Философско-методологические проблемы прикладной математики
В философско-методологические проблемы математизации науки органически входят проблемы прикладной математики. Современное место прикладной математики становится более ясным, если хотя бы кратко проследить пути развития самой математики. Представляется несомненным, что движущие силы развития математики имеют два основных объективно существующих источника. Один из них, внешний, связан с необходимостью решения математическими средствами задач, лежащих за пределами математики, задач других наук, техники, экономики и т. д.. Именно этот источник был исторически первым. Второй источник, внутренний, вытекает из необходимости систематизировать найденные математические факты, выяснить их взаимосвязи, объединить их с помощью обобщающих концепций в теорию, развивать эту теорию по ее внутренним законам. Именно этот источник и привел в свое время к выделению математики как науки. Во введении к выдающейся популярной книге Р. Куранта и Г. Роббинса «Что такое математика» говорится: «Без сомнения, движение вперед в области математики обусловлено возникновением потребностей, в большей или меньшей мере носящих практический характер. Но раз возникшее, оно неизбежно приобретает внутренний размах и выходит за границы непосредственной полезности. Совершающееся таким образом превращение прикладной науки в теоретическую наблюдается в исторической древности, но не в меньшей степени также и в наши дни: достаточно принять во внимание тот вклад, который сделан в современную математику инженерами и физиками».
Следует подчеркнуть, что здесь речь идет о преимущественных влияниях в создании и развитии математических методов, понятий, утверждений. Но по отношению к любой уже созданной математической сущности обычно бывает бессмысленным вопрос о том, какому именно - теоретическому или прикладному - направлению она принадлежит. К какому направлению следует отнести метод Бубнова - Галеркина? Или понятие дельта-функции Дирака? Формулу Тейлора? На эти вопросы можно отвечать лишь, если речь идет об истории возникновения этих понятий или о конкретных ситуациях, в которых они встретились. Правда, некоторые разделы, такие, например, как гомологическая алгебра, сейчас полностью принадлежат теоретическому направлению, а немногие вопросы, как, например, методика выбора вероятности, определяющей практическую невозможность события, понятия практической сходимости или практической бесконечности, пока полностью принадлежат прикладному направлению.
На ранних стадиях развития математики оба направления прослеживаются особенно отчетливо. Так как эти направления вначале взаимодействовали относительно слабо, то можно даже говорить о двух почти автономных ветвях математики - о прикладной и о теоретической (чистой) математике. Так, математика в Древнем Египте была прикладной; она была непосредственно связана с задачами землемерия, вычисления объемов сосудов, практического счета, исчисления времени (в частности, в связи с предсказанием затмений) и т. д. Аналогичный характер имела математика в Древней Мексике и у некоторых других народов. Чистая математика, по-видимому, возникла впервые в Древней Греции в связи с софистикой и отчетливо отделялась от прикладной. Об этом ярко написал Ф. Клейн: «Если начнем с древних греков, то мы найдем резкое разграничение чистой и прикладной математики, которое восходит к Платону и Аристотелю. К чистой математике относится, прежде всего, известное Евклидово построение геометрии, к прикладной принадлежат в особенности числовые операции, так называемая логистика (всеобщее число). При этом к последней относились довольно презрительно. Предрассудок, который во многих случаях сохранился до сих пор, но, во всяком случае, большей частью только у людей, которые сами не умеют вычислять. Этому положению логистики могло содействовать отчасти то обстоятельство, что она развивалась в тесной связи с тригонометрией и с потребностями практического землемерия, которое с древних времен казалось людям недостаточно благородным занятием. Конечно, она снова была несколько реабилитирована тем, что без нее не могла обойтись другая наука, которая хотя и родственная геодезии, но в противоположность ей всегда считалась одной из самых благородных - астрономия».
По-видимому, отчетливое отделение чистой математики от прикладной характерно также для стран средневекового ислама и для алгебраистов средневековой Европы. При этом теория и практика решения алгебраических уравнений, а также комбинаторика все в большей степени врастают в чистую математику. В частности, крупнейшие математические открытия той эпохи - биноминальные коэффициенты, формулы для решения уравнений 3-й и 4-й степеней полностью принадлежат чистой математике.
Таким образом, переход в математике к теоретико-множественному подходу, основанному, как теперь принято говорить, на наивной теории множеств (ему противопоставляется более современный подход, основанный целиком на методах математической логики), был необходим и потому прогрессивен. В то же время приведение в порядок основ науки, открывшиеся в связи с этим новые широкие возможности, в частности значительно усилившиеся возможности взаимодействия между различными математическими дисциплинами, привели к существенному повышению роли теоретического направления в математике, которое в описываемый период (продолжавшийся примерно до второй мировой войны) стало преобладающим и определяющим стиль всей математики в целом.
Однако в последние десятилетия обнаружились и слабые стороны рассматриваемого направления. Это проявилось по двум линиям - математической логики и приложений, впрочем, как выяснилось, связанным между собой. Прежде всего, «абсолютная» строгость наивной теории множеств и основанных на ней теорий оказалась, как и можно было ожидать из общих соображений, совсем не абсолютной. Она отнюдь не устраивает логиков.
Не все задумываются над тем, что в основе наивной теории множеств нет достаточно последовательной системы аксиом, она опирается на «очевидность» и произвольные запреты; например, разрешается рассматривать совокупность всех натуральных чисел, но запрещается рассматривать совокупность всех порядковых (трансфинитных) или всех кардинальных чисел - мощностей.
Все отмеченные выше обстоятельства привели к тому, что в подавляющем большинстве прикладных исследований математические рассуждения отнюдь не находятся на чисто дедуктивном уровне, который требует чистая математика. Они не могут находиться и не должны находиться на этом уровне. Можно сказать, что дедуктивные построения не успевают за ритмом современной жизни, в процессе приближения к истине они, как правило, имеют столь низкий коэффициент полезного действия, что прикладники стихийно выработали значительно более эффективный способ математических рассуждений, о котором мы подробно поговорим позже.
Существенно отметить, что прикладные тенденции значительно повлияли на всю современную математику в целом, включая ее теоретическое направление. В частности, именно этим объясняется пристальное внимание к проблемам алгоритмизации, а также оптимизации, характерным для современной математики и накладывающим заметный отпечаток на ее разнообразные области.
Необходимо привести в заключение яркую характеристику развития математики начиная с Возрождения, содержащуюся во введении к книге Р. Куранта и Г. Роббинса. «После периода медленного накопления сил - с возникновением в XVII веке аналитической геометрии и дифференциального и интегрального исчислений - открылась бурная революционная фаза в развитии математики и физики. В XVII и XVIII вв. греческий идеал аксиоматической кристаллизации и систематической дедукции потускнел и утерял свое влияние, хотя античная геометрия продолжала высоко расцениваться. Логически безупречное мышление, отправляющееся от отчетливых определений и «очевидных», взаимно не противоречащих аксиом, перестало импонировать новым пионерам математического знания. Предавшись подлинной оргии интуитивных догадок, перемешивая неоспоримые заключения с бессмысленными полумистическими утверждениями, слепо доверяясь сверхчеловеческой силе формальных процедур, они открыли новый математический мир, полный несметных богатств. Но мало-помалу экстатическое состояние мысли, упоенной головокружительными успехами, уступило место духу сдержанности и критицизма. В XIX столетии сознание необходимости консолидировать науку, особенно в связи с нуждами высшего образования, после французской революции получившего широкое распространение, привело к ревизии основ новой математики; в частности, внимание было направлено к дифференциальному и интегральному исчислениям и к уяснению подразумеваемого анализом понятия предела. Таким образом, XIX век не только стал эпохой новых успехов, но и был ознаменован плодотворным возвращением к классическому идеалу точности и строгости доказательств».
Однако еще более адекватной действительному положению вещей является самая широкая - третья позиция, согласно которой математика не только охватывает дедуктивные области, но и включает все математические сущности - математические объекты, методы и идеи, встречающиеся как в теоретической математике, так и в приложениях; имеются в виду построение математических моделей, математический эксперимент, индуктивные или другие рациональные рассуждения математического характера и т. п. В весьма интересной книге Д. Пойа «Математическое открытие» говорится: «Пределы математики - это вся область доказательных рассуждений, относящихся к любой науке, достигнувшей того уровня развития, при котором относящиеся к этой науке понятия могут быть выражены в абстрактной, логико-математической форме». Следует добавить, что при этом в понятие доказательности не следует вкладывать узко догматическое содержание. Конечно, приверженцам этой позиции, которая является наиболее плодотворной для математики, приходится поступиться «теоретико-множественным единством» математики, оставив его лишь за неким «ядром» математики.
Существует точка зрения некоторых математиков, в соответствии с которой заниматься приложениями вообще не следует. По этому поводу Ф. Клейн писал: «К сожалению... все еще встречаются университетские преподаватели, которые не находят достаточно презрительных слов по адресу всякого занятия приложениями».
Тем не менее, за подобным признанием скрываются различные точки зрения. Так, некоторые считают, что прикладная математика - это «ширпотребная», в дурном смысле, часть математики, существующая в виде логически недоработанного и несовершенного (возможно, из-за низкой математической культуры специалистов в этой области) набора некоторых приемов, рецептов и правил. Указанные недостатки прикладной математики должны быть преодолены, в результате чего эта «недоматематика» возвысится до нормального математического уровня. По сути эта наивная точка зрения, если она не является проявлением снобизма, основана на непонимании истинной ситуации. В самом деле, как с этой точки зрения можно объяснить то, что физики, инженеры-теоретики и другие специалисты, среди которых, бесспорно, имеется немало толковых людей, применяя математику, упорно уклоняются от строго дедуктивного языка? И хотя в институтах их систематически учат этому языку, они предпочитают переучиваться, переходя на язык прикладной математики и перестраивая весь образ математического мышления.