Задания для самостоятельного решения. Материалы для самоподготовки

МЕТОДИЧЕСКАЯ РАЗРАБОТКА

Материалы для самоподготовки

К ЕГЭ и ГИА

по планиметрии

Часть 3

Применение тригонометрических формул

при решении планиметрических задач.

Автор-составитель :

СМИРНОВА

ГАЛИНА ВАСИЛЬЕВНА

Применение тригонометрических формул при решении планиметрических задач.

Задания с решением

1.В треугольнике ABC . Найдите AC.

Решение

Построим . По свойству равнобедренного треугольника СН будет медианой, а значит АН=4,8. В прямоугольном треугольнике АСН . Значит

Найдем . Рассмотрим основное тригонометрическое тождество для угла А

sin ² + cos ² = 1 и подставим в него вместо его значение .

Получим соs ²A+ = 1

Тогда соs ²A = 1- ; соs ²A =1 ; соs ²A =

Будем извлекать квадратный корень с учетом того, что A – острый угол и его косинус положителен Получаем

Тогда

Ответ 5

2. В тупоугольном треугольнике ABC , высота AH равна 20. Найдите .

Решение

Рассмотрим прямоугольный треугольник . В нем .По теореме Пифагора

Тогда

Но , так как эти углы смежные. Тогда

По формулам приведения получаем

Ответ -0,6

3.В треугольнике ABC , , тангенс внешнего угла при вершине A равен . Найдите AC.

Решение

Углы МАС и САH – смежные. Их сумма равна 180º.Тогда по формулам приведения

Построим CH – высоту. Тогда она и медиана и потому AH=4.Из треугольника ACH Откуда Найдем .

Подставим в это тождество найденное значение тангенса.

Получаем

Ответ 7

4.В треугольнике АВС угол А равен 45º, угол В равен 30º, ВС = 8. Найти АВ

Решение

Так как сумма углов в треугольнике 180º, то угол С=180º- 30º-45º=105º,

Применим теорему синусов , то есть

Найдем . Применим формулы сложения

Имеем

Ответ

5. Трапеция вписана в окружность радиуса 12. Её большее основание образует с боковой стороной угол, синус которого равен 5/8, а с диагональю – угол, косинус которого равен 4/5. Найти площадь трапеции.

Решение

Так как трапеция вписана в окружность, то она равнобедренная

Так как окружность описана около трапеции, то она описана и около треугольника ACD.Применим к этому треугольнику теорему синусов

получаем Отсюда имеем ;

пусть СМ=h – высота. Из треугольника CMА получаем , то есть .Тогда По теореме Пифагора

Из треугольника CMD получаем по теореме Пифагора Так как трапеция равнобедренная, то

Тогда площадь трапеции равна S=

Ответ 108

Задания для самостоятельного решения

1. В треугольнике ABC угол C равен , . Найдите .

2. В треугольнике ABC угол C равен , . Найдите .

3. В треугольнике ABC угол C равен , , . Найдите BC.

4. В треугольнике ABC угол C равен , , . Найдите AB.

5. В треугольнике ABC угол C равен , , . Найдите BC.

6. В треугольнике ABC угол C равен , , . Найдите AB.

7. В треугольнике ABC угол C равен , , . Найдите AB.

8. В треугольнике ABC угол C равен , , . Найдите .

9. В треугольнике ABC угол C равен , , . Найдите .

10. В треугольнике ABC угол C равен , , . Найдите .

11. В треугольнике ABC угол C равен , CH — высота, , . Найдите BH.

12. В треугольнике ABC угол C равен , CH — высота, , . Найдите AH.

13. В треугольнике ABC , . Найдите AB.

14. В треугольнике ABC , , . Найдите AC.

15. В треугольнике ABC , . Найдите .

16. В треугольнике ABC , . Найдите .

17. В треугольнике ABC , . Найдите .

18. В треугольнике ABC , . Найдите высоту CH.

19. В треугольнике ABC , , . Найдите высоту CH.

20. В треугольнике ABC , высота CH равна 20. Найдите .

21. В треугольнике ABC , высота AH равна 4, . Найдите .

22. В треугольнике ABC , высота AH равна 20, . Найдите .

23. В треугольнике ABC , AH — высота, , . Найдите .

24. В треугольнике ABC , AH — высота, , . Найдите .

25. В треугольнике ABC угол C равен , CH — высота, , . Найдите .

26. В треугольнике ABC угол C равен , высота CH равна 20, . Найдите .

27. В тупоугольном треугольнике ABC , высота AH равна 20. Найдите .

28. В тупоугольном треугольнике ABC , AH — высота, . Найдите .

29. В тупоугольном треугольнике ABC , высота AH равна 24, . Найдите .

30. В тупоугольном треугольнике ABC , высота AH равна 4, . Найдите .

31. В треугольнике ABC , высота AH равна 7, . Найдите .

32. В треугольнике ABC , высота AH равна 24, . Найдите .

33. В треугольнике ABC , высота AH равна 4, . Найдите .

34. В треугольнике ABC угол C равен , CH — высота, , . Найдите BH.

35. В треугольнике ABC угол C равен , CH — высота, , . Найдите AH.

36. В треугольнике ABC угол C равен , . Найдите синус внешнего угла при вершине A.

37. В треугольнике ABC угол C равен , . Найдите косинус внешнего угла при вершине A.

38. В треугольнике ABC угол C равен , . Найдите тангенс внешнего угла при вершине A.

39. В треугольнике ABC угол C равен , . Найдите синус внешнего угла при вершине B.

40. В треугольнике ABC угол C равен , . Найдите косинус внешнего угла при вершине B.

41. В треугольнике ABC угол C равен , . Найдите синус внешнего угла при вершине A.

42. В треугольнике ABC угол C равен , . Найдите тангенс внешнего угла при вершине B.

43. В треугольнике ABC угол C равен , . Найдите синус внешнего угла при вершине B.

44. В треугольнике ABC угол C равен , . Найдите косинус внешнего угла при вершине B.

45. В треугольнике ABC угол C равен , . Найдите тангенс внешнего угла при вершине B.

46. В треугольнике ABC угол C равен , . Найдите синус внешнего угла при вершине

47. В треугольнике ABC угол C равен , . Найдите тангенс внешнего угла при вершине A.

48. В треугольнике ABC угол C равен , . Найдите тангенс внешнего угла при вершине B.

49. В треугольнике ABC угол C равен , , . Найдите синус внешнего угла при вершине A.

50. В треугольнике ABC угол C равен , , . Найдите косинус внешнего угла при вершине A.

51. В треугольнике ABC угол C равен , , . Найдите тангенс внешнего угла при вершине A.

52. В треугольнике ABC угол C равен , , . Найдите тангенс внешнего угла при вершине A.

53. В треугольнике ABC угол C равен , , . Найдите синус внешнего угла при вершине A.

54. В треугольнике ABC угол C равен , синус внешнего угла при вершине A равен 0,1. Найдите .

55. В треугольнике ABC угол C равен , синус внешнего угла при вершине A равен . Найдите .

56. В треугольнике ABC угол C равен , синус внешнего угла при вершине A равен . Найдите .

57. В треугольнике ABC угол C равен , синус внешнего угла при вершине A равен . Найдите .

58. В треугольнике ABC угол C равен , синус внешнего угла при вершине A равен . Найдите .

59. В треугольнике ABC угол C равен , косинус внешнего угла при вершине A равен . Найдите .

60. В треугольнике ABC угол C равен , косинус внешнего угла при вершине A равен -0,1. Найдите Задание B6 (№ 27394)

61. В треугольнике ABC угол C равен , косинус внешнего угла при вершине A равен . Найдите .

62. В треугольнике ABC угол C равен , косинус внешнего угла при вершине A равен . Найдите .

63. В треугольнике ABC угол C равен , косинус внешнего угла при вершине A равен . Найдите

64. В треугольнике ABC угол C равен , косинус внешнего угла при вершине A равен , . Найдите BC.

65. В треугольнике ABC угол C равен , тангенс внешнего угла при вершине A равен , . Найдите AC.

66. В треугольнике ABC угол C равен , тангенс внешнего угла при вершине A равен , . Найдите BC

67. В треугольнике ABC угол C равен , синус внешнего угла при вершине A равен , . Найдите AB.

68. В треугольнике ABC угол C равен , синус внешнего угла при вершине A равен , . Найдите BC.

69. В треугольнике ABC , . Найдите синус внешнего угла при вершине A.

70. В треугольнике ABC , , тангенс внешнего угла при вершине A равен . Найдите AC.

71. В параллелограмме ABCD . Найдите ..

72. В параллелограмме ABCD . Найдите .

73. Найдите синус угла наклона отрезка, соединяющего точки O(0, 0) и A(6, 8), с осью абсцисс.