Математическое дисконтирование

Математическое дисконтирование представляет собой формально шение задачи, обратной наращению первоначальной суммы ссуды.

При математическом дисконтировании по простой процентной ставке i расчеты вып-ся по формуле: P=S/1+n*i=S/1+t/T*i.

Выражение k_д=1/1+n*i=1/1+t/T*i наз-ся дисконтным множителем математического дисконтирования по простым процентам. Он показывает, какую долю составляет первонач-я сумма долга в величине наращенной суммы. Величина современной стоимости при сложных процентах в случае матем-го дискон-ния опред-ся формулой: P=S/(1+i) ⁿ=S*k_д, где k_д=1/(1+i)ⁿ – дисконтный множитель для сложных процентов.

Поскольку дисконтный множитель зависит от двух аргументов, то его значения легко табулируеются, что облегчает фин-ые расчеты. Если начисление процентов производится m раз в год, то формула примет вид: P=S/(1+j/m)^{m n} .

Банковский учет

Банковский учет - второй вид дисконтирования, при котором, исходя из известной суммы в будущем, определяют сумму в данный времени, удерживая дисконт.

Метод банковского учета получил свое название от одноименной финансовой операции, в ходе которой коммерческий банк выкупает у владельца простой или переводный вексель по цене ни» нала до истечения означенного на этом документе срока его nor Сумма, которую получает векселедержатель при досрочном учете называется дисконтированной величиной векселя. Разница между номиналом и выкупной ценой образует прибыль банка от этой операции и называется дисконт (D = S -Р). Подобным образом государство продает большинство своих ценных бумаг.

Для определения размера выкупной цены применяется дисконтирование по методу банковского. При этом используется годовая учетная ставка d.

11. Период начисления прост. %-ов не всегда равен году однако в условиях фин. операций указ-ся не ставка за период, а годовая ставка с указанием периода начисления – номинальная ставка(i). Номинальная ставка- годовая ставка %-ов исходя из кот-й опред-ся величина ставки %-ов в каждом периоде начисления, при начислении сложных %ов несколько раз в год. Это ставка, во первых не отражает реальную эффек-ть сделки; во вторых не может быть использована для сопоставлений. Если начисления будут производится раз в год, а срок долга лет, то общее кол-во периодов начисления зависит от фин. операций N=n*m. Отсюда фор-лу сложных %-ов можно записать в след-ем виде: S=P(1+j/m)^N=P(1+j/n) ^{m n}; j-номин ставка %. На ряду с номинальной ставкой сущ-ет эффек-я ставка измеряющая тот реальный относ-ый доход, кот. получен в целом за год с учетом внутригодовой капитализации. Эффективная ставка пок-ет какая годовая ставка сложных %-ов дает тот же рез-тат что и n-разовая наращения в год по ставке j/m(1+i)=(1+j/m)^m=>1+i=(1+j/m)^m; i_эф=(1+j/m)ⁿ-1. Из формулы следует что эффек-я ставка зависит , от кол-ва внутригодовой отчислений. Расчет эффек-ой ставки яв-ся мощным иност-ом фин-го анализа поскольку её значение позволяет срав-ть м/у собой фин. операции имеющая различ-е условия: чем выше эффек-я ставка фин. операции тем она выгодней для кредитора.Для обеспечения расчетов можно польз-ся таблицами коэф-ов наращения сложных %-ов, но внимательно следить за периодом длины начисления %-ов и %ой ставки в этот период. Если периодом начисления яв-ся квартал, то в расчетах должна исп-ся номин-я ставка.

Различные финансовые схемы можно считать эквивалентными в том случае, если они приводят к одному и тому же финансовому результату.Эквивалентная процентная ставка - это ставка, которая для рас­сматриваемой финансовой операции даст точно такой же денежный ре­зультат (наращенную сумму), что и применяемая в этой операции ставка.Классическим примером эквивалентности являются номинальная и эффективная ставка процентов:

i_эф=(1+j/m)^m -1; j=m((1+i_эф)^1/m -1).

Если две номинальные ставки определяют одну и ту же эффективную ставку процентов, то они называются эквивалентными.В принципе соотношение эквивалентности можно найти для любой пары процентных ставок - простых и сложных, дискретных и непрерыв­ных. В основе всегда лежит одно правило: чтобы найти эквивалентные ставки, нужно приравнять соответствующие множители наращения. Замечание: В данный главе для отличия простой и сложной ставок простую ставку будем обозначать с индексом s.

Укажем некоторые соотношения между ставками: а) между простой ставкой i_s и сложной ставкой i: i_s=(1+i)ⁿ-1/n; i=ⁿ√1+n*i_s -1;

б) между ставкой простого процента i, и простого дисконта d_s: i_s=d_s/1-n*d_s; d_s=i_s/1+n*i_s.

в) эквивалентность простых и сложных ставок: Ее можно найти для любой пары, где одна ставка простая (i_s или d_s),другая-сложная (i или j_m).

Например, отношение эквивалентности между i _sи j_m имеет вид: i_s=(1+j/m)^{m n} -1/n; i_m=m(^{m n}√1+n*i_s -1;

эквивалентность между d_s и i:

d_s=1-(1+i)^-n/n; i=ⁿ√1/1-n*d_s -1;

г) эквивалентность сложных ставок: Например, эквивалентность между i и d: i=d/1-d; d=i/1+i.

12. Дисконтирование по сложной ставке процентов — процесс, обратный во времени процессу наращения (компаундинга) по сложной ставке процентов. Если при наращении изменение первоначальной суммы Р происходит дискретно, скачками, в конце очередного периода начисления процентов, то процесс дисконтирования будущей суммы S также происходит скачкообразно, в обратном направлении, со скачком в конце очередного периода дисконтирования. В конце первого периода дисконтирования величина текущей стоимости суммы S равна S/(1+ i_T), в конце второго периода - s/(1+i_T )² и т. д. После п циклов дисконтирования текущая стоимость суммы S равна

(ср. с (1.2.1)):

где v = 1/(1 + i_T) — дисконтный множитель за период Т.

При начислении процентов т раз в году дисконтный множитель за период равен: v = l/(l + i^{m)/m). По аналогии с процессом наращения вводится годовой дисконтный множитель v, что, позволяет записать выражение для текущей стоимости в следующем виде (ср. с (1.2.2), (1.2.3), (1.2.7)):

(1.2.13)

Дисконтирование при непрерывном начислении процентов также описывается формулой (1.2.13), где время изменяется непрерывно, в отличие от дискретного начисления процентов т раз в год, когда время изменяется дискретно, с шагом 1/т. Очевидно, непрерывная кривая (1.2.13) является огибающей для закона дискретного дисконтирования суммы S при любом числе периодов дисконтирования в году исходя из одинаковой эффективной годовой процентной ставки.

Чтобы единым образом описать приведение суммы к определенному моменту времени, введем, как и в разделе 1.1, множитель приведения, который равен множителю наращения при приведении к будущему моменту времени и дисконтному множителю при приведении к предшествующему (настоящему) моменту времени. Удобно совместить начало шкалы времени с моментом времени, когда задана сумма. Тогда наращению соответствует положительная часть оси времени, а дисконтированию — отрицательная. Множитель приведения для непрерывной процентной ставки можно записать с учетом (1.2.13) в виде

(1.2.13,а)

где s(t) — множитель наращения; v(|t|) — дисконтный множитель.

Зависимость этого множителя от времени, определяемая формулой (1.2.13,а), приведена на рис. 1.2.3 для годовой нормы доходности 30%.

13. Т.к. и для простых процентов для сложных %-ов необходимо иметь ф-лы позволяющие определить недостающие параметра фин-ой операции: - срок ссуды n=logS/P/ log(1+i)= logS/P/log(1+j/n)^m; - ставка сложных %-ов i=ⁿ√S/P-1=(^{m n}√S/P -1)m.

15. Как уже отмечалось, ставка в контракте может время от време: няться, т.е. быть плавающей. Для определения выгодности такого ко та, сравнения его с другими в смысле доходности можно найти сре процентную ставку, которая дает тот же результат наращения или д; тирования.Случай переменных ставок: а)простые ставки Средняя процентная ставка i находится по формуле: i_ср=∑n_t*i_t/N; где i, - простая ставка за период n_t, n₁+ п_г + ... + n_k = N - общий срок сделки. Таким образом, i есть средняя арифметическая взвешенная с весами, равными продолжительности отдельных периодов.

Аналогично находится средняя дисконтная ставка:d_ср=∑n_t*d_t/N

б)сложные ставки Средняя процентная ставка i находится по формуле: i_ср=^N√(1+i₁)ⁿ¹*(1+i₂)ⁿ²*…*(1+i_k)^nk -1; где i_t-сложная ставка за период n₁+ п_г +...+ n_k = N - общий срок сделки. Как видно, в этом случае средняя ставка вычисляется как средняя взвешенная геометрическая. Случай переменных ставок и размеров ссуд.Если изменяются не только ставки, но и размеры ссуд, то в общем случае решение затруднительно. Несложное решение можно найти в частном случае, когда n₁, n₂,..., п_к одинаковы и равны п. Тогда имеем:

- для простых ставок i_ср=∑P_t*i_t/∑P_t.

- для сложных ставок: i_ср=ⁿ√∑P_t(1+i_t)ⁿ/∑P_t -1.

18. Эквивалентные ставки -замена одного вида ставки на другой при соблюдении принципа эквивалентности не изменяя финансовых отношений сторон в рамках одной операции.

Эквивалентность сложных дискретных и непрерывных ставок.

Теоретически можно найти соотношение эквивалентности между силой роста и любой дискретной процентной ставкой. Однако в этом нет необходимости. Ограничимся несколькими такими соотношениями, необходимость в которых может возникнуть в практических расчетах.

Эквивалентность б и i: б=ln(1+i); i=e ^б-1

Эквивалентность б u j: из равенства (1+j/m)^m=e ^б следует j=m(e ^б/m -1); б=m*ln(1+j/m)

Эквивалентность б и d: из равенства (1-d)^-1=e^б следует б=-ln(1-d); d=1- e^-б

Формулы эквивалентности дискретных и непрерывных ставок позволяют расширить применение непрерывных процентов. Как уже говорилось выше, непрерывные проценты во многих сложных расчетах позволяют существенно упростить выкладки. Вместе с тем такие ставки непривычны для практика, поэтому используя формулы эквивалентности, нетрудно представить полученные результаты в виде общепринятых характеристик.

19. Эквивалентными считаются такие платежи, которые, будучи "приведенными" к одному моменту времени, оказываются равными. Приведение осуществляется путем дисконтирования (приведение к более ранней дате) или, наоборот, наращения суммы платежа (если эта дата относится к будущему). Если при изменении условий контракта принцип финансовой эквивалентности не соблюдается, то одна из участвующих сторон терпит ущерб, размер которого можно заранее определить.По существу, принцип эквивалентности в наиболее простом проявлении следует из формул наращения и дисконтирования, связывающих величины Р и S.

Сумма Р эквивалентна S при принятой процентной ставке и методе ее начисления. Две суммы денег S1 и S2, выплачиваемые в разные моменты времени, считаются эквивалентными, если их современные (или наращенные) величины, рассчитанные по одной и той же процентной ставке и на один момент времени, одинаковы. Замена S1 на S2 в этих условиях формально не изменяет отношения сторон.

Сравнение платежей предполагает использование некоторой процентной ставки и, следовательно, его результат зависит от выбора ее размера. Однако, что практически весьма важно, такая зависимость не столь жестка, как это может показаться на первый взгляд. Допустим, сравниваются два платежа S1 и S2 со сроками n1 и n2, причем S1 < S2 и n1 < n2. Соотношение их современных стоимостей зависит от размера процентной ставки

С ростом i размеры современных стоимостей уменьшаются, причем при i = i0 наблюдается равенство Р1 = Р2 Для любой ставки i < i0 имеем Р1 < Р2. Таким образом, результат сравнения зависит от размера ставки, равного i0. Назовем эту ставку критической или барьерной. На основе равенства

S₁/(1+n₁i₀)= S₂/(1+n₂i₀)

находим барьерную ставку:

i₀=(1- S₁/ S₂)/(( S₁/ S₂)n₂ – n₁)

Если дисконтирование производится по сложной ставке, то критическую ставку найдем из равенства

S₁(1+i₀)^-n1=S₂(1+i₀)^–n2

В итоге

i₀=(S₂/ S₁)^1/n2-n1-1

20. Допустим, необходимо выбрать один из двух вариантов поступлений денежных средств, различающихся суммами и сроками: S₁, S₂ со сроками n₁, n₂, причем S₂ > S₁, n₂ > n₁ (иначе задача не имеет экономического смысла). Логически оправданно выбор обосновать на сравнении современных стоимостей поступлений. Таким образом, результат выбора зависит от ожидаемого рыночного уровня процентной ставки. Барьерной в рассматриваемой задачей является ставка, при которой оба варианта оказываются эквивалентными.

Рассмотрим метод решения для двух вариантов расчета современных стоимостей: по простой и сложной процентным ставкам. Для простой ставки имеем следующее равенство современных стоимостей (P₁ и P₂):

S₁/(1+n₁i_k)= S₂/(1+n₂i_k)

а для сложной ставки:

S₁(1+i_k)^-n1= S₂(1+i_k)^-n2

В обоих равенствах i_k означает величину барьерной ставки. Следовательно для простого %:

i_k= (S₂-S₁)/( S₁n₂- S₁n₁)

Из последнего выражения следует необходимое условие для существования барьерной ставки

S₁n₂> S₂n₁ или S₁ > S₂ (n₁/n₂)

Перейдем к определению барьерного значения сложной ставки.

(1+i_k)^n2-n1=S₂/S₁

откуда

ln(1+i_k)=(ln(S₂/S₁))/(n₂-n₁)

в итоге

i_k=antln(1+i_k)-1

21. Консолидирование (объединение) задолженности заключается в разработке так называемого уравнения эквивалентности, в котором сумма заменяемых платежей, приведенных к какому-либо моменту времени, приравнивается к сумме платежей по новому обязательству, приведенных к той же дате. Для краткосрочных обязательств приведение осуществляется обычно на основе простых ставок, для средне- и долгосрочных — с помощью сложных процентных ставок.

Одним из распространенных случаев изменения условий контрактов является консолидация платежей. Пусть платежи S₁, S₂,..., S_m со сроками n₁, n₂,…, n_m заменяются одним в сумме S₀ и сроком n₀. В этом случае возможны две постановки задачи: если задается срок n₀, то находится сумма S₀ и наоборот, если задана сумма консолидированного платежа S₀, то определяется срок n₀. Рассмотрим обе постановки задачи.

При применении простых процентных ставок получим:

где S_j — размеры объединяемых платежей со сроками n_j < n₀, S_k — размеры платежей со сроками n_k > n₀, t_j= n₀- n_j; t_k= n_k-n₀

На основе сложных процентных ставок:

Если при объединении платежей задана величина консолидированного платежа S0, то возникает проблема определения его срока n0. В этом случае уравнение эквивалентности удобно представить в виде равенства современных стоимостей соответствующих платежей.

При применении простой ставки это равенство имеет вид:

откуда:

Очевидно, что размер заменяющего платежа не может быть меньше суммы современных стоимостей заменяемых платежей. Заметим также, что искомый срок пропорционален величине консолидированного платежа.

Перейдем к определению срока консолидированного платежа на основе сложных процентных ставок. Уравнение эквивалентности запишем следующим образом:

У Для упрощения дальнейшей записи примем:

После чего находим:

иногда также применяют средний взвешенный срок:

22.Инфляция – устойчивый рост среднего уровня цен на товары и услуги в эк-ке. Ее ходимо учитывать по крайней мере в двух случаях: при расчете наращенной суммы денег и при измерении реальной эффективности (доходности) финансовой операции. Введем обозначения:

S — наращенная сумма денег, измеренная по номиналу,

С — наращенная сумма с учетом ее обесценения,

J_p — индекс цен,

J_c — индекс, характеризующий изменение покупательной способности денег за период.

Очевидно, что

С= S * J_c.

Индекс покупательной способности денег, как известно, равен обратной величине индекса цен — чем выше цены, тем ниже покупательная способность:

J_c=1/ J_p

Указанные индексы, естественно, должны относиться к одинаковым интервалам времени. Нетрудно связать индекс цен и темп инфляции. Под темпом инфляции h понимается относительный прирост цен за период; обычно он измеряется в процентах и определяется как

h=100(J_p-1)

В свою очередь

J_p=(1+(h/100))

Пусть теперь речь пойдет о будущем. Если h — постоянный ожидаемый (или прогнозируемый) темп инфляции за один период, то за n таких периодов получим

J_p=(1+(h/100))ⁿ

Если наращение производится по простой ставке, то наращенная сумма с учетом покупательной способности равна

C=S/ J_p=P((1+ni)/ J_p)= P((1+ni)/(1+(h/100)ⁿ)

Как видим, увеличение наращенной суммы с учетом ее инфляционного обесценения имеет место только тогда, когда

1 + ni > Jp

Наращенная сумма по сложным процентам с учетом инфляционного обесценивания находится как

C=S/ J_p=P((1+i)ⁿ/ J_p)= P((1+i)/(1+(h/100)))ⁿ

брутто-ставка– итоговая величина от компенсации потерь посредством корректировки ставки процента, по которой производится наращение, т.е. увеличение ставки на величину так называемой инфляционной премии

Определим брутто-ставку (обозначим ее как r) при условии полной компенсации инфляции. При наращении по сложной процентной ставке находим брутто-ставку из равенства

1+r=(1+i)(1+(h/100))

Откуда

r=i+( h/100)+i(h/100)

На практике скорректированную по темпу инфляции ставку часто рассчитывают проще, а именно:

r=i+( h/100)

При наращении по простым процентам имеем

r=((1+ni)J_p-1)/n

где J_p — индекс цен за учитываемый период.

Очевидно, что при больших темпах инфляции корректировка ставки имеет смысл только для кратко- или в крайнем случае среднесрочных операций.

Перейдем теперь к измерению реальной доходности финансовой операции, т.е. доходности с учетом инфляции. Если r объявленная норма доходности (или брутто-ставка), то реальный показатель доходности в виде годовой процентной ставки i можно определить при наращении сложных процентов

i=((1+r)/(1+(h/100)))-1

Если брутто-ставка определяется по упрощенной формуле, то

i=r+( h/100)

Аналогичный по содержанию показатель, но при начислении простых процентов, находим как

i=(1/n)(((1+nr)/J_p)-1)

Как видим, реальная доходность здесь зависит от срока операции. Положительной простая ставка / может быть только при условии, что 1 + nr > J_p

Компенсации инфляции можно достичь и путем индексации исходной суммы задолженности. В этом случае

C=P* J_p*(1+i)ⁿ

23. брутто-ставка– итоговая величина от компенсации потерь посредством корректировки ставки процента, по которой производится наращение, т.е. увеличение ставки на величину так называемой инфляционной премии

Определим брутто-ставку (обозначим ее как r) при условии полной компенсации инфляции. При наращении по сложной процентной ставке находим брутто-ставку из равенства

1+r=(1+i)(1+(h/100))

Откуда

r=i+( h/100)+i(h/100)

На практике скорректированную по темпу инфляции ставку часто рассчитывают проще, а именно:

r=i+( h/100)

При наращении по простым процентам имеем

r=((1+ni)J_p-1)/n

где J_p — индекс цен за учитываемый период.

Очевидно, что при больших темпах инфляции корректировка ставки имеет смысл только для кратко- или в крайнем случае среднесрочных операций.

25. Специальный поток платежей, в котором временные интервалы между двумя последовательными положительными платежами постоянны, назы­вается финансовой рентой. Финансовая рента возникает, например, при выплате процентов по облигациям либо при погашении потребительского кредита. Рента характеризуется следующими параметрами:• член ренты - размер отдельного платежа;• период ренты - временной интервал между двумя платежами;• срок ренты — время от начала первого периода до конца послед­него;• процентная ставка. Классификация рент: 1.По количеству выплат в течение года ренты делятся на: -дискретные, которые в свою очередь делятся на: 1)годовые (1 раз в год); 2) р -срочные ( р раз в год); -непрерывные. 2. По числу раз начислений процентов в течение года ренты делятся на ренты: а)с ежегодным начислением процентов; б)с начислением процентов т раз в году; в)с непрерывным начислением процентов. 3.По величине членов ренты делятся на: а)постоянные (все члены равны); б)переменные. 4.По вероятности выплат они делятся на:•верные (выплачиваются в обязательном порядке); •условные (выплачиваются в зависимости от наступления опре­деленного события).

5. По количеству членов ренты делятся на: ограниченные; бесконечные (вечные ренты). 6. По срокам выплат: немедленные; отложенные. 7.По моменту выплат платежей в пределах периода ренты делятся на ренты: обыкновенные (постнумерандо), когда платеж осуществляется в конце периода; пренумерандо, когда платеж осуществляется в начале периода.

27. Основными параметрами постоянной финансовой ренты являются член ренты R, срок ренты п, годовая процентная ставка i. 1.Член ренты определяется в зависимости от исходных условий по формулам: S=S/s_n;i=A/a_n;i 2. Пусть рассматривается постоянная годовая рента постнумерандо с ежегодным начислением процентов. Срок ренты в зависимости от исход­ных условий находится по формулам: n= - ln(1-(A*i/R))/ln(1+i)= ln((S*i/R)+1)/ln(1+i) В остальных случаях для расчета сроков платежей в зависимости от конкретных условий ренты следует применять формулы Приложения 7. 3. Найти ставку : при заданных R, A,n (R, S, п) в общем виде ана­литически невозможно. В этом случае можно использовать приближенные методы или воспользоваться в Excel функцией СТАВКА, которая возвра­щает процентную ставку за один период.

26. При расчете финансовых рент часто возникает необходимость нахож­дения наращенной суммы ренты или ее современной стоимости. Постоянная годовая рента постнумерандо с ежегодным начислением процентов Пусть R— ежегодные платежи, на которые начисляются проценты в кон­це каждого года по сложной процентной ставке i , п - срок ренты в годах. Тогда справедливы формулы:

A=R*(1-(1+i)^-n )/i S₌ R*((1+i)ⁿ-1)/i; Множители в данных формулах принято обозначать: s_n,i= ((1+i)ⁿ-1)/i; а_n,i=(1-(1+i)^-n )/i Коэффициенты а_n,i и s_n,i называются соответственно коэффициентом приведения и коэффициентом наращения ренты.Они связаны следующим соотношением: s_n,i= а_n,i*(1+i)ⁿ Данные коэффициенты табулированы, их значения имеются в специальных таблицах. В случае, когда табличные значения не могут быть найдены, пользуются формулами . С учетом принятых обозначений формулы принимают вид A=R*а_n,i и S=R*s_n,i

28. В более общем случае, когда платежи выплачиваются р раз в году, суммарный годовой платеж равен R (разовый платеж R/p), проценты на­числяются т раз в году, для расчета наращенной суммы ренты использует­ся формула: S₌R/p*((1+ j/m)^n*m-1)/( 1+ j/m)^m/p-1)=R/p*s_nm;j/m/ s_m/p;j/m Тогда современная стоимость ренты: A₌ S/(1+j/m)^n*m

29. Вечная рента - ряд платежей, количество которых не ограничено. Очевидно, что наращенная сумма вечной ренты равна бесконечно большой величине.

при n пределом для коэффициента приведения является a_x;i=1/i. Откуда для вечной ренты находим современную величину:

A_x=R/i

Отложенные ренты -начало выплат этой ренты сдвинуто вперед относительно некоторого момента времени. Например, погашение задолженности планируется начать спустя обусловленный срок (льготный период). Очевидно, что сдвиг во времени никак не отражается на величине наращенной суммы. Иное дело современная стоимость ренты.

Пусть рента выплачивается спустя t лет после некоторого начального момента времени. Современная стоимость ренты на начало выплат (современная стоимость немедленной ренты) равна А. Современная стоимость на начало периода отсрочки в t лет очевидно равна дисконтированной на этот срок величине современной стоимости немедленной ренты. Для годовой ренты находим:

_tA=Av^t=Ra_n;iv^t

где _tA — современная стоимость отложенной на t лет ренты.

Ренты пренумерандо -рента с платежами в начале периодов. Отсюда наращенная сумма ренты пренумерандо, обозначим ее здесь как S’, больше в (1 + i) раз аналогичной ренты постнумерандо:

S’ = S(1 + i).

Коэффициент наращения годовой ренты пренумерандо

s’_n;i= s_n;i(1+i)

30. Планирование погашения займа, кредита, ссуды заключается в определении периодических расходов по займу, т.е. размеров срочных уплат. Срочные уплаты охватывают как текущие процентные платежи, так и сред-ва, предназначенные для погашения основ-га долга.Пусть заим D выдан на n лет под i сложных годовых процентов. Будем использовать следующие обозначения: Yt-срочные уплаты (периодические расходы по займу) в t-м периоде. Pt -выплаты по основному долгу в t-м периоде; Dt -остаток задолженности на начало t-го периода; It - выплаченные проценты в t-м периоде. План погашения удобно представлять в виде таблицы с заголовками - колонок:«Год», «Остаток долга на начало года», «Размер срочной уплаты», «Погашениеосновного долга», «Проценты».

Погашение займа одним платежом в конце Если предполагается отдать займ одним платежом, то очевидно, что наращенная сумма к концу срока: Y_n=S=D*(1+i)ⁿ Контур такой финансовой операции имеет вид:

Погашение основного долга одним платежом в конце Каждый год с долга уплачиваются проценты D*i, и снова остается D последний год выплачиваются проценты и сумма долга, т.е. D*i+D Схематично данный способ погашения можно изобразить следующим

31. Погашение основного долга равными годовыми выплатами имеет вид:

В конце каждого года выплачивается, во-первых, п -я доля долга D/n и %. Схема заполнения таблицы в данном случае может быть такой: 1) заполнить столбец «Погашение основного долга» равными суммами D/n; 2) определить остаток долга на начало каждого года D_t+1 = D_t - P_t 3) определить сумму процентов, начисленных в каждом году I_t = D_t *i 4) определить размер срочных уплат как сумму выплаты по основ­ному долгу и процентов: Y_t = P_t - I_t

Погашение займа равными годовыми выплатамиВ конце каждого года выплачивается одинаковая сумма R. Весь долг D можно рассматривать как современную величину годовой ренты с пла­тежом R длительностью п лет, поэтому Y_t=R=D/a_n;iКонтур такой финансовой операции имеет вид:

Схема заполнения таблицы в данном случае может быть такой:

1) по pfданным п и i найти коэффициент приведения годовой рен­ты по Приложению 4 или по формуле a_n;i=(1-(1+i)^-n)/i 2) найти ежегодные расходы по займу по формуле Y_t=R=D/a_n;i После этого сразу можно заполнить столбец «Размер срочной упла­ты»; 3) последовательно для каждого года находить: а) проценты, зная сумму долга на начало года и процентную став­ку I_t = D_t *i; б) сумму, идущую на погашение основного долга как разность между общими расходами по займу и процентами: P_t = Y_t - I_t в) остаток долга на конец текущего года (и на начало следующего разность между суммой долга на начало года и выплаченной суммой основного долга: D_t+1 = D_t - P_t

32. Для погашения задолженности может быть создан специальный пога­сительный фонд, в котором будут накапливаться средства, чтобы погасить одним платежом в конце срока. Ясно, что это имеет смысл лишь тогда, когда на деньги погасительного фонда начисляются более высокие проценты, чем те, под которые взят займ.К концу срока займ составит D*(1+i)ⁿ и ежегодный платеж должен составлять R=D*(1+i)ⁿ/s_n;i

33. При выдаче потребительского кредита сразу на всю сумму кредита начисляются простые проценты, они прибавляются к величине самого кре­дита и сумма всех погашающих выплат должна быть равна этой величине. Существует несколько схем погашения потребительского кредита. Погашение равными срочными уплатами Пусть кредит размером D взят на п лет при годовой ставке простых процентов i. Тогда общая сумма выплат составит D*(1+ni) Если в году предусмотрено т выплат, то имеем одну выплату, равную Y_t=D*(1+ni)/nm Процентные деньги при этом рассчитываются по «правилу 78» Погашение основного долга равными выплатой При этом способе основной долг D выплачивается равными долями P_t=D/nm, а процентные деньги - выплатами, уменьшающимися в арифметической прогрессии, и последняя выплата равна разности этой прогрессии. Такой способ определения процентных выплат называют «правилом 78» Практически «правило78» реализуют так. Пусть долг отдается за 6 месяцев ежемесячными выплатами: 1) считают сумму номеров всех выплат: 1+2 + 3+4 + 5 + 6 = 21 2) процентные деньги делят на 21 часть, первый платеж – 6/21 от общей суммы процентов, второй платеж – 5/21, затем 4/21,3/21,2/21,1/21. Замечание: Название правила идёт от того, что сумма номеров месяцев в году 1+2+3+….+11+12=78 Льготный кредитвыдают по льготной ставке меньше обычной ставки, фактически заёмщик получает субсидию равную разности двух соот. современных сумм. Пусть кредит размером D выдан на n лет по льготной ставке i и будет погашаться равными выплатами вел-ной R. Эти выплаты образ. год. ренту с современ. вел-ной R*a_n;g отсюда R=D/a_n;g еслибы выплаты шли по обыч. ставке i, то размер каждой выплаты z=D/a_n;i Разность z-R есть ежегод. потери кредитора, а соврем. вел-на ренты этих потерь по действующей ставке i равна (z-R)*a_n;i =D/a_n;i - D/a_n;j )*/a_n;i = D*(a_n;i /a_n;j ) это и есть сумма субсидии кредитора заёмщику. Её называют абсолютным-грант эмитентом, а вел-ну в скобках относит. греант-эмитент. Наращ-ая сумму субсидии наз-ся общими потерями кредитора.

34. Такая ссуда выдается на 10-30 лет под небольшие проценты. Обычно ее выдают под залог имущества (земли, дома и т.д.). В случае невозврата ссуды в установленный срок заложенное имущество становится собствен­ностью кредитора. ТИС погашается равными ежемесячными выплатами, проценты также начисляются ежемесячно. Пусть номинальный размер ссуды D выдана она на срок n лет под годовую ставку сложных процентов i. Равные ежемесячные выплаты рав­ны R=D*(1+i/12)¹²ⁿ/s_12n;i/12 Традиционно определяют на конец любого года и остаток, который ещё предстоит выплатить. Пусть r_k - остаток на конец k-го года. Он вы­числяется как разность между наращенной величиной выданной ссуды и наращенной величиной ренты выплат: r_k=D*(1+i/12)^12k - R*s_12n;i/12

36. Цель любой финансовой операции заключается в максимизации дохо­да в виде разницы между начальной (D₀) и конечной оценкой (D_п) этой операции. Важнейшей характеристикой операции является ее номиналь­ная (расчетная) доходностьd, которая определяется из уравнения

Dn=D0*(1+d) откуда dномин.=(Dn-D0)/D0=Dn/D0-1. Величина Dn/D0 называется коэффициентомили множителем наращения.Так, если товар куплен за 5 000 руб., продан за 5 200 руб., то множитель наращения 5200/5000 = 1,04, доходность - 4%. Недостаток данного вида доходности в том, что в ней не учитывается фактор времени. Пусть h- темп инфляции за рассматриваемый период. Инфляция обесценивает конечную оценку операции в (1 + h) раз, поэтому существует понятие реальной доходностиоперации с учетом инфляции: dреал.=((Dn/1+h)-D0)/D0=(Dn/D0*(1+h)) – 1 Эффективная доходностьоперации учитывает доходность сверх той, которая могла бы быть получена в результате размещения капитала по безрисковой ставке b. Рассчитывается по формуле dэф.=((Dn/1+b )- D0)/D0 Конечно, абсолютно безрисковой ставки не существует. С определенным приближением таковой можно считать ставку вклада до востребования в Сбербанке. Все указанные выше определения доходности называются абсолют­ными доходностями.Они не учитывают полностью продолжительность операции и их невозможно сравнивать между собой для операций различ­ной продолжительности. Поэтому реальную доходность пересчитывают в процентах годовых и получают относительную доходность f. Она харак­теризует скорость роста вложенных в операцию средств по отношению к размеру средств в начале операции. Если длительность операции есть п, то изуравнения D0*(1+f)ⁿ=Dn находим

Номинальная доходность и относительная доходность финансовой операции связаны соотношениями

38. Виды финансовых инструментов. Финансовый инструмент- любой документ, который может участ­вовать в финансовых операциях. Финансовые инструменты делятся на ос­новные и производные. К основным относятся банковский счет, облигации и акции, а к производным - депозитные сертификаты, векселя, форвардные и фьючерсные контракты, опционы и их всевозможные комбинации. Текущий счетпозволяет инвестору вносить и получать необходимые суммы в любое время. По текущим счетам проценты не выплачиваются или выплачиваются по небольшой ставке. Депозит- определенная денежная сумма, помещенная на определен­ное время в банк от имени частного лица, корпорации или государствен­ной организации. Акция - ценная бумага, удостоверяющая право ее владельца на полу­чение дивидендов с определенной периодичностью. Тот, кто выпускает акции, называется эмитент. Акции подразделяют на 2 группы: обыкно­венные и привилегированные. Выплаты дивидендов и возврат капитала при банкротстве эмитента обычно производится сначала по привилегиро­ванным акциям, а лишь затем по обычным. Их недостаток в том, что раз­мер дивидендов по ним обычно фиксирован, и не растет, если компания успешно идет дела, в то время как по обычным акциям растет. Облигация ~ ценная бумага, удостоверяющая внесение ее владельцем денежных средств и подтверждающая обязательство возместить ему номи­нальную стоимость ценной бумаги в предусмотренный срок с уплатой фиксированного процента (если иное не предусмотрено условиями выку­па). Облигация относится к типу ценных бумаг с фиксированным дохо­дом. Все облигации первоначально размещаются на регулярно проводи­мых аукционах, а затем свободно обращаются на вторичном рынке. Наи­более надежными считаются государственные облигации. Депозитный сертификат - ценная бумага, удостоверяющая внесение ее владельцем средств в банк на определенный срок, приносящая владель­цу доход в виде процентов. Отличается от обычного банковского депозита тем, что свободно обращается на вторичном рынке. Вексель- ценная бумага, представляющая письменное обязательство уплатить определенную денежную сумму в назначенный срок и дающая его держателю право требовать от должника его выполнения. Единственной гарантией платежей является финансовая надежность эмитента. На векселе указывается: -срок платежа -место платежа -наименование того, кому или по приказу кого платеж должен быть совершен - дата и место составления векселя; -подпись лица, выдавшего документ.

Простой вексель- ничем не обусловленное бесспорное обещание должника уплатить определенную сумму по истечении срока векселя. Переводной вексель (тратта)- письменное предложение выплатить определенную сумму. Лицо, выписывающее тратту, называется трассан­том. Лицо, на которое выдан вексель и которое должно произвести пла­теж, называется трассатом, а лицо, в пользу которого производится пла­теж -ремитентом. Фьючерсы и опционы- производные ценные бумаги, которые отно­сятся к срочным контрактам. Под срочным контрактом понимают договор на поставку с оговоренной датой определенного актива (материальные ценности, товары, валюта, ценные бумаги). Фьючерс- контракт на будущее, смысл которого состоит в реализа­ции следующей схемы: продавец контракта берет на себя обязательство продать, а покупатель - купить актив в определенный срок в будущем по цене, фиксируемой в момент сделки. Опционотличается от фьючерса тем, что один из контрагентов имеет оплаченное им другому контрагенту право отказаться от выполнения сдел­ки: продажи или покупки актива. Поэтому опционы бывают двух видов: колл-опционы (право купить) и пут-опционы (право продать). Опционы делят на два класса - европейского и американского типов. Американские могут исполняться в любой момент времени до даты истечения срока их действия, а европейские — только на дату окончания контракта.

Важнейшими характеристиками финансовых инструментов являются цена (для облигаций — курс), доходность, ликвидность и др. Собственно, продажа и покупка указанных финансовых инструментов и составляют финансовый рынок.

Облигации

Облигация является одним из видов ценных бу­маг с фиксированным доходом. Доход от облигаций обычно ниже, чем от других видов ценных бумаг, в то же время он более надежен, так как в меньшей степени связан с ситуацией на рынке. Доход от облигации обычно складывается из двух частей: выплат процентов по купонам и разницы между ценой покупки и ценой продажи. Поэтому различают купонную, текущую и полную доходность облигации .Купонная доходность (купонная ставка) q определена при выпуске об­лигации, поэтому нет смысла ее рассчитывать. Текущий доход — понятие более широкое, чем купонной доход. Он включает в себя выплаты по купонам, а также доход в виде дисконта, если бескупонное долговое обязательство является краткосрочна (выпущено на срок менее года). В первом случае текущая доходность рассчитывается как отношение поступлений по купонам к цене приобретения облигаций. Во втором случае текущая доходность есть отношение дохода (дисконта) по краткосрочному обязательству к номиналу, с учетом срока финансовой операции. Полная доходность учитывает как купонную, так и текущую доход­ность. Полный доход есть доход за весь срок владения, полученный как в виде купонных процентов, так и в результате перепродажи ценной бумаги. Используем следующие обозначения: Р -рыночная цена облигации, п - время (в годах), N-номинал (выпускная цена облигации), q- купонная ставка, i - процентная ставка, f - полная доходность.(годовые ставки)Облигации выпускают с разным номиналом, поэтому для облигаций принято рассчитывать курсK= P/N • 100 (величина безразмерная).Рассмотрим формулы расчета курса и доходности облигации в зави­симости от ее вида:

39. Облигации без погашения с периодической выплатой купонных процентов Доход от такой облигации получают только в виде купонных процен­тов, поэтому она может рассматриваться как разновидность вечной ренты. Послеее приобретения полная доходность равна текущей, которая, в свою очередь, равна купонной. Теоретическая цена такой облигации P=q*N/i Курс облигации K=q/i*100 (1) Если выплата купонных денег происходит m раз в год, то K=100*q/m*1/[(1+i)^1/m -1]Если курс облигации К известен, то текущая (и полная) доходность (в процентах): f=q/K*100 Замечание. Доходность можно найти, заменив в уравнении (1) став­ку i на доходность f, и выразив f. Так поступают во всех случаях. Если выплата купонных денег происходит т раз в году, то f=(1+q/m*100/K)^m -1

40. Бескупонная облигация с погашением по номиналу Доход от такой облигации получают как разницу между номиналом N при погашении и ценой Р. Курс такой облигации всегда меньше 100. Так как текущих выплат нет, то текущая доходность равна нулю.

Если облигация покупается за т лет до погашения, то теоретическая цена облигации (справедливая цена)

P=N/(1+i)^m Следовательно, курс облигации равен К =100/(1+i)^m При известном курсе полная доходность находится по формуле f=(100/K)^1/m -1

41. Облигация с выплатой купонных процентов и номинала при погашении Проценты по такой облигации начисляются с капитализацией по сложной ставке q и выплачиваются в конце срока одновременно с пога­шением. Так как текущих выплат нет, то текущая доходность равна нулю. Пусть срок действия облигации п лет, и покупается она за т лет до пога­шения. Теоретическая цена такой облигации P=N*(1+q)ⁿ/(1+i)^m При этом курс облигации составит K=(1+q)ⁿ/(1+i)^m *100 Полная доходность облигации определяется по формуле f=(100/K)^1/m *(1+q)^n/m -1

42. Облигация с периодической выплатой процентов и погашением номинала в конце срока Это самый общий тип облигаций. Суммарный доход от облигаций данного типа складывается из регулярных купонных выплат, роста курса, что дает доход при продаже облигации, или от погашения облигации -здесь доход может определиться разницей ставок процента при выпуске облигации или в момент его погашения. Купонные выплаты формируют текущую доходность. Если облигация куплена за т лет до погашения, то теоретическая цена такой облигации P=N*(1+i)^-m+q*N*a_m;i где a_m;i =1-(1+i)^-m/i Курс облигации равен: K=100*((1+i)^-m+q*a_m;i) Замечание. Найти полную доходность f такой облигации при известном курсе аналитически невозможно. Приближенное решение может быть найдено с использованием численных методов. В программе Excel сущест­вует функция ДОХОД, позволяющая находить доходность такого вида об­лигаций.

43. Вечные акции Доход от такой акции получают только в виде дивидендов, продажа акции не предусмотрена. Поэтому теоретическую цену акции Р опреде­ляют как дисконтированную к настоящему моменту вечную ренту буду­щих дивидендов по ставке i. Если допустить, что дивиденды постоянны и равны dv, и выплачиваются раз в году без ограничения срока, то dv/i современная величина этой ренты и цена акции. Если выплаты дивидендов происходят р раз в году, то P=dv/(1+i)^1/p – 1 . Банковские депозитные сертификаты оцениваются исходя из текущей стоимости будущих денежных поступлений. За время действия сертифика­та может произойти изменение текущей процентной ставки, поэтому рас­чет его текущей стоимости осуществляется по принципу «от стоимости на конец срока действия». Фьючерсы и опционы- производные ценные бумаги, которые отно­сятся к срочным контрактам. Под срочным контрактом понимают договор на поставку с оговоренной датой определенного актива (материальные ценности, товары, валюта, ценные бумаги).Фьючерс - контракт на будущее, смысл которого состоит в реализа­ции следующей схемы: продавец контракта берет на себя обязательство продать, а покупатель - купить актив в определенный срок в будущем по цене, фиксируемой в момент сделки. Опционотличается от фьючерса тем, что один из контрагентов имеет оплаченное им другому контрагенту право отказаться от выполнения сдел­ки: продажи или покупки актива. Поэтому опционы бывают двух видов: колл-опционы (право купить) и пут-опционы (право продать). Опционы делят на два класса - европейского и американского типов. Американские могут исполняться в любой момент времени до даты истечения срока их действия, а европейские — только на дату окончания контракта.