Функциональное отношение. Функции

Определение 39. Бинарное отношение f между множествами A и B называется функциональным отношением, если из (a,b) f и (a,c) f b=c.

A

B A B

функциональное отношение, не является функцион. отношением

но не функция

Определение 40. Функциональное отношение f между множествами A и B называется функцией или отображением A в B, если Dom f =A,и обозначается
f : A B или A B.

A f

Функция и

функциональное отношение

B

Замечание. Если f : A B – функция, то каждому элементу a A соответствует единственный элемент b B и записывается f(a)=b (a,b) f a f b.

Определение 41. Пусть f : A B функция, a A, b B. Если f(a)=b, то b называется образом элемента a при отображении f ; элемент a называется прообразом элемента b при отображении f.

A

f

B

Определение 42. Пусть дана функция f:A B, A₀ A. Множество f(A₀)={f(a)|a A₀} называется образом множества A₀ при отображении f.

A B

f

f(A₀)

Определение 43. Пусть f : A B функция, b B.
Множество f^-1(b)={a A|f(a)=b} называется полным прообразом элемента b при отображении f.

A

B

a_1, a₂ – прообразы b.

{a₁,a₂} – полный прообраз при отображении f.

Определение 44. Пусть f : A B функция, B₀ B.
Множество f^-1(B₀)= называется полным прообразом множества B₀ при отображении f.

Отметим, что f^-1(B)=A, f(A) B.

Определение 45. Отображение f : X Y называется инъективным (или взаимно-однозначным отображением X в Y), если x_1, x₂ X из x₁ x₂ f(x₁) f(x₂). «разным соответствуют разные»

Замечание. На практике при проверке свойства инъективности используют другую формулировку.

Определение 46. Отображение f : X Y называется инъективным, если x₁,x₂ X из f(x₁)=f(x₂) x₁=x₂. «если образы равны, то и прообразы равны»

Определение 47. Отображение f : X Y называется сюръективным (или отображением X на Y), если Im f совпадает с Y (Im f = Y), т. е.
y Y x X т. что f(x) = y. «для всякого образа найдётся прообраз»

Определение 48. Отображение f : X Y называется биективным (взаимно-однозначным отображением X на Y), если f инъективно и сюръективно.

Биективное отображение называется биекцией, инъективное – инъекцией, сюръективное – сюръекцией.

A f B

не является инъекцией

f B

A инъекция, не сюръекция

A B

f

сюръекция, инъекция

биекция