Дополнительная интерпретация

Определение, формула расчета и интерпретации

Дюрация - средневзвешенный срок

Дюрация рассчитывается по формуле средневзвешенной следующим образом:

Дополнительная интерпретация - student2.ru

где

  • Дополнительная интерпретация - student2.ru - i-ый платеж
  • Дополнительная интерпретация - student2.ru - ставка дисконтирования, доходность альтернативного вложения за единицу времени (год, квартал и т.д.).
  • Дополнительная интерпретация - student2.ru — Дисконтированная стоимость i-го платежа;
  • Дополнительная интерпретация - student2.ru — момент времени i-го платежа;
  • Дополнительная интерпретация - student2.ru — количество платежей.

В знаменателе этой формулы находится оценка текущей стоимости денежного потока при данной ставке дисконтирования. Если денежный поток порождается финансовым инструментом, имеющим рыночную (или иную) оценку Дополнительная интерпретация - student2.ru текущей цены, то в качестве ставки дисконтирования в данном случае используют собственную внутреннюю доходность этого инструмента (для облигаций - доходность к погашению). Эта ставка определяется из равенства

Дополнительная интерпретация - student2.ru

Предполагается, что рынок эффективно определяет необходимую ставку дисконтирования и отражает требуемую доходность инструментов с аналогичным уровнем рисков.

Дюрация - мера процентного риска

Если рассматривать дисконтированную стоимость денежного потока как функцию процентной ставки, то можно показать, что дюрация денежного потока равна взятой с обратным знаком эластичности (логарифмической производной) дисконтированной стоимости денежного потока по процентной ставке (точнее по 1+r), то есть:

Дополнительная интерпретация - student2.ru

Следовательно,

Дополнительная интерпретация - student2.ru

При малых изменениях ставок дифференциалы можно заменить просто изменениями:

Дополнительная интерпретация - student2.ru

Таким образом дюрация позволяет упрощенно оценить степень зависимости рыночной цены инструмента от изменения процентной ставки. Чем больше дюрация инструмента, тем значительнее изменения ее рыночной стоимости при изменении процентных ставок, то есть тем выше процентный риск.

Модифицированная дюрация

Если в приведенном выше приближенном равенстве использовать так называемую модифицированную дюрацию, равную

Дополнительная интерпретация - student2.ru ,

оценка чувствительности к изменению процентной ставки упрощается:

Дополнительная интерпретация - student2.ru

Замечание

При оценке возможного изменения текущей стоимости денежного потока с помощью (модифицированной) дюрации следует учесть приблизительный характер этой оценки. Причем кроме количественной неточности имеется также качественное различие между истинной зависимостью и линеаризированной с помощью дюрации или модифицированной дюрации: одинаковые положительные и отрицательные изменения процентной ставки одинаково по абсолютной величине влияют на изменение цены. В реальности это не так - цена асимметрично изменяется при увеличении и снижении ставок, а именно снижение ставки приводит к большему росту цены, чем снижение цены при повышении ставки на ту же абсолютную величину. С целью уточнения (как количественного, так и качественного) наряду с дюрацией используют также так называемую выпуклость денежного потока, представляющую собой поправку второго порядка. Эта поправка к изменению цены зависит от квадрата изменения ставки (то есть не зависит от знака), поэтому при росте ставок она уменьшает степень снижения цены, предсказываемую дюрацией, а при снижении ставки - увеличивает рост, оцененный по дюрации. Тем самым учитывается и асимметричность и оценка уточняется количественно.

Другой вариант более точной оценки основан на том, что качественная неточность связана не только (и не столько) с линеаризацией, но и с заменой изменений логарифмов на обычные темпы прироста. Если использовать сами логарифмы, то оценки качественно будут более адекватны истинной зависимости (хотя количественная неточность будет также иметь место):

Дополнительная интерпретация - student2.ru

Из этого соотношения выводится следующая более истинная примерная зависимость изменения текущей стоимости:

Дополнительная интерпретация - student2.ru

В этой зависимости асимметричность естественно учтена (такой способ расчета более точный, но несколько менее удобен из-за нелинейности зависимости).

Дополнительная интерпретация

Учитывая последнее вышеприведенное приближенное равенство можно дать дюрации еще одну интерпретацию. Рассмотрим как примерно изменится текущая стоимость потока, если ставка процента уменьшится до нуля ( Дополнительная интерпретация - student2.ru ):

Дополнительная интерпретация - student2.ru

Следовательно,

Дополнительная интерпретация - student2.ru

Очевидно, что Дополнительная интерпретация - student2.ru - суммарная величина денежного потока. Таким образом, дюрацию (при данной ставке) можно интерпретировать также как примерный срок, на который нужно вложить сумму Дополнительная интерпретация - student2.ru под ставку Дополнительная интерпретация - student2.ru , чтобы в конце этого срока получить сумму равную суммарной величине денежного потока. Эта интерпретация тем точнее, чем меньше ставка.

Наши рекомендации