы, что и для двустороннего интервала, поскольку число степеней свободы не изменяется и равно n-1.) Например, чтобы вычислить 95% односторонний доверительный интервал для выборки размером n = 23, следует использовать t = 1,717. Для 99,9% одностороннего доверительного интервала при п = 35 используйте t = 3,348.

Далее следует выбрать одно из следующих утверждений для одностороннего доверительного интервала:

Мы на 95% уверены, что среднее генеральной совокупности не меньше чем

- t_{одност.}

Мы на 95% уверены, что среднее генеральной совокупности не больше чем

+ t_{одност.}

Чтобы легче вспомнить, следует ли вычитать или прибавлять второй член, необходимо убедиться в том, что среднее значение выборки включено в односторонний интервал. (Так должно быть, поскольку это ваша наилучшая оценка среднего генеральной совокупности.) Таким образом, если односторонний доверительный интервал направлен в сторону больших значений (“не меньше, чем”), то он должен начинаться ниже среднего значения выборки, а если односторонний доверительный интервал направлен в сторону меньших значений (“не больше, чем”), то он должен начинаться выше среднего значения выборки.

Рис. 9.4.1 иллюстрирует этот факт, а также сравнение одно- и двусторонних доверительных интервалов.

90% интер.

95% не меньше, чем

95% не больше, чем

Среднее выборки

Рис. 9.4.1. В верхней части рисунка показаны оба типа односторонних доверительных интервалов. Односторонний доверительный интервал всегда включает среднее значение выборки, начинаясь с точки по одну сторону от выборочного среднего и продолжаясь до бесконечности в другую сторону. Обратите внимание, что начальная точка 95% одностороннегодоверительного интервала совпадает с одной из граничных точек 90% двустороннегодоверительного интервала.

Односторонний доверительный интервал позволяет сконцентрировать внимание на наиболее интересных случаях. Если вас интересуют ошибки только по одну сторону и совсем не заботят ошибки с другой стороны, тогда односторонний интервал может иметь начальную граничную точку ближе к среднему значению выборки (и поэтому он будет точнее), чем двусторонний доверительный интервал. Например, для большой выборки со средним, равным 19,0, и стандартной ошибкой, равной 8,26, вместо того чтобы утверждать, что среднее генеральной совокупности лежит между 2,81 и 35,2, вы сможете сказать, что это среднее не меньше 5,41. Знание, что среднее генеральной совокупности не меньше 5,41, дает больше информации, чем знание, что это среднее не меньше 2,81. Вы можете формулировать более строгое утверждение о нижней границе благодаря тому, что вы не формулируете вообще никаких утверждений о верхней границе.

Пример. Экономия от применения новой системы

Вы оцениваете новую автоматизированную систему производства и намерены приобрести ее, если выяснится, что она обеспечивает достаточную экономию денежных средств на единицу выпускаемой продукции. Вы организовали установку системы с условием, что сможете испытать ее в течение недели. Система должна быть запрограммирована для всего ассортимента типовых изделий, и экономия будет опреде­ляться для каждой единицы выпускаемой продукции.

Что в этом случае представляет собой генеральная совокупность? Это теоретическая совокупность всех тех изделий, которые могла бы выпускать система в условиях, аналогичных тем, при которых проходят испытания. Статистический вывод может помочь вам в этом случае, позволяя на основе информации о группе конкретных выпущенных изделий сделать вывод о среднем для значительно большего количества изделий, которые могли бы быть изготовлены в будущем в аналогичных условиях.

Следует ли в этом случае использовать односторонний интервал? Да, следует, поскольку независимо от поведения данных, вас интересует только одно — сможете ли вы сэкономить деньги. Интересующее вас вероятностное утверждение может выглядеть так: "Мы на 95% уверены, что среднее значение сэкономленных средств на единицу продукции при длительном периоде эксплуатации будет не меньше чем...".

Для выборки размером n = 18 единиц произведенной продукции со средним значением сэкономленных средств = $39,21 и стандартной ошибкой =$6,40 односторонний доверительный интервал будет бесконечно простираться в направлении больших значений, начиная с

- t_{одност.} =39,21 – (1,740)(6,40) = 28,07.

Поэтому окончательная формулировка утверждения относительно одностороннего доверительного интервала будет следующей.

Мы на 95% уверены, что среднее значение сэкономленных средств не меньше, чем $28,07 на единицу выпускаемой продукции.

Обратите внимание, что односторонний доверительный интервал включает среднее выборки Х = $39,21, как и должно быть. Иными словами, выборочное среднее = $39,21 удовлетворяет формулировке утверждения о доверительном интервале, будучи не меньше $28,07. Было бы неверно использовать другую граничную точку. Такой вид проверки правильности выбора начальной точки обеспечивает корректность построенных односторонних доверительных интервалов.

Чтобы вычислить односторонний доверительный интервал при другом уровне доверительности, просто возьмите в таблице и подставьте в формулу соответствующее t-значение. Например, при построении 99% одностороннего доверительного интервала используют значение t = 2,567. По сравнению с 95% интервалом это утверждение относительно значения сэкономленных средств более слабое, но этому утверждению вы доверяете больше.

Мы на 99% уверены, что среднее значение сэкономленных средств составляет не менее $22,78 на единицу выпускаемой продукции.

Интервалы предсказания

Доверительный интервал дает информацию о том, где с известной вероятностью находится среднее генеральной совокупности. Это очень полезно, если вы ищете обобщающую характеристику для большой генеральной совокупности. Однако если вы хотите получить информацию о наблюдаемом значении для отдельного случая, этот доверительный интервал вам не подходит. Вместо этого вам необходим более широкий интервал, отражающий не только оценку неопределенности , равную = S / (которая может быть очень маленькой при большом значении п), но и оценку неопределенности S отдельного наблюдения.

Интервал предсказания позволяет использовать данные из выборки для пред­сказания с известной вероятностью нового наблюдения при условии, что это новое наблюдение получают тем же способом, что и прошлые данные. Таким образом, ситуация заключается в следующем. Имеется случайная выборка размером п из генеральной совокупности, и в результате проведенных для этой выборки измерений получены значения Х₁,...,Х_п. Вам необходимо сделать предсказание относительно нового элемента, случайно выбранного из этой же генеральной совокупности.

Используемая здесь мера неопределенности представляет собой стандартную ошибку предсказания, т.е. величину изменчивости расстояния между средним значением выборки и новым наблюдением. Здесь объединены два вида случайности: для среднего значения выборки и для нового наблюдения. Стандартную ошибку предсказания находят умножением стандартного отклонения на корень квадратный из выражения (1 +1/ п).

S

Значение стандартной ошибки предсказания больше оценки S изменчивости отдельных элементов в генеральной совокупности. Так и должно быть, поскольку интервал предсказания должен объединять изменчивость отдельных элементов в совокупности (которая измеряется S) и изменчивость выборочного среднего значения (которая измеряется = S / ).

Вычислив оценку и стандартную ошибку предсказания, можно построить интервал предсказания таким же образом, как и обычный доверительный интервал. Также по таблице находят t -значение для заданного уровня доверительности прогноза и размера выборки п (конечно, не включая в выборку дополнительное наблюдение). Отличается только формула для вычисления стандартной ошибки; удостоверьтесь, что вы используете формулу для стандартной ошибки предсказания, а не стандартную ошибку среднего значения выборки.

Формулировка двустороннего интервала предсказания для нового наблюдения:

«Мы на 95% уверены, что новое наблюдение будет находиться между

-tS и +tS »

Какой смысл имеет здесь значение 95%? Это вероятность, соответствующая следующему случайному эксперименту: берем случайную выборку, находим интервал предсказания, берем новое случайное наблюдение и смотрим, попадает ли это новое наблюдение в построенный интервал. Обратите внимание, что вероятность 95% относится как к извлечению новой выборки, так и к извлечению нового наблюдения. Это естественно, потому что, поскольку одна выборка отличается от другой, доля новых наблюдений, попадающих в интервал предсказания, будет также разной для разных выборок. Усреднив случайность первоначальной выборки, получим вероятность, равную 95% (или другую необходимую вероятность).

Пример. Сколько времени необходимо для выполнения заказа

Когда нужно заказывать комплектующие для производства? Если вы закажете намного раньше, вам придется заплатить процент за кредит, взятый для приобретения комплектующих, и, кроме того, придется платить арендную плату за складское помещение для их хранения. Если вы закажете слишком поздно, вы рискуете остаться без необходимых комплектующих и придется на время остановить производственную линию.

При выполнении последних восьми поставок ваш поставщик говорил: "Следующий заказ будет выполнен через две недели". Вы отметили для себя, сколько рабочих дней в действительности потребовалось для выполнения последующих заказов, и у вас получились такие цифры:

10, 9, 7, 10, 3, 9, 12, 5

Среднее значение равно = 8,125 дня со стандартным отклонением S = 2,94897. Стандартная ошибка среднего равна = 1,04262, однако не она нас интересует. Стандартная ошибка прогноза вычисляется следующим образом.

Стандартная ошибка прогноза =S = 2,94897 = 3,12786.

Для двустороннего 95% интервала предсказания t -значение из таблицы для n = 8 будет равно t = 2,365 . Интервал предсказания находится в пределах от

8,125-(2,365) (3,12786) = 0,728

до

8,125+(2,365) (3,12786) = 15,52.

Вы предполагаете, что сроки поставки имеют приблизительно нормальное распределение. Тогда 8 наблюдений представляют собой случайную выборку из теоретической совокупности "типичных сроков поставки" и время выполнения следующего заказа на поставку является случайно выбранным из этой же генеральной совокупности. Окончательная формулировка утверждения об интервале предсказания бу­дет следующей.

"Мы на 95% уверены, что время выполнения следующего заказа на поставку будет лежать в пределах от 0,7 до 15,5 дней”.

Почему этот интервал предсказания имеет такой широкий диапазон? Диапазон отражает неопределенность ситуации. В последних 8 поставках время выполнения сильно изменялось. Естественно, это затруднило составление точного прогноза.

Если вы хотите убедиться, что следующее время поставки будет не слишком большим, вам следует построить односторонний интервал предсказания, используя t = 1,895, взятое из колонки таблицы для одностороннего 95% доверительного интервала. В этом случае верхняя граница будет равна

+t_{одност.}(Стандартная ошибка прогноза) = 8,125 + (1,895)(3,12786) = 14,05229.

Затем можно сформулировать следующее утверждение об одностороннем интервале предсказания.

Мы на 95% уверены, что время выполнения следующего заказа на поставку будет не больше 14 дней.

Если вас устроит 90% односторонний интервал предсказания, то верхняя граница (при t = 1,415) будет следующей:

+t_{одност.}(Стандартная ошибка прогноза) = 8,125 + (1,415)(3,12786) = 12,55092.

Тогда можно сформулировать следующее утверждение об одностороннем доверительном интервале.

Мы на 90% уверены, что время выполнения следующего заказа на поставку будет не больше 12,6 дней.