Современная стоимость аннуитета

Аннуитетом, или рентой, называется постоянный доход, получаемый через равные промежутки времени.

Примерами аннуитета являются: доход, приносимый облигацией с постоянным купоном без погашения, дивиденды по привилегированным акциям, доход, приносящий сданная в аренду недвижимость. Доходы, получаемые в разные моменты времени, имеют разную "ценность" сегодня. Современная стоимость аннуитета, таким образом, складывается из современных стоимостей всех будущих доходов:

(14).

Здесь PV - современная стоимость аннуитета, PMT - регулярный ежегодный доход, n - количество лет, в течение которых поступали платежи, i - ставка дисконтирования. Просуммировав геометрическую прогрессию в правой стороне (14), находим:

(15).

Коэффициент, входящий в правую часть последнего соотношения

(16)

представляет собой коэффициент дисконтирования аннуитета.

Соотношение (15) определяет стоимость аннуитета в том случае, когда постоянные доходы поступают один раз в конце года. Иначе, можно утверждать, что формула (15) определяет рыночную стоимость объекта, приносящего ежегодный постоянный доход.

Пример 6. Облигация приносит ежегодный доход в 1000 руб. на протяжении 5 лет. Какова текущая стоимость облигации, если ставка дисконтирования равна 12%
Решение:

Соотношения (20), (21) получены в предположении, что доходы поступают один раз в конце года. Если же постоянные выплаты PMT происходят m раз в году (каждый раз в конце периода), то можно записать

(17).

Всего в течение n лет будет произведено n * m выплат.

Суммирование в формуле (17) приводит к следующему выражению

(18).

i - эффективная процентная ставка, то есть ставка, определяющая годовую норму роста.

Пример 7. Вернемся к Примеру 6, изменив немного условия. Пусть ценная бумага приносит ежегодный доход в 1000 рублей, однако выплаты происходят ежеквартально, то есть по 250 руб. каждые три месяца. Доход от ценной бумаги поступает в течение 5 лет. Эффективная процентная ставка дисконтирования равна 12%. Какова рыночная стоимость ценной бумаги.
Решение: Имеем: PMT = 250, i = 0.12, n = 5, m = 4.

Мы видим, что стоимость ценной бумаги несколько выше, чем в условиях Примера 6, хотя суммарный ежегодный доход 1000 руб. одинаков в обоих случаях. Это связано с тем, что в случае ежеквартального поступления дохода выплаты приблизились к начальному моменту времени и, тем самым, увеличили современную стоимость ценной бумаги.

Если вместо эффективной ставки воспользоваться номинальной ставкой j c начислением процентов m раз в году, то вместо (23) можно записать:

(19)

(всего n * m слагаемых), или

(20).

Пример 8. В условиях Примера 7 считать ставку дисконтирования номинальной j = 12% при ежеквартальном начислении процентов (m = 4).
Решение: Имеем: PMT = 250, j = 0.12, n = 5, m = 4.

Тема 5: «Анализ и оценка денежных потоков»

1. Оценить проект вложения 35 тыс. д. е., если в течение пяти лет будут
получены ежегодно по 18 тыс. д. е. (приток минус отток).

Рассчитайте:

a) NPV; б) IRR; в) PI; г) PP.

2. Первоначальные вложения составили 250 тыс. д. е. ежегодный доход 30 тыс.
д. е:, текущие платежи 9,5 тыс. д. е. Срок действия - 5 лет, г = 10 %.
Определите:

a) NPV; б) IRR; в) PI; г) PP.

3. Сравните два инвестиционных предложения и делайте вывод о том, при
каких значениях ставки сравнения предпочтительнее первое предложение.

Денежные потоки по годам

Год
Предложение 1 Предложение 2	-23616 -23616	10000 0	10000 5000	10000 10000	10000 32675
4. Денежный поток для некоторого инвестиционного предложения имеет вид:
Год
Денежный поток	-1600		- 10000

Определите IRR для данного проекта.

5. Определить относительные показатели экономической эффективности инвестиционного проекта. Выбрать наиболее привлекательный проект

Проект	I	P1	P2	PV	NPV	IR
А	-100
Б	-1000

Прогнозируемая ставка – 10%

6. Определить экономическую эффективность инвестиционного проекта

	I
Поступление денежных средств
Отток денежных средств

Прогнозируемая ставка – 5%.

7. Первоначальные вложения составили 250 тыс. д. е. ежегодный доход 30 тыс. д. е., текущие платежи 9,5 тыс. д. е., срок действия - 5 лет, г = 10 %.

Определите: a) NPV; б) IRR; в) PI

8. Оценить проект вложения 35 тыс. д. е., если в течение пяти лет будут
получены ежегодно по 18 тыс. д. е. Рассчитайте: a) NPV;б)IRR; в) PI

9. Вы имеете возможность профинансировать проект продолжительностью 3 года. Величина требуемых инвестиций - 10000 долл., доход по годам ожидается в размере соответственно 5000, 4000 и 3000 долл. Стоит ли принимать это предложение, если приемлемая ставка дисконтирования равна 10%.

10. Предприниматель намерен приобрести грузовик стоимостью 150 тыс. руб.
Предполагаемый срок эксплуатации - 5 лет. Ежегодные эксплуатационные
расходы - 10 тыс. руб. Предполагаемый доход от эксплуатации грузовика 25
тыс. руб. в год. Выгодна ли эта инвестиция? При каком критическом значении
коэффициента дисконтирования инвестиция становится невыгодной?

11. Проект, требующий инвестиций в размере 160000 долл., предполагает
получение годового дохода в размере 30 000 долл. на протяжении 15 лет.
Оценить целесообразность такой инвестиции, если коэффициент
дисконтирования - 15%.

12. Проект, требующий инвестиций в размере 150000 долл., предполагает
получение годового дохода в размере 30 000 долл. на протяжении 15 лет. По
истечении этого срока в течение года будут проводиться работы по ликвидации
последствий проекта, в результате чего в 16-м году будет отток средств в сумме
10 000 долл. Используя критерий NPV, оцените целесообразность принятия
проекта, если коэффициент дисконтирования - 8%.

13. Проект, рассчитанный на 15 лет, требует инвестиций в размере 150000 долл.
В первые 5 лет никаких поступлений не ожидается, однако в последующие 10
лет ежегодный доход составит 50 000 долл. Следует ли принять этот проект,
если коэффициент дисконтирования равен 15%?

Формулы для расчета

Чистая текущая стоимость

Чистая текущая стоимость, чистый приведенный доход, чистый дисконтированный доход, интегральный эффект или Net Present Value, NPV. Определяют дисконтированием (при постоянной ставке процента и отдельно для каждого года) разницы между годовыми оттоками и притоками денег по проекту, накапливаемыми в течение жизни проекта. Эта разница дисконтируется к моменту времени, когда предполагается начало осуществления проекта

_t=Т СFt

NPV = å (1+r)^t , (1)

^t=0

где Сft - денежный поток в году t, Т - экономический срок жизни инвестиций.

Формулу можно модифицировать, тогда из состава денежного потока выделяют капитальные вложения (первоначальные вложения в проект), финансируемые или из уставного капитала, либо из заемных средств) и обозначив их С₀, также обозначив через (Cft) денежный поток в году t, считая от даты начала инвестиций, подсчитанный без капиталовложений получим:

_

_t=Т СFt _t=Т (C₀)t

NPV = å (1+r)^t - å (1+r)^t, (2)

^{t=0 t=0}

Таким образом NPV можно рассматривать и как разницу между отдачей капитала и вложенным капиталом.

NPV показывает баланс между результатами и затратами, притоками и оттоками денежных средств:

если NPV > 0 проект одобряют;

если NPV < 0 проект отклоняют.

Внутренняя норма доходности (прибыли) (ВНД); проверочный дисконт, обозначается IRR (internal rate of return) - норма дисконта, при которой уравновешивается текущая стоимость притоков денежных средств и текущая стоимость их оттоков, образовавшихся в результате реализации инвестиционного проекта.

Если IRR для проекта больше требуемой инвестором отдачи, минимальной нормы доходности, то проект принимают, если ниже - отклоняют.

Экономический смысл этого показателя: можно принимать инвестиционное решение, уровень доходности которых не ниже цены источника средств для данного проекта. Чаще всего можно увидеть сопоставление со ставкой банковского процента, если проект финансируется за счет банковского кредита.

Процедура расчета не очень сложна и определяется решением уравнения:

NPVт = 0 или

_t=Т (CF)t _t=Т (C₀)t

å * (1+r)^t +å * (1+r)^t = 0 (3)

^{t=0 t=0}

При отсутствии финансового калькулятора применяют метод последовательных интеграций. Если обозначить NPV = f(r)

f(r₁)___

IRR = r₁ + f(r₁) - f(r₂) * (r₁ - r₂) (4)

где r₁ - значение нормы дисконтирования, при которой f(r₁) > 0;

r₂ - значение нормы дисконтирования, при котором f(r₂) < 0.

Расчет дает достаточно достоверный результат, если r₁ и r₂ различаются не более чем один - два процентных пункта (в абсолютном выражении).
Тема 6: «Анализ показателей экономической эффективности и окупаемости долгосрочных инвестиций»

1 Имеются следующие данные:

Показатель	Год
1-й	2-й	3-й	4-й	5-й
Размер инвестиций, у.д.е.	6 000	-	-	-	-
Выручка от реализации, у.д.е.	-	5 000	6 000	7 000	8 000
Амортизация, %	-
Текущие расходы, налоги, у.д.е.	-	1 000	1 100	1 200	2 400

Определите срок окупаемости капитальных вложений и простую норму прибыли.

2 Имеются следующие данные:

Показатель	Год
1-й	2-й	3-й	4-й	5-й
Размер инвестиций, у.д.е.	7 000	-	-	-	-
Выручка от реализации, у.д.е.	-	5 000	6 000	8 000	10 000
Амортизация, %	-
Текущие расходы, налоги, у.д.е.	-	1 000	1 100	1 500	1 800

Определите срок окупаемости капитальных вложений и простую норму прибыли.

3 Имеются следующие данные:

Показатель	Год
1-й	2-й	3-й	4-й	5-й
Размер инвестиций, у.д.е.	8 000	-	-	-	-
Выручка от реализации, у.д.е.	-	6 000	7 000	8 000	9 000
Амортизация, %	-
Текущие расходы, налоги, у.д.е.	-	1 000	1 100	1 300	1 500

Определите срок окупаемости капитальных вложений и простую норму прибыли.

4 Намечается строительство консервного завода. Инвестору предло­жены два варианта проекта строительства, данные о которых содержат­ся в таблице.

Показатель	Проект 1	Проект 2
Сметная стоимость строительства, млн. руб.
Вводимая в действие мощность, млн. усл. банок
Стоимость годового объема продукции, млн. р.	2 280	2 300
Налоги, млн. руб.
Себестоимость годового объема продукции, млн. р.		2 070
Амортизационные отчисления, млн. руб.

Инвестор предъявил определенные требования к проекту. Он хотел, чтобы срок окупаемости проекта был бы в пределах трех лет, а норма прибыли по проекту составляла бы не менее 20%.

Рассчитайте показатели экономической эффективности по каждому из вариантов строительства завода и по результатам анализа выберите луч­ший проект, обосновав свой выбор.

5 Инвестор предполагает осуществить реконструкцию хлебобулочного комбината. Имеются два варианта проекта строительства.

Показатель	Проект 1	Проект 2
Сметная стоимость строительства, млн. руб.	1 840	2 000
Вводимая в действие мощность, тыс. хлеб. изд.
Стоимость годового объема продукции, млн. р. до реконструкции после реконструкции	1 750 3 870	3 870
Налоги, млн. руб.
Себестоимость годового объема продукции, млн. р. до реконструкции после реконструкции	1 520 3 430	1 520 3 330
Амортизационные отчисления, млн. руб.

Инвестор хотел бы реализовать проект, удовлетворяющий определен­ным критериям: срок окупаемости инвестиционных затрат должен быть в пределах пяти лет, а норма прибыли — не ниже 11%.

Рассчитайте простые показатели эффективности по каждому варианту реконструкции комбината и дайте заключение о целесообразности реа­лизации проектов.

Формулы для расчета

Период окупаемости(период окупаемости, периодвозврата (payback period)). Окупаемость отражает связь между чистыми инвестициями и ежегодными поступлениями от осуществления инвестиционного решения

период чистые инвестиции

окупаемости = среднегодовая стоимость