Увеличение капитала в произвольное число n раз.
1. Простые проценты:
,
,
.
2. Сложные проценты:
,
,
.
Пример.За сколько лет при ставке 10% годовых вклад вырастет в 4 раза по схеме простых (сложных) процентов?
Решение.
простые проценты: ;
сложные проценты: лет.
Дисконтирование по сложным процентным ставкам
Математическое дисконтирование
.
Банковский учет:
,
где d – сложная годовая учетная ставка.
Пример (билет № 15 для сложной ставки).Через 5 лет должник выплатит кредитору сумму в размере 1000000 руб.
1) Какова первоначальная сумма, полученная должником если кредит выдан:
а) под 20 % годовых, проценты простые;
б) под 20 % годовых, проценты сложные.
2) Какую сумму получит за это обязательство кредитор, если он переуступит обязательство банку, который учтет его:
а) по простой учетной ставке 20 % годовых;
б) по сложной учетной ставке 20 % годовых.
Решение.
n=5 лет | 1) матем. дисконтирование: |
S=1000000 руб. | ![]() |
i=20 % | ![]() |
d=20 % | 2) банковский учет: |
1) ![]() | ![]() |
2) ![]() | ![]() |
Замечание. Дисконтный множитель при сложной ставке d убывает медленнее, чем при простой. Это выгоднее для должника.
Номинальная и эффективная учетные ставки (Е.М. Четыркин, с. 56-57).
1.3. Практические приложения теории процента
(на примере простой процентной ставки)
* Последние два приложения будут рассмотрены в разделе 2.
Начисление процентов в условиях инфляции
Следствия инфляции:
- падение покупательской способности денег (индекс ),
- рост цен (индекс роста цен =1/
).
Инфляцию необходимо учитывать, по крайней мере, в двух случаях:
1. При расчете наращенной суммы денег.
2. При измерении реальной эффективности (доходности) финансовой операции.
Пусть S – наращенная сумма денег без учета инфляции, С – наращенная сумма с учетом ее обесценения. Тогда
.
Нетрудно связать индекс цен и темп инфляции. Под темпом инфляции h понимается относительный прирост цен за период. Обычно он измеряется в процентах и определяется как
В свою очередь
Например, если темп инфляции за период равен 30%, то это означает, что цены выросли в 1,3 раза.
Инфляция является цепным процессом. Следовательно, индекс роста цен за несколько периодов равен произведению цепных индексов цен:
где – темп инфляции в периоде t.
Если h – постоянный ожидаемый (или прогнозируемый) темп инфляции за один период, то за n таких периодов получим
.
Пример. (Экз. задача № 7) Вклад 25000 рублей положен в банк на полгода с ежемесячным начислением сложных процентов по номинальной ставке 32% годовых. Определить реальный доход вкладчика, если ожидаемый ежемесячный уровень инфляции составит 6%.
Решение.
n=1/2 года=6 мес. | 1) наращенная сумма без учета инфляции: |
P=25000 руб. | ![]() |
j=32 % | |
m=12 h=6% | 2) наращенная сумма с учетом инфляции: |
С-? | ![]() |
Формула Фишера – это формула, устанавливающая связь между темпом инфляции h, номинальной (без учета инфляции) i и реальной (с учетом инфляции) r ставками процента
.
Например, если субъект положил на банковский счёт сумму денег, приносящую 10 % годовых ежегодно, то номинальная ставка составит 10 %. При уровне инфляции 6 % реальная ставка составит только 4 %.
Темп инфляции за несколько периодов.Пусть темпы инфляции за последовательные периоды времени равны
соответственно. Тогда темп инфляции
за период
приближенно равен:
.
Более точное выражение имеет вид:
.
Доказательства приведенных формул можно найти в учебном пособии П.Н. Брусов и др. «Финансовая математика», с. 31.