Предельный анализ и оптимизация прибыли, издержек и объема производства

Объем производства продукции, цена продукта и издержки (затраты на производство продукции) находятся в определенной функциональной зависимости друг от друга. Поэтому получение максимальной прибыли возможно при определенных соотношениях этих величин. При принятии решений, нацеленных на увеличение прибыли предприятия, необходимо учитывать предполагаемые величины предельного дохода и предельных издержек. Предельный доход - это прирост выручки от реализации на единицу прироста количества производимого продукта.

Введем следующие условные обозначения:

Q - количество товара (продукта);

р — цена единицы товара;

Р х Q - доход (выручка) от реализации товара;

С - издержки производства (затраты);

R — прибыль от реализации.

Тогда стремление получить максимум прибыли может быть представлено в формальном виде следующей функцией:

R = (p x Q) – C →max.

Применение предельного дохода к этой функции дает соотношение

,

где – предельные издержки;

— предельный доход.

Отсюда следует: чтобы прибыль была максимальна, необходимо равенство предельных издержек и предельных доходов. Это соотношение позволяет найти оптимальный размер объема производства при известных ли заданных) функциях спроса Р = f(Q) и издержек С = g(Q).

Проведем анализ оптимальности объема производства по предприятию. Предварительно сделаем необходимые дополнения исходных данных для последующих расчетов (табл. 8.11).

Таблица 8.11

Исходные данные для предельного анализа

Показатели	Базисный год	Годы
1-й	2-й	3-й	4-й	5-й
Производство продукции в натуральном выражении (Q), шт.	19ХХ
Цена единицы продукта, (р), руб.
Затраты (издержки производства) по полной себестоимости (С), тыс. руб.
Выручка от реализации [р х О),тыс.руб.		11 024
Прибыль (R), тыс. руб.

Анализ зависимости между ценой продукта и его количеством в динамике позволяет выбрать для функции спроса линейную форму зависимости вида р = а₀ + а₁ х Q. По методу наименьших квадратов определяются неизвестные параметры a₀ и а₁ на основе составления и решения системы нормальных уравнений вида

где п — число наблюдаемых лет;

р_i — цена i-й единицы продукта;

Q_i — количество i-й продукции в натуральном выражении.

После проведения расчетов по нашим данным получим эмпирическую функцию спроса p = 7651 — 1,076 х Q.

Таблица 8.12

Сравнительные данные объемов производства по результатам предельного анализа

Показатель	Фактически (5-й год)	Оптимум	Отклонения
Производство продукции в натуральном выражении (Q), шт.			+859
Цена единицы продукта (р), руб.			-937
Затраты (издержки) по полной себестоимости (С), тыс. руб.			+149
Выручка от реализации (р х Q), тыс. руб.			+761
Прибыль (R), тыс. руб.			+612

Анализ зависимости между издержками и количеством выпускаемой продукции в динамике позволяет для функции издержек выбрать также линейную форму связи вида С = b₀ + b₁ x Q. Неизвестные параметры b₀ и b₁ также находятся по методу наименьших квадратов на основе составления и решения системы нормальных уравнений вида

;

где условные обозначения соответствуют принятым ранее. В окончательном виде имеем следующую эмпирическую функцию издержек:

С = 3887 + 2,082 х Q.

Теперь проведем расчеты предельного дохода и предельных издержек и, сравнивая их, найдем величину оптимального выпуска продукции:

p = 7651 - 1,076 х Q;

С = 3887 + 2,082 хQ;

p х Q = 7651 х Q - 1,076 х Q²;

=7651-2.152 x Q; = 2.082

7651 - 2,152 x Q = 2,082, т.е. Q = 3554.

Оптимальный объем выпуска продукции составляет 3554 шт. Зная размер выпуска, можно определить цену продукта, выручку, прибыль и издержки производства. Результаты расчетов представлены в табл. 8.12. В ней для сравнения приведены также фактические данные предприятия за 5-й год.

Подведем некоторые итоги. Применение предельного анализа показывает, что у предприятия имеются возможности увеличить прибыль на 612 тыс. руб. за счет увеличения объемов производства и реализации продукции. При этом затраты предприятия возрастут всего на 149 тыс. руб., или на 1,46%. Оптимальная цена продукта составит 3827 руб., что ниже фактической цены на 937 руб., или на 19,7%. Следовательно, предприятие может в перспективе придерживаться стратегии, направленной на рост объемов выпуска и реализации продукции, однако необходимо при этом сохранить достигнутый уровень затрат на производство.