Новгородский филиал гоу впо санкт-петербургский

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ

НОВГОРОДСКИЙ ФИЛИАЛ ГОУ ВПО САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ

ГОСУДАРСВТЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ СЕРВИСА И ЭКОНОМИКИ

РАЗДЕЛ 1

ИМУЩЕСТВЕННОЕ СТРАХОВАНИЕ

Под имущественным страхованием в ГК РФ подразумевается процесс составления и исполнения договоров, в которых страховщик за определенную премию обязуется при наступлении страхового события возместить страхователю или другому лицу, в чью пользу заключен договор, убытки, причиненные застрахованному имуществу или иным имущественным интересам страхователя.

Это направление страхования предназначено для покрытия следующих рисков:

- гибели, повреждения или частичной утраты застрахованного имущества;

- неполученная или недополученная ожидаемых доходов из-за нарушения партнерами своих обязательств или по другим причинам, т.е. финансовых рисков;

- возникновения гражданской ответственности перед третьими лицами в случае причинения вреда их здоровью или ущербов их имущественным или другим интересам.

Экономическим назначением рисковых видов страхования является возмещение ущерба, возникшего вследствие наступления страхового случая.

Принцип возмещения ущерба состоит в том, что страхователь после наступления страхового случая должен быть поставлен в такое же финансовое положение, в котором он находился непосредственно перед ним. В связи с этим встает проблема оценки стоимости страхуемого имущества и определения страховой суммы.

Примеры решения типовых заданий

Методические указания

Данную методику целесообразно применять при массовых видах страхования на основе имеющейся страховой статистики за определенный период времени.

Данная методика применима при следующих условиях:

- имеется информация о сумме страховых возмещений и совокупной
страховой сумме по рискам, принятым на страхование, за ряд лет;

- зависимость убыточности близка к линейной.

Расчет нетто-ставки производится в следующей последовательности:

а) по каждому году рассчитывается фактическая убыточность страховой суммы Y_i как отношение страхового возмещения к общем страховой сумме застрахованных объектов ( );

б) на основании полученного ряда исходных данных рассчитывается прогнозируемый уровень убыточности страховой суммы, для чего используется модель линейного тренда, согласно которой фактические данные по убыточности страховой суммы выравниваются на основе линейного уравнения:

(6)

где Y_i* - выровненный показатель убыточности страховой суммы;

и - параметры уравнения;

i - порядковый номер соответствующего года.

Значения параметров и находятся решением системы уравнений:

(7)

n - число лет по временном ряду убыточности;

i - номер года, которому соответствует значение убыточности ;

- значение убыточности в i - ом году;

i - 1,2,...n - номера лет временного ряда показателей убыточности.

Решение:сведем данные для расчета в таблицу 1.3.

Таблица 1.3

Расчет убыточности страховой суммы

год	Номер года, i	Фактическая убыточность,	Расчетные показатели	Выравненная убыточность,	Отклонениявыравнен- ной убыточнос- ти,	Квадраты отклонений,
			4 =2*3			7 = 6 - 3
		0,18	0,18		0,192	0,012	0,000144
		0,26	0,52		0,244	-0,016	0,000256
		0,29	0,87		0,29б	0,006	0,000036
		0,36	1,44		0,348	-0,012	0,000144
		0,39	1,95		0,400	0,010	0,000100
Сумма		1,48	4,96				0,000680

Показатели из таблицы 1.3 переносятся в систему линейных уравнений:

После решения системы уравнения методом подстановки, значения и составят 0,14 и 0,052 соответственно.

Ожидаемая убыточность на 2010 г. составит:

Рисковая надбавка определяется как среднеквадратичное отклонение фактических значений убыточности от выровненных.

Нетто-ставка определяется как сумма ожидаемой убыточности и рисковой надбавки, скорректированной на определенный коэффициент:

Нагрузка определена в размере 49,0% от брутто-ставки.

Таки образом, брутто ставка составит:

(со 100 руб. страховой суммы).

Системы страхования

Задание 1.2.1 Определите страховую стоимость и страховой взнос по страхованию средств автотранспорта юридического лица.

Исходные данные организация страхует автомобиль "Audi", первоначальная стоимость которого 800 тыс. руб., износ - 20%, срок эксплуатации - 2 года. Страховой компанией установлена скидка на износ при сроке эксплуатации автомобиля марки "Audi" 2 года - 12%. Договором предусмотрена скидка с тарифа в размере 0,5% при безусловной франшизе -10%, Тарифная ставка - 3%.

Решение: страховая сумма не может превышать действительной (страховой) стоимости транспортного средства на момент заключения договора. Действительной стоимостью признается рыночная стоимость транспортного средства либо экспертная оценка с учетом его износа.

- стоимость автомобиля за вычетом скидки на износ:

563,2 [(640 - (640Í42%)];

- страховой взнос без скидки равен: 16,896 тыс. руб. (563,2Í3%);

- страховой взнос за минусом скидки при безусловной франшизе равен: 16,811 [16,896 - (1616,896Í0,5%)]

Задание 1.2.2 Определите величину страхового возмещения при страховании по системе пропорциональной ответственности

Исходные данные: стоимость объекта страхования равна 80 тыс. руб., страховая сумма 40 тыс. руб., убыток страхователя в результате повреждения объекта составляет 20 тыс. руб.

Решение: при страховании по системе пропорциональной ответственности проявляется участие страхователя в возмещении ущерба, т.е. страхователь принимает часть риска на себя. Страхование при системе пропорциональной ответственности означает неполное страхование стоимости объекта. Величина страхового возмещения рассчитывается по формуле:

(8)

где В - величина страхового возмещения, руб.;

С - страховая сумма по договору, руб.;

Ц - стоимостная оценка объекта страхования, руб.;

У - фактическая сумма ущерба, руб.

Величина страхового возмещения равна 10 тыс. руб.

[40 : 80)Í20].

Задание 1.2.3 Рассчитайте страховое возмещение при страховании по системе первого риска.

Исходные данные: имущество застраховано по системе первого риска на сумму 40 тыс. руб. Ущерб в результате - пожара составляет 56 тыс. руб.

Решение:страховое возмещение выплачивается в сумме 40 тыс. руб.

Задание 1.2.4 Исчислить страховое возмещение по системе первого риска и системе пропорциональной ответственности

Исходные данные: стоимость застрахованного имущества составляет 120 тыс. руб. страховая сумма 100 тыс. руб., ущерб страхователя - 75 тыс. руб.

Решение: страхование по системе первого риска предполагает выплату страхового возмещения в размере ущерба, но в пределах страховой суммы. Для условий данной задачи страховое возмещение по системе первого риска составит 75 тыс. руб.

В соответствии с условиями задачи страховое возмещение по системе пропорциональной ответственности составит 62,5 тыс. руб. [(75Í100):120].

Задание 1.2.5 Исчислите: а) страховое возмещение по системе пропорциональной ответственности; б) то же по системе первого риска.

Исходные данные: Стоимость застрахованного оборудования составляет 14000 тыс. руб., страховая сумма 10000 тыс. руб., ущерб страхователя при наступлении страхового случая - 8500 тыс. руб.

Решение:

а) страховое возмещение по системе пропорциональной ответственности составит 6071 тыс. руб. (10 000/14 000)Í8500 тыс. руб.;

б) по системе первого риска составит 8500 тыс. руб.

Задание 1.2.6 Определите величину убытка при страховании по системе предельной ответственности

Исходные данные: средняя за 5 лет стоимость урожая сельскохозяй­ственной культуры в сопоставимых ценах равна 10 тыс. руб. Фактическая стоимость урожая с 1 га - 8 тыс. руб.

Решение: страхование по системе предельной ответственности означает определенный предел суммы страхового возмещения. При данной системе обеспечения величина возмещаемого ущерба определяется как разница между заранее установленным пределом и достигнутым уровнем дохода. Система предельной ответственности обычно используется при страховании крупных рисков, страховании доходов. Если в результате страхового случая уровень дохода страхователя будет меньше установленного предела, то возмещению подлежит разница между пределом и фактически полученным доходом. Например, при страховании урожая сельскохозяйственных культур в качестве предела принята средняя за пять лет стоимость урожая с 1 га данной культуры. В случае если стоимость урожая будет ниже установленного предела, то разница между пределом и действительной стоимостью урожая текущего года считается ущербом и подлежит возмещению.

Убыток составляет 2 тыс. руб. с 1 га (10 - 8).

Страховая статистика

Задание 1.3.1 Рассчитайте частоту страховых событий, коэффициент кумуляции риска, убыточность страховой суммы, опустошительность страховых событий. Определите, какой из районов страхования является наиболее убыточным для страховой компании. Данные для расчета приведены в табл. 1.4.

Исходные данные:

Таблица 1.4

Расчетные показатели

Показатель	Регион X	РегионY
Количество объектов страхования, ед., n
Число пострадавших объектов, m
Число страховых событий, L
Страховая сумма всех объектов страхования, тыс. руб.,C
Сумма выплаченного страхового возмещения, тыс. руб., В

Решение:

Частота страховых событий ( ) характеризуется количеством страховых событий в расчете на один объект страхования:

, (9)

где L - число страховых событий, ед.;

n - число объектов страхования, ед.;

- регион X: 5 (10/200Í100);

- регион Y: 8 (12/150Í100).

Коэффициент кумуляции риска или опустошительность страхового события (К_к), представляет собой отношение числа пострадавших объектов к числу страховых событий и показывает среднее число объектов, пострадавших от страхового события, или сколько застрахованных объектов может быть настигнуто страховым событием.

, (10)

где К_к - коэффициент кумуляции риска;

m - число пострадавших объектов в результате страхового случая, ед.;

L - число страховых событий, ед.;

-регион X: 0,8 (8 /10);

-регион Y: 0,6 (7/ 12).

Убыточность страховой суммы, или вероятность ущерба (Y), представляет собой отношение выплаченного страхового возмещения к страховой сумме всех объектов страхования.

, (11)

где Y - убыточность страховой суммы, тыс. руб.;

В - сумма выплаченного страхового возмещения, тыс. руб.;

С - страховая сумма для всех видов страхования, тыс. руб.

-регион X: 0,08%. (или 8 руб. на 1 00 руб. страховой суммы);

-регион Y: 0,067%. (или 6,7 руб. на 100 руб. страховой суммы).

Регион Y является наименее убыточным.

Методические указания

При страховании имущества юридических лиц ущерб основных и оборотных фондов определяется из балансовой (инвентарной) стоимости с учетом износа. В сумму ущерба включаются также расходы по спасению имущества и приведению его в порядок после бедствия.

Задания по страхованию имущества сельскохозяйственных предприятий рассчитаны на усвоение соответствующего теоретического материала: особенностей расчетов стоимости средней 5-летней урожайности с 1 га, применения цен для вычисления стоимости средней 5-летней урожайности сельскохозяйственных культур с 1 га; использования данных отчетности сельскохозяйственных предприятий для определения площадей при исчислении страховых платежей; При гибели сельскохозяйственных животных, домашней птицы, кроликов, пушных зверей и семей пчел размер ущерба определяется из их балансовой (инвентарной) стоимости (рабочего скота - с учетом амортизации) на день гибели. В случае вынужденного забоя из суммы ущерба вычитается стоимость мяса, годного в пищу, и стоимость шкурки.

Задание 1.4.1Определите, возмещается ли страхователю ущерб.

Исходные данные: по договору страхования предусмотрена условная франшиза "свободно от 1 %", страховая сумма 100 тыс. руб. Фактический ущерб составил 0,8 тыс. руб.

Решение: Страховое возмещение при условной франшизе: ущерб не возмещается, если его сумма меньше, чем сумма оговоренной франшизы. Ущерб страхователю в сумме 0,8 тыс. руб. не возмещается, так как данный ущерб меньше 1% от 100 тыс. руб.

Задание 1.4.2 Определите, подлежит ли выплате страховое возмещение.

Исходные данные: по договору страхования предусмотрена условная франшиза "свободно от 1 тыс. руб.", фактический ущерб составил 1,7 тыс. руб.

Решение: при условной франшизе ущерб возмещается в полном размере (1,7 тыс. руб.), если его сумма больше, чем сумма оговоренной франшизы.

Задание 1.4.3 Рассчитайте величину франшизы и сумму страхового возмещения.

Исходные данные: по договору страхования предусмотрена безусловная франшиза в размере 1% от суммы ущерба. Фактический ущерб составил 50 тыс. руб.

Решение: при безусловной франшизе ущерб возмещается за вычетом суммы франшизы. Величина франшизы равна 0,5 тыс. руб. (1% от 50 тыс. руб.). Страховое возмещение будет выплачено в размере 49,5 тыс. руб. (50 - 0,5).

Задание 1.4.4Определите страховое возмещение заводу.

Исходные данные: взрывом разрушен полностью цех готовой продукции завода. Цех возведен 5 лет назад, балансовая стоимость цеха 250 тыс. руб. Для расчистки территории после взрыва и вывоза мусора привлекались техника и люди. Стоимость затрат составила 800 руб. Действующая норма амортизационных отчислений в год на полное восстановление для данного типа строений -1,3%.

Решение:

-амортизационные отчисления на момент гибели имущества 16,25 тыс. руб.: [(250Í1,3%)Í5];

-остаточная стоимость имущества- 233,75 тыс. руб.

(250 - 16,25);

-страховое возмещение равно 234,55 тыс. руб. (233,75 + 0,8).

Задание 1.4.5 Рассчитайте величину ущерба

Исходные данные: в результате пожара 10 марта 2001 г. уничтожено деревянное здание цеха, возведенное в 1988 г. Здание было застраховано по балансовой стоимости (с учетом последней переоценки на 1 января 2002 г.) в сумме 330 тыс. руб. Стоимость остатков, годных для использования, по действующим ценам на момент страхового события (с учетом обесценения) - 80 тыс. руб.

Решение:при полной гибели застрахованного имущества размер ущерба определяется в сумме, равной действительной стоимости на день наступления страхового случая за вычетом стоимости сохранившихся остатков, годных для использования.

Ущерб составит 250 тыс. руб. (330-80).

Задание 1.4.6 Определите величину ущерба и страхового возмещения

Исходные данные: землетрясением поврежден магазин продовольственных товаров. Здание, балансовая стоимость которого 150 тыс. руб., было застраховано в размере 60% действительной стоимости в сумме 90 тыс. руб. Стоимость ремонта магазина по действующим ценам согласно смете составила 20 тыс. руб. Стоимость остатков, годных для использования, по действующим ценам - 4 тыс. руб.

Решение:при повреждении здания ущерб определяется из стоимости его восстановления (ремонта) в ценах, действующих на день страхового случая по поврежденным элементам, за вычетом стоимости остатков, годных для использования, в пределах страховой суммы.

1. Сумма ущерба равна стоимости ремонта за вычетом остатков, годных для использования: 16 тыс. руб. (20 - 4).

2. Так как здание было застраховано по системе пропорциональной
ответственности, то страховое возмещение определяем по формуле:

Задание 1.4.7 Определите среднюю урожайность сельскохозяйственных культур за последние 5 лет для исчисления платежей в текущем году.

Исходные данные:

Таблица 1.5

Данные по урожайности за предыдущие годы

Показатель	1-й год	2-й год	3-й год	4-й год	предыдущий год
пшеница озимая		21,4	17,8	19,2	6,8
рожь озимая	12,8	15,3	1 4	15,8	7,9
пшеница яровая	1 1,4			13,7	6,7

Методические указания

Для определения средней урожайности страховщики ведут "Журнал учета урожайности сельскохозяйственных культур", в который на основании годовых отчетов сельскохозяйственных предприятии записывается данные об урожайности основной продукции каждой культуры.

Если посевы какой-либо культуры, дающей однородную продукцию, учитываются предприятием раздельно, то по этой культуре исчисляется средневзвешенная урожайность на всей площади посева.

Средняя урожайность сельскохозяйственной культуры (группы культур или вида продукции) определяется путем сложения показателей урожайности за пять последних лет и деления полученной суммы на 5. При этом в расчет принимаются и годы, когда урожай получен не был.

Если культура в каком-либо году не высевалась, то в журнале ставится знак"-" (прочерк) и этот год исключается из расчета средней арифметической.

Решение: средняя урожайность:

- пшеница озимая -16 ц/га;

- рожь озимая -13,2;

- пшеница яровая -11,6.

Задание 1.4.8 Определите среднюю урожайность сельскохозяйственных культур за последние 5 лет для исчисления платежей в текущем году.

Исходные данныепо урожайности за предыдущие годы имеются в журнале учета урожайности сельскохозяйственных культур:

Таблица 1.6

Данные по урожайности сельскохозяйственных культур

Показатель	1 -и год	2-й год	3-й год	4-й год	предыдущий год
ячмень яровой			9,6	10,5	ПГ*
вика и виковые смеси	12,6		10,5	9,8
гречиха	ПГ	9,8			8,2

* Полная гибель - урожай планировался, но не получен в связи с его гибелью; прочерк ставится, если урожай не планировался и культура не высевалась.

Методические указания

Размер ущерба при гибели или повреждении сельскохозяйственных культур определяется из стоимости количественных потерь урожая основной продукции культуры (группы культур) на всей площади посева (посадки), исчисленной по разнице между стоимостью урожая на 1 га в среднем за последние 5 лет и данного года по действующим государственным закупочным ценам (сопоставимым). В случае пересева или подсева сельскохозяйственных культур учитывается средняя стоимость затрат на пересев (подсев) и средняя стоимость урожая вновь посеянных (подсеянных) культур

Решение: 6,7; 9,2 и 6,0 ц/га.

Задание 1.4.9 Определите стоимость урожая со всей площади с учетом затрат на пересев и подсев и сумму ущерба.

Исходные данные: яровая пшеница посеяна на площади 600 га.

Стоимость урожая зерна пшеницы на 1 га в среднем за последние пять лет 1,8 тыс. руб. руб. (90 руб.Í20 ц). Посевы пшеницы на 150 га повреждены весной, из них 50 га подсеяно пшеницей, а 100 га пересеяно кукурузой на силос, стоимость урожая которой в среднем за последние 5 лет 1,2 тыс. руб. Согласно годовому отчету предприятия с площади 500 га (600 - 100) получен урожай зерна пшеницы 5600 ц, стоимость которого 504 тыс. руб. (90 руб.Í5600 ц). Стоимость урожая кукурузы на силос на площади 100 га - 120 тыс. руб. (1200 руб.Í100 га). Средняя стоимость затрат на пересев яровой пшеницы кукурузой установлена 280 руб. на 1 га, а на всю пересеянную площадь - 28 тыс. руб. (280Í100). Средняя стоимость затрат на подсев га той же культурой - 160руб. на 1 га, а на всю подсеянную площадь - 8 тыс. руб. (160Í50).

Решение:

Стоимость урожая со всей площади с учетом затрат на пересев и подсев: 588 тыс. руб. (504+120 -28-8) или 0,98 тыс. руб. на

1 га (588 / 600 га), что на 0,82 тыс. руб. меньше стоимости урожая яровой пшеницы на 1 га в среднем за последние 5 лет (1,8 - 0,98),

Ущерб на всю площадь: 492 тыс. руб.

(0,82 тыс. руб.Í600 га).

Задание 1.4.10 Определите износ коровника на день гибели и сумму страхового возмещения хозяйству.

Исходные данные: В хозяйстве в декабре прошлого года пожаром уничтожен коровник, возведенный в августе 10 лет назад и поставленный на баланс стоимостью 600 тыс. руб. Действующая норма амортизационных отчислений на полное восстановление для данного типа строений - 1,2%. После пожара оприходованы дрова на 0,7 тыс. руб. Расходы по расчистке территории составили 4 тыс. руб. Оприходованы также остатки фундамента, годные к использованию, на сумму 8 тыс. руб.

Решение:

- амортизационные отчисления составили 12,2%; остаточная стоимость равна 526,8 тыс. руб.

- сумма ущерба равна 522,1 тыс. руб. (526,8 - 0,7 + 4,0 - 8).

Задание 1.4.11Начислите платежи хозяйству за сельскохозяйственных животных.

Исходные данные:В заявлении о страховании животных указано, что в подсобном хозяйстве имеется: крупного рогатого скота в возрасте 2 лет - 30 голов, свиней старше 6 месяцев - 80 голов.

Страховые суммы для данного района установлены по крупному рогатому скоту в возрасте от 1 до 2 лет в 8 тыс. руб., по свиньям в возрасте от 6 месяцев и старше - 3 тыс. руб.

Ставка страховых платежей по крупному рогатому скоту для данной местности составляет 15 руб. со 100 руб. страховой суммы, а по свиньям - 25 ,5 руб.

Решение: страховая премия по животным составит всего 42 тыс. руб., в том числе:

-по КРС: 36 тыс. руб. [(30Í8)Í 0,15];

-по свиньям: 6 тыс. руб. [80Í3)Í0,255].

РАЗДЕЛ 2

ЛИЧНОЕ СТРАХОВАНИЕ

Личное страхование представляет собой финансовый механизм обеспечения благосостояния населения. Предметом личного страхования выступают риски, связанные с жизнью человека и ее материальным обеспечением.

В личном страховании для определения вероятности страхового случая используют показатели смертности и продолжительности населения, исчисляемые по таблице смертности. При этом производится дифференциация тарифных ставок по возрасту человека с использованием сведений демографии.

Таблицы смертности строятся на исчисленной вероятности дожить и умереть людей разного возраста; содержат показатели, характеризующие смертность населения в разных возрастах и доживаемость при переходе от одного возраста к последующему.

С помощью таблиц смертности можно установить вероятное число выплат по договорам страхования, а при известных страховых суммах - размер фонда страховой организации для выплат страхового возмещения. Страхование от несчастных случаев и болезней предусматривает выплату страхового возмещения в случае смерти, при получении инвалидности и при наступлении временной нетрудоспособности.

Брутто-ставка складывается из нетто-ставки, предназначенной для выплат страхового возмещения и нагрузки для покрытия расходов на ведения дел страховой компании.

Примеры решения типовых задач

Примеры решения заданий даны с использованием таблицы коммутационных чисел (по общей таблице смертности) при норме доходности 5% (приложение 1).

Методические указания

Число доживающих для каждого данного возраста (Lx) показывает, сколько из 100 000 одновременно родившихся доживет до 1 года, 2 лет,..., 20,..,50,..,100 лет.

Вероятность прожить для лица, чей возраст X лет, еще 1 год (Р₄₀) составляет:

(12)

Вероятность умереть в течение предстоящего года жизни (q_x), не дожив до следующего возраста х+1 лет, свидетельствует о том, какая часть доживших до данного возраста умирает, не дожив до следующего возраста. Этот показатель представляет собой отношение числа умирающих при переходе от возраста х к возрасту х+1, т.е. (d_x) к числу доживающих до возраста x, т.е. (Lx).

(13)

Вероятность прожить X лет (nPx) равняется:

(14)

Вероятность умереть в течение предстоящих n лет (lnqx) равняется:

(15)

Вероятность умереть на третьем году жизни (nlqx):

(16)

Задание 2.1.1 Определите для лица, чей возраст 40 лет:

-вероятность прожить еще 1 год (Р₄₀);

-вероятность умереть в течение предстоящего года (q₄₀);
-вероятность прожить 3 года (₃Р₄₀);

-вероятность умереть в течение предстоящих 3 лет (l₃q₄₀);
-вероятность умереть на 3 году жизни. (₃lq₄₀);

Исходные данные представлены в табл. 2.1.

Таблица 2.1

Таблица смертности (фрагмент)

Возраст (х), лет	Число лиц, доживающих до возраста х лет, Lx	Число лиц, умирающих при переходе от возраста х к возрасту x+1, dx

Решение:

Для лица, чей возраст 40 лет, вероятность прожить еще 1 год (Р₄₀) составляет:

Вероятность умереть в течение предстоящего года жизни (q₄₀):

Вероятность прожить 3 года ( ) равняется:

Вероятность умереть в течение предстоящих 3 лет ( ) равняется:

Вероятность умереть на третьем году жизни (₃lq₄₀):

Методические указания

Страховщик выплатит страховую сумму при условии дожития застрахованного до конца срока страхования. Поэтому вероятная стоимость обязательств страховщика равна произведению фактической стоимости выплаты S на вероятность ее осуществления:

(руб.), (17)

где nPx - вероятность дожития лица в возрасте х лет до конца срока n лет (т.е. до возраста (х + n) лет).

Поскольку выплата (если она вообще произойдет) осуществляется через n лет, то ее современная вероятная стоимость будет равна произведению вероятной стоимости на дисконтирующий множитель за n лет:

(руб.), (18)

где Vⁿ - дисконтирующий множитель за n лет.

Равенство современных вероятных стоимостей обязательств страхователя и страховщика записывается следующим образом:

(19)

Если вместо nРх подставить выражение для расчета вероятности дожития по таблице смертности, то получим общую формулу для определения единовременной нетто-ставки по страхованию на дожитие лица в возрасте x лет на срок n лет:

, (20)

где L_x и L_x+n - показатели таблицы смертности, характеризующие численность лиц, доживающих до возраста x и (x + n) лет соответственно.

Таблица 2.2

Дисконтирующие множители (фрагмент), норма доходности 5%

Число лет (n)	Дисконтирующий множитель Vn
	0,95238
	0,90702
	0,86383
	0,82270
	0,78352

В соответствии с договором страхователь уплачивает взносы в начале договора страхования, а выплаты происходят через определенное время. В течение этого периода страховщик инвестирует временно свободные средства и получает на них определенный доход. Величина такого дохода, поступающего за год с единицы денежной суммы, называется нормой процента или нормой доходности. Она обозначается «i» и выражается в процентах.

Невозможность страховщика определить, под какой процент на момент страхования будут вложены взносы страхователей, предполагает применение планируемой нормы доходности. Так, если норма процента составляет 1% в год, то через год каждая денежная единица превратится в (1+i), к концу второго года эта сумма составит (1+i)Í(1+i) = (1+ i)²и т.д.

Если мы располагаем определенным денежным фондом (его величина на настоящий момент времени составляет современную стоимость этого фонда), то начисление сложных процентов за n лет рассчитывается по формуле:

Будущая стоимость = современная стоимость×(1 + i)ⁿ

Под будущей стоимостью мы понимаем размер этого фонда через n лет. В страховании жизни страховщик прогнозирует вероятную величину выплат, т.е. определяет будущую стоимость страховых фондов, необходимую через n лет. Следовательно, требуется найти размер взноса в момент заключения договора, чтобы к концу срока страхования обладать необходимыми для выплат средствами, т.е. требуется найти современную стоимость будущей выплаты. Процесс определения современной стоимости будущих доходов иди расходов называется дисконтированием и выражается следующей формулой:

Современная стоимость = будущая стоимость× (21)

Величина, обратная процентному множителю, называется
дисконтирующим множителем и обозначается через V.

(22)

Дисконтирующий множитель за ряд лет имеет вид:

(23)

Задание 2.2.1 Рассчитайте тарифную ставку на дожитие (₅Е₄₀) и страховой взнос.

Исходные данные:возраст человека 40 лет, срок страхования - 5 лет, норма доходности - 5%, страховая сумма 30 тыс. руб.

Решение:

Данное задание имеет 2 способа решения:

Первый способ решения:

Страховой фонд через 5 лет равен произведению страховой суммы на число доживших человек до 45 лет: 253 1370 тыс. руб. (30 тыс. руб. × 84379).

Первоначальный страховой фонд определяем с помощью дисконтирующего множителя (V⁵):1983379 тыс. руб. (253 1370 × 0,7835)

Страховой взнос определяется делением первоначальной суммы фонда на количество страхователей в возрасте 40 лет и равен 22,4 тыс. руб. (1983379/88488).

Второй способ решения:

,

где 0,7471 - тарифная ставка, умножив которую на страховую сумму, получим страховой взнос в размере 22,4 тыс. руб.

Методические указания

Фактическая стоимость обязательств страхователя равна по величине единовременной премии по страхованию на случай смерти:

, (24)

где S - страховая сумма на случай смерти, руб.

nАх - единовременная нетто-ставка по страхованию на случай смерти лица в возрасте x лет на срок n лет.

Эта фактическая стоимость равна современной вероятной стоимости обязательств страхователя, поскольку он уплачивает единовременную премию, безусловно, и в момент заключения договора страхования.

Рассмотрим обязательства страховщика.

Страховщик обязуется выплатить страховую сумму S в случае смерти застрахованного в течение срока страхования. Поскольку для каждого года страхования имеется определенная вероятность смерти, а, следовательно, и вероятность выплаты, то общая современная вероятная стоимость выплаты будет равна сумме ее современных вероятных стоимостей за каждый год.

Рассмотрим первый год после заключения договора страхования. Вероятность выплаты в течение первого года страхования равна вероятности смерти лица при переходе от возраста x лет к возрасту (х+1) год, т.е. q_x.

По таблице смертности вероятность смерти при переходе от возраста x лет к возрасту (х+1) год рассчитывается по формуле:

, (25)

где d_x - показатель числа умирающих при переходе от возраста x к возрасту

(х + 1) год,

L_x - показатель таблицы смертности, характеризующий число доживающих до возраста x лет.

Вероятная стоимость выплаты (ее математическое ожидание) для первого года равна произведению страховой суммы S на вероятность выплаты q_x, т.е.:

(26)

Чтобы получить современную вероятную стоимость выплаты на первом году страхования, необходимо вероятную стоимость умножить на дисконтирующий коэффициент. При этом для простоты будем полагать, что все выплаты происходят в конце года, поэтому используют дисконтирующий коэффициент за один год V¹. Таким образом, современная вероятная стоимость выплаты в течение первого года страхования равна:

(27)

Вероятность выплаты в течение второго года равна вероятности того, что застрахованный доживет до второго года страхования, т. е. до возраста (х+1) год и умрет в течение этого года, т. е. при переходе от возраста (х+1) к возрасту (х+2) года. Та