Финансовые ренты и их классификация. Поток платежей,все члены которого положительные, а временные интервалы постоянны, называют финансовой рентой,или аннуитетом

Финансовая рента имеет следующие параметры: член ренты— величина каждого отдельного платежа, период ренты— временной интервал между двумя соседними платежами, срок ренты— время, измеренное от начала финансовой ренты до конца ее последнего периода; процентная ставка— ставка, используемая при наращении или дисконтировании платежей, образующих ренту.

Виды финансовых рент.Классификация рент может быть произведена по различным признаками. Рассмотрим их.

В зависимости от продолжительности периода ренты делят на годовые и р-срочные, где р — число выплат в году.

По числу начислений процентов различают ренты с начислением 1 раз в году, траз или непрерывно. Моменты начисления процентов могут не совпадать с моментами рентных платежей.

По величине членов различают постоянные(с равными членами) и переменные ренты. Если размеры платежей изменяются по какому-либо математическому закону, то часто появляется возможность вывести стандартные формулы, значительно упрощающие расчеты.

По вероятности выплаты членов различают ренты верныеи условные. Верные ренты подлежат безусловной выплате, например при погашении кредита. Выплата условной ренты ставится в зависимость от наступления некоторого случайного события. Поэтому число ее членов заранее неизвестно. Например, число выплат пенсий зависит от продолжительности жизни пенсионера.

По числу членов различают ренты с конечным числом членов, или ограниченные, и бесконечные, или вечные. В качестве вечной ренты выступают, например, выплаты по облигационным займам с неограниченными или нефиксированными сроками.

В зависимости от наличия сдвига момента начала ренты по отношению к началу действия контракта или какому-либо другому моменту времени ренты подразделяются на немедленные и отложенные, или отсроченные.Срок немедленных рент начинается сразу, а у отложенных - запаздывает.

Ренты различают по моменту выплаты платежей. Если платежи осуществляются в конце каждого периода, то такие ренты называются обычными,или постнумерандо.Если же выплаты производятся в начале каждого периода, то ренты называются пренумерандо.Иногда предусматриваются платежи в середине каждого периода.

Анализ потоков платежей в большинстве случаев предполагает расчет наращенной суммы или современной величины ренты.

5.2. Формулы наращенной суммы. Обычная годовая рента.Пусть в конце каждого года в течение n лет на расчетный счет вносится по R руб., сложные проценты начисляются 1 раз в год по ставке i. В этом случае первый взнос к концу срока ренты возрастет до величины , так как на сумму R проценты начислялись в течение п-1 года. Второй взнос увеличится до и т.д. На последний взнос проценты не начисляются. Таким образом, в конце срока ренты ее наращенная сумма будет равна сумме членов геометрической прогрессии

,

в которой первый член равен R, знаменатель (1 + i), число членов п. Как известно из школьного курса алгебры, эта сумма равна

, (59)

где - коэффициент наращения ренты.

Он зависит только от срока ренты п и уровня процентной ставки i.

Задача 14. В течение трех лет на расчётный счет в конце каждого года поступает по 10 млн.руб., на которые 1 раз в год начисляются проценты по сложной годовой ставке 10%. Требуется определить сумму на расчетном счете к концу указанного срока.

Решение. По формуле (59) находим

Годовая рента с начислением процентов m раз в году.Посмотрим, как усложнится формула, если предположить теперь, что платежи делают 1 раз в конце года, а проценты начисляют m раз в году. Это означает, что применяется каждый раз ставка j/m, где j — номинальная ставка процентов. Тогда члены ренты с начисленными до конца срока процентами имеют вид

Если рассмотрим эту последовательность справа налево, то увидим, что перед нами опять геометрическая прогрессия, первым членом которой является R, знаменателем ,а число членов равно п. Сумма членов этой прогрессии и будет, наращенной суммой ренты:

(60)

Задача 15.Втечение трех лет на расчетный счет в конце каждого года поступает по 10 млн. руб., на которые ежеквартально(т=4) начисляются проценты по сложной годовой ставке 10%. Требуется определить сумму на расчетном счете к концу указанного срока.

Решение. По формуле (60) находим

S= 10[(1 + 0,1/4)³'⁴ - 1]/[(1 + 0,1/4)⁴ - 1] = 33,222 млн.руб.

Рента р-срочная, т=1. Найдем наращенную сумму при условии, что рента выплачивается р раз в году равными платежами, а проценты начисляются 1 раз в конце года. Если R — годовая сумма платежей, то размер отдельного платежа равен R/p. Тогда последовательность платежей с начисленными до конца срока процентами также представляет собой геометрическую прогрессию, записанную в обратном порядке:

у которой первый член R/p, знаменатель , общее число членов пр. Тогда наращенная сумма рассматриваемой ренты равна сумме членов этой геометрической прогрессии:

, (61)

где

(62)

— коэффициент наращения р-срочной рентыпри т = 1.

Задача 16. В течение трех лет на расчетный счет в конце каждого квартала поступают платежи равными долями из расчета 10 млн.руб. в год (т.е. по 10/4 млн.руб. в квартал), на которые в конце годаначисляются проценты по сложной ставке 10% годовых. Требуется определить сумму на расчетном счете к концу указанного срока.

Решение. По формуле (61) находим

S= (10/4) [(1 + 0,1)³ —1]/[(1 + 0,1)^1/4 - 1] = 34,317 млн руб.

Рента р-срочная, р=m.В контрактах часто начисление процентов и поступление платежа совпадают по времени. Таким образом, число платежей р в году и число начислений процентов тсовпадают, т.е. р = т. Тогда для получения наращенной суммы можно воспользоваться аналогией с годовой рентой и одноразовым начислением процентов в конце года, для которой

Различие будет лишь в том, что все параметры теперь характеризуют ставку и платеж за период, а не за год. Таким образом, получаем

(63)

Задача 17. В течение трех лет на расчетный счет в конце каждого квартала поступают платежи равными долями из расчета 10 млн.руб. в год (т.е. по 10/4 млн. руб. в квартал), на которые ежеквартально начисляются проценты по сложной ставке 10% годовых. Требуется определить сумму на расчетном счете к концу указанного срока.

Решение. По формуле (63) находим

S = 10[(1 + 0,1/4)³'⁴ - 1] /0,1 = 34,489 млн руб.

Рента р-срочная, , .Это самый общий случай р-срочной ренты с начислением процентов т раз в году, причем возможно .

Первый член ренты R/p, уплаченный спустя 1/р года после начала, составит к концу срока вместе с начисленными на него процентами

.

Второй член ренты к концу срока возрастет до

и т.д.

Последний член этой записанной в обратном порядке геометрической профессии равен R/p, ее знаменатель — ,число членов — пр.

В результате получаем наращенную сумму

(64)

Следует отметить, что из нее легко получить все рассмотренные выше частные случаи, задавая лишь соответствующие значения р и т.

Задача 18. В течение трех лет на расчетный счет в конце каждого квартала поступают платежи (р=4) равными долями из расчета 10 млн.руб. в год (т.е. по 10/4 млн руб. в квартал), на которые ежемесячно (т=12) начисляются проценты по сложной ставке 10% годовых. Требуется определить сумму на расчетном счете к концу указанного срока.

Решение. По формуле (64) находим

S= (10/4) [(1 + 0,10/4)³*⁴—1]/[(1 + 0,10/4)^12/4-1] = 34,5296 млн.руб.

5.3. Формулы современной величины. Обычная годовая рента.Пусть размер годового платежа равен R, процентная ставка i, проценты начисляются 1 раз в конце года, срок ренты п. Тогда дисконтированная величина первого платежа равна

.

Приведенная к началу ренты величина второго платежа равна Rv² и т.д. В итоге приведенные величины образуют геометрическую прогрессию: Rv, Rv², Rv³, ..., Rv", сумма которой

, (65)

где

(66)

- коэффициент приведения ренты.

Как видим, этот коэффициент зависит только от двух параметров: срока ренты п и процентной ставки i. Поэтому его значения могут быть представлены в табличном виде. Такие таблицы можно найти в книгах или построить самим с помощью компьютера.

Задача 19. В течение трех лет на расчетный счет в конце каждого года поступает по 10 млн руб. Ежегодное дисконтирование производится по сложной ставке 10% годовых. Определить современную стоимость ренты.

Решение. По формуле (65) находим

А= 10[1-(1 +0,1)^-3]/0,1 =24,868 млн. руб.

Рента р-срочная, , .Рассуждения, аналогичные приведенным в предыдущем пункте, позволяют получить формулу для расчета современной величины ренты в самом общем случае для произвольных значений р и т:

(67)

От которой нетрудно перейти к частным случаям при различных ри т

5.4. Зависимость между современной величиной и наращенной суммой ренты. Пусть А – современная величина годовой ренты постнумерандо, а S – ее наращенная стоимость к концу срока n, p=1, m=1.

Покажем, что наращение процентов на сумму А за n лет дает сумму, равную S:

(68)

Отсюда же следует, что дисконтирование S дает А:

, (69)

а коэффициенты дисконтирования и наращения ренты связаны соотношениями

(70)

(71)

5.5. Определение параметров финансовой ренты. Иногда при разработке контрактов возникает необходимость определить по заданной наращенной сумме ренты S или ее современной стоимости А остальные параметры ренты: R, n, i, p, т. Такие параметры, как т и р, обычно задаются по согласию двух подписывающих сторон. Остаются параметры R, п, i. Два из них задаются, а третий рассчитывается. Такие расчеты могут быть неоднократно повторены при различных значениях задаваемых параметров, пока не будет достигнуто согласие сторон.

Определение размера ежегодной суммы платежа R.В зависимости от того, какая обобщающая характеристика постоянной ренты задана — S или А, возможны два следующих варианта расчета:

(72)

или

(73)

Определение срока постоянной ренты.Рассмотрим решение этой задачи на примере обычной годовой ренты с постоянными заданными платежами. Разрешая исходные формулы для S и А относительно срока n, получаем соответствующие выражения:

и

(74)

и

Последнее выражение для п,очевидно, имеет смысл только при R >Ai.

Определение ставки процентов.Для того чтобы найти ставку i, будем рассматривать выражения для S или А из (74) как нелинейные уравнения относительно неизвестной i (опять предполагаем, что речь идет о постоянной годовой ренте постнумерандо), которые эквиваленты двум другим:

или . (75)

В этих уравнениях единственным неизвестным является процентная ставка i.

Решение нелинейных уравнений может быть найдено лишь приближенно. Известно несколько методов решения таких уравнений: линейной интерполяции, Ньютона-Рафсона и др. Мы рассмотрим только первый из них.

Прежде всего нужно найти с помощью прикидочных расчетов нижнюю (i_н) и верхнюю (i_в) оценки ставки. Это осуществляется путем подстановки в одну из формул (75) различных числовых значений i и сравнения результата с правой частью выражения. Далее корректировка нижнего значения ставки производится по следующей интерполяционной формуле:

, (76)

в которой s_н и s_в — значения коэффициента наращения (или коэффициента приведения) ренты для процентных ставок i_н и i_в соответственно. Полученное значение ставки проверяют, подставляя его в левую часть исходного уравнения и сравнивая результат справой частью. Если достигнутая точность недостаточна, повторно применяют формулу (76), заменив вней значение одной из приближенных оценок ставки на более точное, найденное на предыдущей итерации, и соответствующее ей значение коэффициента наращения (или приведения).

Задания

1. Торговая фирма вкладывает 25 тыс. руб. в конце каждого года в банк, выплачивающий проценты по ставке 5% годовых (сложных). Какая сумма будет на счету фирмы а) через 3 года, б) через 10 лет?

2. Фермер хочет накопить за 6 лет 40 тыс. руб. для покупки трактора, делая ежегодные равные вклады в банк, который выплачивает проценты по ставке i=10% годовых (сложных). Какую сумму должен вкладывать ежегодно фермер?

3. Фермер хочет накопить за 6 лет 40 тыс. руб. для покупки трактора, делая ежемесячные равные вклады в банк, который выплачивает проценты по ставке j₁₂=5%. Какую сумму должен вкладывать ежемесячно фермер?

4. Акционерное общество по производству радиотехники образовало фонд для покупки техники, вкладывая в него ежегодно 300 тыс. руб. При этом каждое полугодие оно делает равные вклады в банк, который выплачивает 5% годовых (сложных). Какая сумма будет на счету АО через 4 года?

5. Акционерное общество по производству радиотехники образовало фонд для покупки техники. При этом каждое полугодие оно делает равные вклады в банк, который выплачивает 5% годовых (сложных). Какую сумму должно вкладывать АО ежегодно, если ему необходимо накопить за 4 года 2 млн. руб.?

6. Предприятие создает фонд для постройки нового здания, вкладывая в него каждые 4 года 15 млн. руб. Деньги кладутся в банк, выплачивающий 5% годовых (сложных). Какая сумма будет в фонде через 16 лет?

7. Предприятие создает фонд для постройки нового здания, делая вклады каждые 4 года. Деньги кладутся в банк, выплачивающий 5% годовых (сложных). Какую сумму должно вкладывать в банк предприятие, чтобы через 20 лет накопить 120 млн. руб., необходимых для постройки здания?

8. Судостроительная фирма кладет в конце каждого года 120000 руб. в банк, который выплачивает сложные проценты по ставке j₆ = 8%. Какую сумму накопит фирма за 10 лет?

9. Судостроительная фирма кладет в конце каждого года в банк некоторую сумму. Банк выплачивает сложные проценты по ставке j₆=8%. Какую сумму должна класть в банк в конце каждого года фирма, чтобы за 10 лет накопить 2 млн. руб.?

10. Судостроительная фирма желает вносить в банк ежеквартально равные суммы (по 30 тыс. руб.). Банк выплачивает сложные проценты по ставке j₆=8%. Какую сумму накопит фирма за 10 лет?

11. Судостроительная фирма желает вносить в банк ежеквартально равные суммы. Банк выплачивает сложные проценты по ставке j₆=8%. Какую сумму должна вносить ежеквартально фирма, чтобы за 15 лет накопить 3 млн. руб.?

12. Банк выплачивает на вложенные в него деньги проценты по ставке j₄ = 3%. Клиент вкладывает в этот банк ежегодно 800 руб., делая равные вклады в конце каждого квартала. Какая сумма будет на счету этого клиента через 5 лет?

13. Банк выплачивает на вложенные в него деньги проценты по ставке j₄=3%. Клиент делает равные вклады в этот банк в конце каждого квартала. Какую сумму должен вкладывать ежегодно клиент, чтобы за 6 лет накопить 6000 руб.?

14. Фермер взял в банке 5 тыс. рублей под 15% годовых на 5 лет. Для погашения долга он образовал страховой фонд, внося в него равные ежегодные взносы и получая на эти деньги 10% годовых. Найдите ежегодную срочную уплату по долгу.

15. Фермер взял в банке 5 тыс. рублей под 15% годовых на 5 лет. Для погашения долга он образовал страховой фонд, внося в него равные ежегодные взносы и получая на эти деньги 8% годовых. Найдите ежегодную срочную уплату по долгу.

16. Фермер взял в банке 5 тыс. рублей под 15% годовых на 5 лет. Для погашения долга он образовал страховой фонд, внося в него равные ежегодные взносы и получая на эти деньги проценты по ставке j₄=10%. Найдите ежегодную срочную уплату по долгу.

17. Фермер взял в банке 5 тыс. рублей под 15% годовых на 5 лет. Для погашения долга он образовал страховой фонд, внося в него равные ежеквартальные взносы и получая на эти деньги проценты по ставке 10% годовых. Найдите ежегодную срочную уплату по долгу.

18. Фермер взял в банке 5 тыс. рублей под 15% годовых на 5 лет. Для погашения долга он образовал страховой фонд, внося в него равные ежеквартальные взносы и получая на эти деньги проценты по ставке j₆=10%. Найдите ежегодную срочную уплату по долгу.

19. Владелец магазина получил в банке ссуду 2 млн. руб. сроком на 3 года. Банк на ссуженные деньги взимает 12% в год. Одновременно владелец магазина создал страховой фонд для погашения ссуды, внося в него равные ежегодные взносы и получая на эти деньги проценты по ставке j₄=8%. Какова ежегодная срочная уплата по долгу?

20. Владелец магазина получил в банке ссуду 2 млн. руб. сроком на 3 года. Банк на ссуженные деньги взимает 12% в год. Одновременно владелец магазина создал страховой фонд для погашения ссуды, внося в него равные ежегодные взносы и получая на эти деньги непрерывные проценты с силой роста 8%. Какова ежегодная срочная уплата по долгу?

21. Нефтедобывающая компания покупает нефтеносный участок, который будет приносить в течение 20 лет доход 5 млн. руб. ежегодно, после чего запасы нефти истощатся. Компания желает получать 12% ежегодного дохода на вложенную сумму. Одновременно она образует страховой фонд, чтобы к моменту истощения запасов нефти на участке накопить сумму, которую она заплатила за этот участок. На деньги, вложенные в фонд, она получает 8% в год. Какую сумму компания должна заплатить за участок?

22. Нефтедобывающая компания покупает нефтеносный участок, который будет приносить в течение 20 лет доход 5 млн. руб. ежегодно, после чего запасы нефти истощатся. Компания заплатила за участок 50 млн. руб. Одновременно она образует страховой фонд, чтобы к моменту истощения запасов нефти на участке накопить сумму, которую она заплатила за этот участок. На деньги, вложенные в фонд, она получает 8% в год. Какую сумму она должна ежегодно вносить в страховой фонд? Каким будет ее ежегодный чистый доход? Сколько процентов от вложенной суммы составит чистый годовой доход?