Оптимизация портфеля ценных бумаг по методу У. Шарпа

В 1963 г. американский экономист У. Шарп (William Sharpe) пред­ложил новый метод построения границы эффективных портфелей, позво­ляющий существенно сократить объемы необходимых вычислений. В дальнейшем этот метод модифицировался и в настоящее время известен как одноиндексная модель Шарпа (Sharpe single-index model).

В основе модели Шарпа лежит метод линейного регрессионного анализа, позволяющий связать две переменные величины - независимую X и зависимую Y линейным выражением типа модели Шарпа независимой считается величина какого-то рыночного индекса. Таковыми могут быть, например, темпы роста валового внутреннего продукта, уро­вень инфляции, индекс цен потребительских товаров и т.п. Сам Шарп в ка­честве независимой переменной рассматривал норму отдачи , вычислен­ную на основе индекса Standart and Poors (S&P500). В качестве зависимой переменной берется отдача какой-то i-ой ценной бумаги. Поскольку за­частую индекс S&Р500 рассматривается как индекс, характеризующий ры­нок ценных бумаг в целом, то обычно модель Шарпа называют рыночной моделью (Market Model),а норму отдачи - рыночнойнормой отдачи.

Пусть норма отдачи принимает случайные значения и в течение N шагов расчета наблюдались величины , ,…, . При этом доход­ность какой-то i-ой ценной бумаги имела значения , ,…, . В таком случае линейная регрессионная модель позволяет представить взаимосвязь между величинами и в любой наблюдаемый момент времени в виде:

где: – доходность i-ой ценной бумаги в момент времени t;

– параметр, постоянная составляющая линейной регрессии, пока­зывающая, какая часть доходности i-ой ценной бумаги не связана с изме­нениями доходности рынка ценных бумаг ;

– параметр линейной регрессии, называемый бета, показывающий чувствительность доходности i-ой ценной бумаги к изменениям рыночной доходности;

– доходность рыночного портфеля в момент t;

– случайная ошибка, свидетельствующая о том, что реальные, действующие значения и порою отклоняются от линейной зависимо­сти.

Особое значение необходимо уделить параметру , поскольку он определяет чувствительность доходности i-ой ценной бумаги к изменениям рыночной доходности.

В общем случае, если >1 , то доходность данной ценной бумаги более чувствительная, подвержена большим колебаниям, чем рыночная доходность . Соответственно, при < 1 ценная бумага имеет меньший размах отклонений доходности , от средней арифметической (ожидаемой) величины , чем рыночная норма отдачи. В этой связи ценные бумаги с коэффициентом > 1 классифицируются как более рискованные, чем ры­нок в целом, а с < 1 - менее рискованными.

Как показывают исследования, для большинства ценных бумаг > 0, хотя могут встретиться ценные бумаги и с отрицательной величиной .

Ожидаемая доходность портфеля, состоящего из n ценных бумаг, вычисляется по формуле:

где – вес каждой ценной бумаги в портфеле. Подставим в эту формулу выражение для из формулы (54):

Для придания этой формуле компактности, Шарп предложил считать ры­ночный индекс как характеристику условной (n+1)-ой ценной бумаги в портфеле. В таком случае, второе слагаемое уравнения (56) можно пред­ставить в виде:

где: ;

.

при этом считается, что дисперсия (n+1)-ой ошибки равна дисперсии рыночной доходности: . Выражение (15а) представляет собойсумму взвешенных величин "беты" ( ) каждой ценной бумаги (где весом служат и называется портфельной бетой( ). С учетом выражений (56) и (57) формулу (55) можно записать так:

а поскольку , то окончательно имеем:

Итак, ожидаемую доходность портфеля можно представить состоящей из двух частей:

а) суммы взвешенных параметров каждой ценной бумаги – …..+ , что отражает вклад в самих ценных бумаг,и

б) компоненты , то есть произведенияпортфельной бетыи ожидаемой рыночной доходности, что отражает взаимосвязь рынкас ценными бумагами портфеля.

Дисперсия портфеля в модели Шарпа представляется в виде:

При этом необходимо иметь в виду, что , то есть , а . Значит, дисперсию портфеля, содержащего n ценных бумаг, можно представить состоящей из двух компонент:

а) средневзвешенных дисперсий ошибок , где весами служат , что отражает долю риска портфеля, связанного с риском самих ценных бумаг (собственный риск);

б) - взвешенной величины дисперсии рыночного показателя , где весом служит квадрат портфельной беты,что отражает долюриска портфеля, определяемого нестабильностью самого рынка (рыночныйриск)

В модели Шарпа цель инвестора сводится к следующему:

необходимо найти минимальное значение дисперсии портфеля

при следующих начальных условиях:

Таким образом для построения границы эффективных портфелей в модели Шарпа необходимо выполнить следующие основные этапы:

1. Выбрать n ценных бумаг, из которых формируется портфель, и определить
исторический промежуток в N шагов расчета, за который будут наблюдаться значения доходности каждой ценной бумаги.

2. По рыночному индексу (например, АК&М) вычислить рыночные доходности для того же промежутка времени.

3. Определить величину дисперсии рыночного показателя , а также значения ковариаций доходностей каждой ценной бумаги с рыночной
нормой отдачи и найти величины :

4. Найти ожидаемые доходности каждой ценной бумаги и рыночной
доходности и вычислить параметр :

5. Вычислить дисперсии ошибок регрессионной модели

6. Подставить эти значения в соответствующие уравнения

После такой подстановки выяснится, что неизвестными величинами являются веса ценных бумаг. Выбрав определенную величину ожидае­мой доходности портфеля , можно найти веса ценных бумаг в портфеле, построить границу эффективных портфелей и определить оптимальный портфель.