Роль финансовых вычислений в обучении бухгалтеров и финансистов

(вместо послесловия)

Управление бизнесом в рыночной экономике характеризуется многими особенностями; выделим некоторые из них. Во-первых, в общей совокупности ресурсов предприятия доминирующее значение приобретают финансовые ресурсы. Во-вторых, приня­тие управленческих решений финансового характера всегда осу­ществляется в условиях неопределенности. В-третьих, следстви­ем реальной самостоятельности предприятий становится посто­янная забота руководителей по-поводу войска источников финан­сирования и оптимизации инвестиционной политики. В-четвертых, устанавливая коммерческие отношения с каким-либо контраген­том, можно полагаться исключительно на собственную оценку его финансовой состоятельности.

В этих условиях обоснованность принимаемых управленче­ских решений, а многие из них, по сути, имеют финансовую природу, в значительной степени определяется качеством фи­нансово-аналитических расчетов. О необходимости системати­зации финансовых вычислений и повсеместном их внедрении через систему образования еще в дореволюционной России го­ворили многие теоретики бухгалтерского учета и финансов. Программа курса "Высшие финансовые вычисления", разрабо­танная проф. Н.С. Лунским, очень высоко оценивалась современ­никами. Методики анализа баланса, предложенные А.П. Руданов-ским и Н.А. Благовым, до настоящего времени не утратили своей актуальности.

По мере строительства планового социалистического хозяй­ства в СССР анализ баланса и финансовые вычисления сравни­тельно быстро были трансформированы в анализ хозяйственной деятельности - направление, "теоретически" обосновывавшее методики управления предприятием в условиях централизован­ного планирования; что касается блока финансовых дисциплин в целом, то его значимость была существенно принижена. Дос­таточно упомянуть о том, что курс финансовых вычислений был

выхолощен и низведен с университетского уровня до уровня техникумов - вероятно считалось, что среднего специального образования достаточно для того, чтобы заниматься финансо­выми операциями в СССР.

К сожалению, до сих пор еще встречаются рецидивы подоб­ного подхода, проявляющиеся, прежде всего, в высказываниях либо некоторых "чистых" математиков, не нашедших своего места в собственной классической науке и пытающихся "при­слониться" к прикладным экономическим разработкам путем бездумной их математизации, когда в угоду красоте математи­ческих выкладок выхолащивается экономическая природа изу­чаемого явления, либо отдельных специалистов, работающих в смежных с бухгалтерско-финансовым блоком дисциплинах (ав­томатизированные системы управления, математическое моде­лирование экономических процессов и т.п.). Выдвигаемый ими в качестве аргумента тезис как "заезженная пластинка" повторя­ет уже не раз слышанное: "в финансовых и коммерческих вы­числениях пользуются простым инструментарием, доступным даже школьнику, а потому в университетах следует читать не финансовые вычисления, а финансовую математику".

Здесь возникают, по крайней мере, два вопроса: во-первых, об экономической обоснованности применения тех или иных математических методов и, во-вторых, о допустимой сложности математического аппарата.

Что касается первого вопроса, то в качестве примера, по крайней мере, не вполне оправданного применения математики в экономике можно привести известный в анализе хозяйствен­ной деятельности интегральный метод факторного анализа. Его разработчики, безжалостно критикуя простой и наглядный ме­тод цепных подстановок, говорят о том, что интегральный метод "обеспечивает более высокую точность". Не вдаваясь в коммен­тарий относительно точности в рамках ретроспективного анали­за, отмечу только, что обоснованность применения интегрально­го метода в экономике является исключительно условной, по­скольку он требует непрерывности функции, описывающей факторную связь, и бесконечно малого изменения признаков, чего в экономических явлениях часто не может быть в принци­пе, поскольку многие показатели изменяются дискретно.

По второму вопросу хочется, прежде всего, напомнить, что любые самые сложные вычислительные операции сводятся к четырем элементарным арифметическим действиям. Кроме то­го, с позиции бухгалтеров и финансистов не абстрактная финан­совая математика, а именно финансовые вычисления представ­ляют практический интерес. Финансовые стохастические моде­ли безусловно можно, а для некоторых узких специалистов и следует рассматривать в спецкурсах, что же касается базового математико-аналитического аппарата, к которому, с очевидно­стью, относятся методы, обсуждаемые в курсе финансовых вы­числений, то им должен владеть любой экономист высшей ква­лификации.

Как мне представляется, научность и значимость любой уни­верситетской дисциплины в области прикладной экономики от­нюдь не определяются одной лишь сложностью используемого в ней математического инструментария, а пробелы в базовом эко­номическом образовании, да и в математическом тоже, нигде не проявляются так явно, как в необоснованной математизации про­цесса принятия управленческого решения. Именно поэтому хо­чется подчеркнуть, что, обосновывая базовые методы финансовой аналитики, во главу угла нужно ставить экономическую* финансо­вую природу операции; что касается используемого математиче­ского аппарата, то он имеет лишь вспомогательное значение.

Несмотря на кажущуюся простоту расчетов методы финансо­вых вычислений исключительно важны именно в практической плоскости, и кроме того, они не приходят к специалисту автома­тически вместе с дипломом о высшем или специальном образова­нии. Невозможно стать финансовым менеджером, лишь читая об­щетеоретические монографии, учебники и руководства,- нужна рутинная вычислительная практика, умение ориентироваться в методах, привлекаемых для получения ряда оценок, которые мож­но использовать как формализованное обоснование принимаемого решения в области кредитования и финансирования. Именно это­му и посвящено данное пособие - решая задачи, можно, образно говоря, "набить руку" на исчислении подобных оценок.

Следует особо подчеркнуть, что изложение аналитического аппарата финансовых операций ни в коем случае нельзя отда­вать на откуп "чистым" математикам. Сложность и обоснованность решений финансового характера определяются вовсе не сложностью привлекаемого аппарата; приоритет здесь имеет дру­гое измерение - ответственность за возможные последствия. Так, непродуманно составленный договор о некоторой финансовой операции (ставка, частота и схема начисления, поправка на ин­фляцию и т.п.) может привести к существенным финансовым по­терям независимо от того.Уакой сложности модель была исполь­зована, например, для прогнозирования денежного потока. Каки­ми методами обосновано рАшение - это уже другой вопрос; ясно только одно: обоснование < помощью хитроумной математиче­ской модели далеко не всегАа минимизирует негативные послед­ствия. Предлагаемое пособий как раз и учит тому, как избежать подобных ошибок.

Повышение правовой, бухгалтерской и финансово-анали­тической подготовки экономистов - одно из важнейших направ-, лений совершенствования системы высшего экономического об­разования. Хочется надеяться, нто со временем в нашей стране культура обоснования и оформления решений финансового ха­рактера повысится, а любой грамотный бизнесмен будет пони­мать, что, например в договоре, содержащем упоминание о про­центных платежах, следует указь&ать не номинальную, а эффек­тивную ставку. Печальный опыт российских финансовых пира­мид, в частности, говорит и о том, что введение полноценного курса "Финансовые (и коммерческие) вычисления" в универси­тетские программы в духе дореволюционной российской тради­ции представляется не только оправданным, но и жизненно необ­ходимым.

В. Ковалев

ПРИЛОЖЕ1

Приложение 1

СВОДКА ОСНОВНЫХ ФОРМУЛ

Часто используемые в формулах обозначения; r (d) - годовая

процентная (учетная) ставка (в десятичных дробях); r^(m) (d )-номинальная годовая процентная (учетная) ставка (в десятичных дро­бях, индекс m указывает, сколько раз в течение года происходит на­ращение или дисконтирование); n, i - продолжительность финансовой операции в годах; t - продолжительность финансовой операции в днях; Т - количество дней в году, ,Р - первоначальный капитал; F -наращенный капитал; F - наращенный капитал за n лет.

Процентная ставка: r = (1)

гдеPV - предоставляемая в долг сумма,

FV - возвращаемая сумма.

• Учетная ставка: (2)

• Соотношение между ставками: r_t = или (3)

• Дисконт-фактор: v = (4)

• Индекс роста капитала: В = (5)

• Формула вычисления процентов "со 100 ": =Qr (6)

• Формула вычисления процентов "на 100": S'= (7)

• Формула вычисления процентов "во 100": К' = (8)

• Формула наращения простым» процентами: F = Р(1 + nr). (9)

• Формула простых процентов в случае нецелого числа лет:

F=P(1+ ) (10)

Возможны три варианта начисления:

а) точный процент и точная продолжительность периода

(T= 365 или 366 дней, t- точное);

б) обыкновенный процент и точная продолжительность периода

(Т = 360,t- точное);

в) обыкновенный процщтн приблизительная продолжительность пе­риода

(T =360, t - приблизнтельное, когда считается, что в месяце 30 дней).

Дивизор (11)

• Формулы для вычисления процентного платежа (при использо­вании простой ставки):

а) если известна величина капитала (Р): I=Plr; (12)

б) если известна величина капитала, увеличенного на процентный платеж ( P+I):

или (13)

в) если известна величина капитала, уменьшенного на процентный платеж (Р-I):

или (14)

• Формула наращения простыми процентами по переменной процентной ставке:

(15)

где на период n_к установлена процентная ставка i и таких периоде m.

• Формула определения простой процентной ставки, доставляю­щей при наращении такой же результат, как и несколько простых про­центных ставок:

(16)

где на период n установлена процентная ставка i и таких периодов m.

• Формула определения величины начисленных процентов за поль­зование кредитом с учетом уменьшения долга с течением времени:

(17)

где к - число погасительных платежей в год, n — срок кредита.

• формула приведенной стоимости (при использовании простой ставки):

(18)

• Формула дисконтирования по простой учетной ставке:

P=F(l-nd). (19)

• Формула наращения по простой учетной ставке: F = . (20)

• Формулы для определения срока ссуды (при использовании про­стой ставки):

n= или t = (21)

или (22)

• Формулы для определения простой ставки:

или (23)

или (24)

Эквивалентность простых ставок:

(25)

(26)

• Эквивалентностьпростых ставок при разных временных базах:

(27)

(28)

где T_r, T -временные базы, равные количеству дней в году при использовании

соответственно процентной и учетной ставок.

Формулы для определения средних значений: а) простой процентной ставки:

(29)

(30)

б) срока:

(31)

(32)

где i ,i .....i_m - простые процентные ставки, под которые вмты соответст­венно суммы P ,P ,:.,P_m на сроки ,n₂...,n_m.

• Формулы для определения средних значений: а) простой учетной ставки:

(33)

(34)

б) срока:

(35)

(36)

где d ,d₂,...,d_m - простые учетные ставки, по которым соответственно сум­мы F ,F ,...,F_m учитываются за сроки n ,n ……n_m .

• Формула наращения простыми процентами с учетом уплаты налога:

(37)

где q - ставка налога на проценты.

• Формула наращения по простой учетной ставке с учетом уплаты налога:

(38)

где q - ставка налога на проценты.

• Индекс цен (индекс инфляции):

(39)

где Р , P - стоимости потребительской корзины в начале и в конце периода длительностью t

Темп инфляции:

(40)

где Р , Р₂ - стоимости потребительской корзины в начале и в конце периода длительностью t

Соотношение между индексом инфляции и темпом инфляции:

(41)

• Формула определения индекса инфляции за период при извест­ных индексах инфляции за составляющие его подпериоды:

(42)

где I (h )-индекс инфляции (темп инфляции) за подпериод t_i. подпе-риоды расположены последовательно друг за другом и t=t +t ….t

• Формула наращения простыми процентами с учетом инфляция:

(43)

где - индекс инфляции за период n.

• Формулы определения простой, годовой процентной стажки, обеспечивающей в условиях инфляции реальную доходность согласно первоначальной ставке r:

(44)

(45)

где h - темп инфляции за период n ,

- индекс инфляции за период п.

Формула определения реальной годовой процентной ставки при . объявленной номинальной процентной ставке в условиях инфляции:

(46)

• Формула определения простой годовой учетной ставки, обеспе­чивающей в условиях инфляции реальную доходность согласно пер­воначальной ставке d:

(47)

• Формула определения реальной годовой учетной ставки при объ-яьпенной номинальной учетной ставке ь условиях инфляции:

(48)

• Формула для вычисления величины нового платежа при исполь­зовании простой процентной ставки:

если n =n (49)

где Р и - первоначальный платеж и срок его выплаты, Mq - срок нового

платежа.

• Формула для вычисления срока нового платежа при использова­нии простой процентной ставки:

если (50)

где P и n - первоначальный платеж и срок его выплаты; Р - величина нового платежа.

• Формула определения срока консолидированного платежи при использовании простои процентной ставки:

(51)

где платежи P_1,P ..,P_m , уплачиваемыесоотвегстмнно-через ерем n ,n …..n_m, замншотся одним платежом P .

• Формула для вычисления величины нового платежа при исполь­зовании простой учетной ставки:

если n =n (52)

где P и n - первоначальный платеж и срок его выплаты;

n - срок нового платежа.

• Формула для вычисления срока нового платежа при использова­нии простой учетной ставки:

если P =P (53)

где Р и n - первоначальный платеж и срок его выплаты; P - величина нового платежа.

• Формула определения срока консолидированного платежа при использовании простои учетной ставки:

(54)

где платежи P ,P ...,P_m , уплачиваемые соответственно через время

n ,n ,...,n_m, заменяются одним платежом P .

• Формула наращения сложными процентами:

(55)

где n - число периодов начисления сложных процентов.

• Формула наращения сложными процентами по переменной про­центной ставке:

(56)

где n . - количество периодов начисления сложных процентов по процентной

ставке i , n -общийсрок наращения.

Формула наращения по смешанной схеме:

(57)

где w - целое число периодов начисления сложных процентов, f-дробная часть периода, n=w + f ,

• Формула наращения сложными процентами при начислении про­центов несколько раз в год:

(58)

где n -число лет, m —количество начислений в год.

Формула наращения по смешанной схеме при начислении про­центов несколько раз в год:

(59)

где n - число лет,

- целое число периодов начисления сложных процентов в n годах,

- дробная часть периода, n = .

• Формула для определения срока ссуды (при использовании сложной процентной ставки):

(60)

• Формулы для определения номинальной годовой процентной ставки:

(61)

(62)

где r_ef - эффективная годовая процентная ставка.

• Формулы определения эффективной годовой процентной ставки:

(63)

(64)

• Формула приведенной стоимости (при использовании сложной ставки):

(65)

• Формула приведенной стоимости (при m -кратном начислении процентов в год):

(66)

• Формула дисконтирования по сложной учетной ставке:

(67)

где n - число периодов дисконтирования.

• Формула дисконтирования по смешанной схеме:

(68)

где w - целое число периодов дисконтирования по сложной учетной ставке, f - дробная часть периода, n = w+f .

• Формула дисконтирования по сложной учетной ставке, осущест-

вляемого несколько раз в год:

(69)

где n - число лет,

m - количество осуществлений операции дисконтирования в год.

• Формула дисконтирования по смешанной схеме при дисконтиро­вании несколько раз в год:

(70)

где n -числолет,

- целое число периодов дисконтирования в и годах,

—дробная часть периода, n =

• Формула для определения срока ссуды (при использовании сложной учетной ставки):

(71)

• Формулы для определения номинальной годовой учетной ставки:

(72)

(73)

где d_ef - эффективная годовая учетная ставка.

■ Формулы определения эффективной годовой учетной ставки:

(74)

(75)

• Формула наращения сложными процентами по учетной ставке:

(76)

где n -число периодов начисления сложных процентов.

■ Формула наращения сложными процентами по учетной ставке при начислении процентов несколько раз в год:

(77)

где n -числолет,

m - количество начислений в год.

Формула наращения непрерывными процентами:

F = Р*e (78)

где -силароста.

• Формула для определения срока ссуды (при непрерывном начис­лении процентов):

(79)

Формула для определения силы роста:

(80)

• Эквивалентность простых и сложных ставок:

(81)

(82)

(83)

(84)

(85)

(86)

(87)

(88)

где r, d - простые ставки.

• Эквивалентность сложных ставок:

(89)

(90)

(91)

(92)

• Эквивалентность силы роста и простых ставок:

(93)

(94)

(95)

(96)

где r,d - простые ставки.

• Эквивалентность силы роста и сложных ставок:

(97)

(98)

(99)

(100)

• Формулы наращения сложными процентами с учетом уплаты налога:

а) если налог на все полученные проценты выплачивается один раз в конце срока:

(101)

б) если налог на полученные проценты выплачивается каждый год:

(102)

где q - ставка налога на проценты, а - коэффициент нармценям, рмний

либо , либо , либо

• Формулы для вычисления величины налога за каждый год при наращении сложными процентами, если налог на полученные процен­ты выплачивается каждый год:

(103)

где к - номер года, за который взимается налог.

• Формула наращения сложными или непрерывными процентами с учетом инфляции:

(104)

где - индекс инфляции за период n, а равно

либо , либо , либо .

* Формула определения номинальной годовой процентной ставки, обеспечивающей в условиях инфляции реальную доходность согласно

первоначальной номинальной годовой ставке :

(105)

• Формула определении реальной номинальной годовой процент­ной ставки при объявленной исходной процентной ставке r ^(m) в усло­виях инфляции:

(106)

• Формула определения номинальной годовой учетной ставки, обеспечивающей в условиях инфляции реальную доходность согласно

первоначальной номинальной годовой ставке

(107)

• Формула определения реальной номинальной годовой учетной

ставки при объявленной исходной учетной Ставке d^(m) в условиях инфляции:

(108)

• Формула определения силы роста, обеспечивающей в условиях инфляции реальную доходность согласно первоначальной силе роста :

(109)

• Формула определения реальной силы роста при объявленной ис­ходной силе роста в условиях инфляции:

(110)

Формула Фишера:

(111)

где А - годовой темп инфляции.

• Формула для вычисления величины нового платежа при исполь­зовании сложных ставок:

(112)

где Р и n - первоначальный платеж и срок его выплаты,

n - срок нового платежа, а равно либо , либо ,либо .

• Формула для вычисления срока нового платежа при использова­нии сложных ставок:

(113)

где Р и n - первоначальный платеж и срок его выплаты; - величина нового платежа.

• Формула для определения величины консолидиромнного плате­жа при использовании сложных ставок:

(114)

где Р , P .....Р — платежи, выплачиваемые соответственно через время n ,n …n

n - срок консолидированного платежа.

• Формула для определения срока консолидированного платежа при использовании сложных ставок:

(115)

1пя где Р , P , …, P - платежи, выплачиваемые соответственно через время n ,n …n

P - величина консолидированного платежа.

• Будущая стоимость переменного аннуитета постнумерандо:

(116)

• Приведенная стоимость переменного аннуитета постнумерандо:

(117)

Будущая стоимость переменного аннуитета пренумерандо:

(118)

• Приведенная стоимость переменного аннуитета пренумерандо:

(119)

• Будущая стоимость постоянного срочного аннуитета постнуме-рандо:

(120)

• Приведенная стоимость постоянного срочного аннуитета пост-нумерандо:

(121)

• Оценка постоянного р -срочного аннуитета постнуыерандо:

а) будущая стоимость аннуитета:

(122)

б) приведенная стоимость аннуитета:

(123)

в) приведенная стоимость бессрочного аннуитета:

(124)

где А - величина каждого денежного поступления;

r- ставка за базовый период начисления процентов;

m - количество начислений сложных процентов в периоде;

р - количество денежных поступлений в периоде;

n - количество периодов.

Приведенная стоимость постоянного отсроченного аннуитета постнумерандо:

PV =A* v^hFM4(r,n) = A * FM2(r,h) * FM4(r,n), (125)

где v = ;

h - число периодов, через которое начинает поступать первый из потока

платежей.

• Оценка постоянного р-срочного аннуитета пренумерандо:

а) будущая стоимость аннуитета:

(126)

б) приведенная стоимость аннуитета:

(127)

в) приведенная стоимость бессрочного аннунтета:

(128)

FV ,PV - будущая и приведенная стоимости соответствующих аннуитетов постнумерандо.

• Будущая стоимость постоянного р-срочного аннуитета постну­мерандо с начислением простых процентов в течение периода:

(129)

• Будущая стоимость постоянного р -срочного аннуитета прену­мерандо с начислением простых процентов в течение периода:

(130)

• Оценка постоянного аннуитета постнумерандо в случае начисле­ния непрерывных процентов:

а) будущая стоимость аннуитета:

(131)

б) приведенная стоимость аннуитета:

(132)

в) приведенная стоимость бессрочного аннуитета:

(133)

где А - величина каждого денежного поступления;

- сила роста за базовый период начисления процентов;

р — количество денежных поступлений в периоде;

n — количество периодов.

• Оценка непрерывного аннуитета:

а) будущая стоимость аннуитета:

(134)

б) приведенная стоимость аннуитета:

(135)

в) приведенная стоимость бессрочного аннуитета:

(136)

где -суммарная величина денежных поступлений за базовый период начисления процентов.

• Оценка непрерывного аннуитета в случае начисления непрерыв­ных процентов:

а) будущая стоимость аннуитета:

(137)

б) приведенная стоимость аннуитета:

(138)

в) приведенная стоимость бессрочного аннуитета:

(139)

где - суммарная величина денежных поступлений за базовый период

начисления процентов;

- сила роста за базовый период начисления процентов.

• Оценка переменного аннуитета постнумерандо, платежи которо­го образуют арифметическую прогрессию:

а) будущая стоимость аннуитета:

(140)

б) приведенная стоимость аннуитета:

(141)

в) приведенная стоимость бессрочного аннуитета:

(142)

где А - первый чльн прогрессии;

z - разность прогрессии.

• Оценка переменного аннуитета постнумерандо, платежи которо­го образуют геометрическую прогрессию:

а) будущая стоимость аннуитета:

(143)

б) приведенная стоимость аннуитета:

(144)

в) приведенная стоимость бессрочного аннуитета:

(145)

где А — первый член прогрессии;

q - знаменатель прогрессии.

• Оценка постоянного аннуитета постнумерандо, период которого больше базового периода начисления процентов:

а) будущая стоимость аннуитета:

(146)

б) приведенная стоимость аннуитета:

(147)

в) приведенная стоимость бессрочного аннуитета:

(148)

где А - величина каждого денежного поступления;

r - ставка за базовый период начисления процентов;

m — количество начислений сложных процентов в периоде;

u -количество периодов, через которое осуществляются денежныепоступления;

n —количество периодов. ..

• Оценка постоянного аннуитета постнумерандо, период которого больше базового периода начисления процентов, в случае начисления непрерывных процентов:

а) будущая стоимость аннуитета:

(149)

б) приведенная стоимость аннуитета:

(150)

в) приведенная стоимость бессрочного аннуитета:

(151)

где А - величина каждого денежного поступления;

- сила роста за базовый период начисления процентов;

u - количество периодов, через которое осуществляются денежные поступления;

n - количество периодов.

• Оценка постоянного аннуитета пренумеракдо, период которого больше базового периода начисления процентов:

а) будущая стоимость аннуитета:

(152)

б) приведенная стоимость аннуитета:

(153)

• Оценка постоянного аннуитета пренумерандо , период которого больше базового периода начисления процентов, в случае начисления непрерывных процентов:

а) будущая стоимость аннуитета:

(154)

б) приведенная стоимость аннуитета:

(155)