Измерение доходности облигаций

Доходность облигаций подразделяется на:

– купонную (проценты), которая определяется при выпуске облигаций,

– текущую – как отношение выплат по купонам к цене приобретения облигации (не предусматривая получение номинала облигации),

– полную доходность, измеряемую ставкой помещения, которая определяется как сумма погашения облигации (номинал) с суммой выплат по купонам отнесенную к цене приобретения облигации, то есть отношение всех доходов к расходам.

Обозначения:

g – объявленная норма годового дохода по облигации,

i_t – ставка текущей доходности,

i – ставка помещения,

P – рыночная цена,

N – номинал облигации,

g ´ N – выплаты по купонам, проценты по облигации

K – курс облигации, определяемый как отношение рыночной цены к номиналу, умноженное на сто.

Облигации без обязательного погашения по номиналу

В этом случае купонный доход g ´ N является единственным источником доходов. Следовательно, ставка полной доходности/помещения i, определяется из уравнения эквивалентности цены приобретения (рыночной цены) облигации P стоимости потока всех будущих купонных выплат (g ´ N)_k, приведенных к моменту покупки облигации

P = å (g ´ N) _k /(1+ i ) ^Δt/T. (11.17)

где суммирование осуществляется по k – номерам купонных выплат,

Δt=t_k-t покупки отрезок времени от момента выплаты соответствующего купона t_k до момента покупки облигации t покупки, t_k – момент выплаты k-ого купона, T – временное основание ставки полной доходности/помещения i.

Пример: Найти ставку полной доходности/помещения i для облигации без обязательного погашения номиналом N=100 руб. с ежегодными купонными выплатами в размере g=35% от номинала, приобретенной за два года до погашения по цене P=50 руб.

Согласно уравнения эквивалентности (11.17) получаем 50=(0,35´100)/(1+i) + (0,35´100)/(1 + i)2 откуда необходимо найти неизвестное значение i ставки полной доходности/помещения. Преобразуем полученное выражение 10=7/(1 + i)+ 7/(1 + i)2 10/7=((1 + i) +1)/(1 + i)2 1,428´(1 + i)2=i + 2 к виду i´2 + i ´ 1,856 - 0,5714 = 0 и найдем его корни, один из которых (наименьший положительный) даёт значение ставки помещения i =0,2689, т.е. 26,89%.

Следует отметить, что если купонные выплаты ежегодные и одинаковые по величине, то их можно представить как ренту и для нахождения уравнения эквивалентности (11.17) воспользоваться готовой формулой, определяющей современную стоимость ренты.

Текущая доходность облигаций без погашения по номиналу определяется выражением

it =å(g´N)k / P (11.18). где суммирование осуществляется по k – номерам купонных выплат.

Для выше рассмотренного примера значение ставки текущей доходности i_t=[(0,35´100)+(0,35´100)]/50=1,4 или 140%.

Облигации без выплаты процентов

Доход по облигациям без выплат процентов (купонам) будет определяться разностью между номиналом N, обязательным к выплате при погашении, и ценой приобретения P. Понятие текущей доходности по облигациям с таким условием вырождено, поскольку в условиях выпуска облигации отсутствуют промежуточные купонные (процентные) выплаты. Ставка полной доходности/помещения i (за n лет) будет определяться из уравнения эквивалентности, которое представляет собой равенство цены покупки облигации P, наращенной по ставке доходности/помещения i за n лет до погашения, самому номиналу N, т.е.

P ´ (1 + i)ⁿ = N или (1 + i)ⁿ = N/P = 100/K, (11.19)

откуда легко определить ставку помещения/полной доходности

i = (100/K)^1/n– 1. (11.20).

Отметим для себя, что цена покупки P фактически является современной стоимостью A_N платежа N ,который должен осуществиться через n лет.

Пример: Найти ставку полной доходности/помещения i для безкупонной облигации номиналом N=100 руб., приобретенную за два года до погашения по цене P=50руб.

Из выражения (11.20) следует i =(100/50)^1/2–1=0,4142 или 41,42%.

Облигации с ежегодной выплатой процентов
и погашением номинала в конце

Этот случай предусматривает выполнение обоих условий:1)погашение по номиналу, 2) купонных выплат.

Поскольку купонные выплаты g ´ N выплачиваются ежегодно, эти выплаты можно рассматривать как ренту с величиной ежегодной выплаты N ´ g. Ее современная стоимость

A% = R ´ (qⁿ – 1)/(q – 1) ´ qⁿ,

где

q = 1 + i_c;

n – число выплат купонов, равное числу лет до погашения облигации;

i_c – некоторая эффективная ставка.

Современная стоимость A_N номинала облигации N, приведенная к моменту покупки облигации будет равна

A_N = N/(1 + i_c)ⁿ.

Таким образом, цена приобретения P будет складываться из современной стоимости номинала A_N и современной стоимости выплат по купонам (процентам) A%, т.е.

P = A% + A_N,

причем ставка i_c – фигурирующая при этом и будет являться ставкой доходности/помещения.

Значение ставки полной доходности/помещения i_c находися из уравнения эквивалентности P = A% + A_N, которое в данном случае (ежегоные купоны) будет иметь вид

P = R ´ (qⁿ – 1)/(q – 1) ´ qⁿ + N/qⁿ, (11.21)

где

q = 1 + i_c;

n – число выплат купонов, равное числу лет до погашения облигации.

Разрешая (11.21) относительно i_c находится значение ставки доходности/помещения.

В том случае, если выплаты по купонам g ´ N осуществляются p раз в год, современная стоимость купонных выплат будет равна

A_%p = [g ´ N ´ (qⁿ – 1)/(q^1/p – 1)]/qⁿ, (11.22)

где q = (1 + i_с).

и представляет собой выражение современной стоимости для р-срочной ренты величиной g ´ N. То есть уравнение эквивалентности (11.21) принимает вид

P = R ´ (qⁿ – 1)/(q^1/p – 1) ´ qⁿ + N/qⁿ, (11.22)

Текущая доходность облигаций i_t определяется выражением

it =å(g´N)k / P (11.23) где суммирование осуществляется по k – номерам купонных выплат.

Рассмотрим пример, используя условия ранее рассмотренных случаев, т.е. найдем ставку полной i и текущей it доходности для облигации номиналом N=100 руб. с ежегодными купонными выплатами в размере g=35% приобретенную по цене P=50 руб. за два года до её погашения. Уравнение эквивалентности (11.22) будет иметь вид 50=(0,35´100) ´ [(1+i)2-1]/[(1+i)-1] ´(1+i)2+100/(1+i)2 или после преобразований 10=7´[(1+i)2-1]/i´(1+i)2+20/(1+i)2 10´i´ (1+i)2=7´[(1+i)2-1]+20´i 10´i+20´i2+10´i3=7´[(1+2´i+i2-1]+20´i 10+20´i+10´i2=7´[(2+i]+20 10´i2+13´i-28=0 Определяя корни этого уравнения, находим i=1,145 или 114,5%. Ставка текущей доходности согласно выражению (11.23) будет равна it = [(0,35´100)+(0,35´*100)]/50=1,4 или 140%.

Облигации с погашением номинала и выплатой процентов в конце

Проценты при этих условиях начисляются на весь срок и выплачиваются в конце при погашении облигации. Величина процентов I, начисленных за весь срок n, определяется из выражения I = N ´ (1 + g)ⁿ – N. Ставка полной доходности i определится из уравнения эквивалентности, выражающей равенство наращенной цены приобретения P сумме процентов I и номинала N, выплачиваемые в конце срока:

P ´ (1 + i)ⁿ = I + N

или после подстановки значений процентов

P ´ (1 + i)ⁿ = N ´ (1 + g)ⁿ

или преобразуя

((1 + i)/(1 + g))ⁿ = N/P = 100/K,

откуда можно определить ставку помещения

i = ((1 + g)/(K/100)^1/n) – 1. (11.24).

Пример: Найти ставку полной i доходности для облигации приобретенной по цене P=50 руб за два года до её погашения номиналом N=100 руб. с ежегодно начисляемыми по ставке g=35% процентами, выплачиваемыми при погашении.

i=(1+0,35)/(100/50)1/2–1=0,9545 или 95,45%.

Следует отметить, что нахождение значений ставки полной доходности так или иначе приводит к необходимости нахождения одного из корней полинома n степени (для приведенных примеров n для простоты вычислений равнялось 2), что представляет собой отдельную математическую задачу. Данная проблема в экономических расчетах в силу математических трудностей решается либо с использованием пакета Exel либо приближенными методами.

Приложение 1

Постановление Госкомстата РФ от 17 января 2003 г. №6
«Об утверждении "Методологических рекомендаций
по расчету базового индекса потребительских цен
(базовой инфляции)»»

Государственный комитет Российской Федерации по статистике постановляет:

Утвердить прилагаемые «Методологические рекомендации по расчету базового индекса потребительских цен (базовой инфляции)».

Председатель Госкомстата России В.Л. Соколин

Методологические рекомендации
по расчету базового индекса потребительских цен (базовой инфляции) (утв. постановлением Госкомстата РФ от 17 января 2003 г. №6)

Целью настоящих Методологических рекомендаций является определение порядка расчета показателя базового индекса потребительских цен (базовой инфляции).

Базовый индекс потребительских цен (БИПЦ), являясь одним из составляющих индекса потребительских цен (ИПЦ), исключает краткосрочные неравномерные изменения цен под влиянием отдельных факторов, которые носят административный, событийный, а также сезонный характер, и может быть использован для проведения определенных расчетов в аналитических целях.

В соответствии с Законом Российской Федерации «Об индексации денежных доходов и сбережений граждан в РСФСР» от 24 октября 1991 г. №1799-1 наблюдение за изменением потребительских цен возложено на органы государственной статистики.

В рамках реализации вышеназванного закона Госкомстат России осуществляет ежемесячный расчет системы индексов потребительских цен:

– все товары и платные услуги населению;

– все товары без алкогольных напитков;

– продовольственные товары без алкогольных напитков;

– продовольственные товары (включая алкогольные напитки);

– непродовольственные товары;

– платные услуги;

– все товары и услуги необязательного пользования;

– все товары необязательного пользования;

– продовольственные товары необязательного пользования;

– непродовольственные товары необязательного пользования;

– платные услуги необязательного пользования;

– все товары и платные услуги (без учета товаров и услуг необязательного пользования);

– продовольственные товары (без учета товаров необязательного пользования);

– непродовольственные товары (без учета товаров необязательного пользования);

– платные услуги (без учета услуг необязательного пользования);

– все товары и платные услуги (без овощей, картофеля и фруктов);

– продовольственные товары (без овощей, картофеля и фруктов).

Наряду с вышеназванными видами групповых индексов цен в соответствии с настоящими Методологическими рекомендациями предусматривается исчисление базового индекса потребительских цен (БИПЦ) или базовой инфляции.

Кроме того, осуществляется расчет индекса потребительских цен на товары и платные услуги населению, не вошедшие в перечень товаров и услуг, используемого при расчете базовой инфляции.

Целью расчета показателя базового индекса потребительских цен (БИПЦ) является выявление наиболее устойчивой динамики цен, не подверженной воздействиям шоков предложения и спроса, сезонного фактора, а также административному воздействию федеральных и региональных органов власти на процессы ценообразования.

Основным подходом к исчислению базового индекса потребительских цен (базовой инфляции) является исключение из расчета индекса потребительских цен изменения цен на отдельные его составляющие виды товаров и услуг, подверженные существенным колебаниям цен, не связанных с общим фоновым уровнем инфляции. При этом основным принципиальным условием расчета базового индекса потребительских цен (БИПЦ) является разработка постоянного перечня товаров и услуг, влияние изменения цен на которые ежемесячно исключаются из официального индекса потребительских цен (ИПЦ).

Базовый индекс потребительских цен (БИПЦ) рассчитывается на основании набора потребительских товаров и услуг, используемого для расчета сводного индекса потребительских цен за исключением отдельных товарных групп и видов товаров и услуг, цены на которые в основной массе регулируются на федеральном и региональном уровнях, а также в значительной степени подвержены воздействию сезонного фактора.

Исходя из вышеперечисленных критериев, из общего перечня продовольственных товаров исключается плодоовощная продукция, так как колебания цен на нее имеют ярко выраженный сезонный характер и течение всего года существенно влияют на индекс потребительских цен (ИПЦ) как в сторону его понижения, так и повышения.

Из группы непродовольственных товаров в расчет базового индекса потребительских цен не включается изменение цен на топливо (включая бензин), так как динамика цен на отдельные виды топлива, помимо сезонного фактора, подвержена административному воздействию федеральных и региональных органов власти.

Из группы платных услуг населению исключаются те их виды, формирование цен на которые осуществляется, как правило, на федеральном или региональном уровне по решению соответствующих органов власти (отдельные услуги пассажирского транспорта, услуги связи, практически все виды жилищно-коммунальных услуг, отдельные виды услуг правового характера и банков) (Приложения 1 и 2).

Доля потребительских товаров и услуг, исключаемых из расчета базового индекса потребительских цен в 2003 г., составляет 17%.

Расчет показателя базового индекса потребительских цен (БИПЦ) осуществляется в рамках федерального государственного статистического наблюдения за уровнем и динамикой потребительских цен с применением методологии и инструментария, которые разрабатываются и утверждаются Госкомстатом России по согласованию с другими заинтересованными ведомствами.

Исчисление базового индекса потребительских цен, как и расчет всей системы индексов потребительских цен, осуществляется как в разрезе субъектов Российской Федерации, так по России в целом в соответствии с «Основными методологическими положениями о порядке наблюдения за потребительскими ценами и тарифами на товары и услуги, оказанными населению, и определения индекса потребительских цен», утвержденными постановлением Госкомстата России от 25.03.2002 г. №23 по согласованию с Минфином России, Минэкономразвития России, Минтруда России.

При этом для каждого из индексов используется свой единый для всех субъектов Российской Федерации набор потребительских товаров и услуг.

В качестве весов для построения базового индекса потребительских цен используется структура потребительских расходов населения, разработанная на основе обследования бюджетов домашних хозяйств за предыдущий год с исключением весов тех компонентов набора товаров и услуг, которые не участвуют в указанном расчете. При этом нормализация взвешивания осуществляется таким образом, чтобы сумма компонентов при включении в показатель базового индекса потребительских цен составляла также 1 (или 100%). В результате такой процедуры каждому наименованию товаров (услуг), изменение цен на которые участвуют в расчетах базового индекса потребительских цен, придается дополнительный вес.

По мере совершенствования информационной базы, используемой для расчетов индексов потребительских цен, в настоящие «Методологические рекомендации» могут быть внесены соответствующие изменения.

Приложение 2 (выписка)