Аннуитеты. Дисконтированная и будущая стоимость аннуитета
Формулы (2.1) и (2.2) отражают зависимость текущего и будущего денежных потоков в случае, когда текущая стоимость уравновешивает единичный ожидаемый денежный поток (см. рис. 2.1). В более общем случае текущая стоимость может уравновешивать конечное или бесконечное число будущих выплат (см. рис. 2.2 и 2.3 соответственно). В этом случае мы имеем дело с так называемыми аннуитетами3. Под аннуитетом будем понимать совокупность равных по величине, либо изменяющихся по заранее известному закону платежей (выплат) через равные промежутки времени. Основными задачами, связанными с аннуитетами, являются вычисление их текущей (дисконтированной, приведенной) и будущей стоимости. При этом начисление процентов происходит по сложной ставке, то есть предполагается реинвестирование каждого платежа под действующую периодическую ставку.
Самым простым и, одновременно, наиболее распространенным случаем является аннуитет с конечным числом равных по величине платежей в конце периодов (срочный аннуитет постнумерандо). Текущая стоимость такого аннуитета выразится формулой
(2.6)
где А – величина периодического платежа, r - процентная ставка за период, п – число периодов. Несложные выкладки4 позволяют привести формулу (2.6) к виду
(2.7)
Будущая стоимость срочного аннуитета постнумерандо выразится следующим образом
или
(2.8)
Теоретически можно задать любой, сколь угодно сложный закон изменения величины платежей; однако невозможность на практике точно прогнозировать будущие финансовые потоки позволяет ограничиться достаточно простыми моделями. Обычно в реальных финансовых ситуациях бывает достаточно комбинации потоков постоянных платежей и платежей, меняющихся с постоянным темпом прироста. Последние описываются аннуитетами, у которых платежи ежепериодно возрастают (уменьшаются) на один и тот же процент g. Если, как и выше, первый платеж обозначить через А, формулы для дисконтированной и будущей стоимостей таких аннуитетов с платежами в конце периодов, будут, соответственно, иметь вид (см. Приложение 2):
(2.9)
(2.10)
Все приведенные аннуитетные формулы легко модифицировать для случая, когда платежи имеют место в начале периода (аннуитеты пренумерандо).
На практике встречаются случаи, когда платежи выплачиваются теоретически неограниченно долго (например, дивиденды по привилегированным акциям). Очевидно, что речь для таких аннуитетов, называемых бессрочными, может идти лишь об их дисконтированной стоимости. Соответствующие формулы получаются путем предельного перехода при п→∞ из соотношений (2.7) и (2.9) соответственно:
(2.11)
(2.12)
Отметим, что в последнем случае необходимо выполнение условия r>g.
Оценка финансовых активов
Все приведенные выше формулы призваны обслуживать различные виды финансовых расчетов. Одним из наиболее важных приложений этих формул является оценка (другими словами, определение справедливой рыночной или внутренней стоимости) финансовых активов. В наиболее общей постановке задача оценки финансового, как, впрочем, и любого другого приносящего доход актива, может быть выполнена в рамках базовой модели, основанной на расчете дисконтированной стоимости всех ожидаемых от этого актива денежных притоков. Если обозначить через PV текущую стоимость5 актива, через CFi – ожидаемые денежные притоки, а через r – ожидаемую на инвестиционный актив доходность, то общая формула оценки примет вид (2.13)
(для бесконечного числа ожидаемых платежей).
(2.13)
Следует отметить, что, как уже отмечалось выше, теоретически ожидаемая периодическая доходность r может и не быть постоянной. Технически заменить в формуле (2.13) r на ri не представляет никакой сложности, однако на практике оценка ожидаемых доходностей по периодам представляет собой, по крайней мере для долевых ценных бумаг, весьма сложную задачу. Связано это с тем, что необходимо учитывать ряд слабопредсказуемых факторов. На практике в большинстве случаев формула (2.13) используется при условии постоянной ставки дисконтирования и насчитывает конечное число слагаемых.