Геометрическое сложение четырех и более векторов

Правило геометрического сложения векторов можно распространить на сумму множества заданных векторов.

Правило.Сумму векторов можно получить следующим образом. Из произвольной точки откладывается вектор, равный первому слагаемому вектору. К концу первого вектора присоединяется начало второго вектора; к концу второго – начало третьего. Вектор, соединяющий начало первого вектора с концом последнего, является суммой данных векторов.

Чтобы задать вектор, нужно задать его модуль и направление. Направление вектора определяется его линией действия. Поэтому в задачах на сложение векторов удобно пользоваться линиями действия векторов, на которых удобно откладывать модули заданных векторов.

Определение.Суммой несколько векторов (рис. 9.14, а) называют вектор

.

Геометрическое правило сложения нескольких векторов основано на построении векторного многоугольника (по подобию построения векторного треугольника). Возьмем произвольную точку О и путем параллельного переноса совместим начало вектора с этой точкой. Далее последовательно путем параллельного переноса пристраиваем другие векторы один за другим так, чтобы начало последующего вектора совпадало с концом предыдущего, тогда вектор, замыкающий получившуюся ломаную, является суммой слагаемых векторов, причём, его начало совпадает с точкой А (началом первого из слагаемых векторов), а конец – с концом последнего вектора (рис. 9.14, б).

Геометрическая сумма векторов

определена вектором, соединяющим точку О (начало вектора ) с концом последнего вектора . Если построения векторов делать в масштабе, то, измеряя длину полученного вектора , получим его модуль, измеряя транспортиром угол , который образует вектор с положительным направлением оси , определим направление вектора .

Пример 9.9.Вычислить сумму трех векторов , , , , если , , . Направления векторов показаны на рис. 9.15.

Решение. Совместим ось декартовой системы координат с линией действия вектора , а начало – с точкой приложения вектора (рис. 9.15, в). Откладываем отрезок вдоль оси , равный модулю первого вектора– . Далее, через конец вектора проводим прямую, параллельную линии действия вектора (угол между линиями действия векторов и равен ), и откладываем отрезок, равный модулю второго вектора – ; через конец вектора проводим прямую, параллельную линии действия вектора (угол между линиями действия векторов и равен ), и откладываем отрезок, равный модулю третьей силы – . Через конец вектора проводим прямую, параллельную линии действия вектора (угол между линией действия вектора и положительным направлением оси равен ), и откладываем отрезок, равный модулю четвертой силы – . Вектор , равный сумме векторов + + , соединяет точку О (точка приложения первого вектора) с концом вектора (рис. 9.15, б). Измеряем линейкой модуль вектора : .

Измерим транспортиром угол между положительным направлением оси и вектором : .

В результате измерений получили характеристики вектора

Разность векторов

Разностью двух векторов и называется третий вектор , сумма которого с вычитаемым вектором дает вектор . Таким образом, если , то (на рис. 9.16 а). Вектор соответствует малой диагонали BD параллелограмма, построенного на векторах и , как на сторонах:

.

а

б

Рис. 9.16

Модуль вектора d вычисляется по теореме косинусов, рис. 9.16:

.

Следует обратить внимание на направление вектора
(рис. 9, 16, б): вектор направлен от конца вектора (точка B) к концу вектора (точка D).