Функциональное отношение. Функции
Определение 39. Бинарное отношение f между множествами A и B называется функциональным отношением, если из (a,b)
f и (a,c)
f
b=c.
A
B A B
функциональное отношение, не является функцион. отношением
но не функция
Определение 40. Функциональное отношение f между множествами A и B называется функцией или отображением A в B, если Dom f =A,и обозначается
f : A B или A
B.
A f
Функция и
функциональное отношение
B
Замечание. Если f : A B – функция, то каждому элементу a
A соответствует единственный элемент b
B и записывается f(a)=b
(a,b)
f
a f b.
Определение 41. Пусть f : A
B функция, a
A, b
B. Если f(a)=b, то b называется образом элемента a при отображении f ; элемент a называется прообразом элемента b при отображении f.
A
f
B
Определение 42. Пусть дана функция f:A B, A0
A. Множество f(A0)={f(a)|a
A0} называется образом множества A0 при отображении f.
![]() |
A B
f
![]() |
f(A0)
Определение 43. Пусть f : A B функция, b
B.
Множество f-1(b)={a A|f(a)=b} называется полным прообразом элемента b при отображении f.
![]() | ![]() |
A
B
![]() |
a1, a2 – прообразы b.
{a1,a2} – полный прообраз при отображении f.
Определение 44. Пусть f : A B функция, B0
B.
Множество f-1(B0)= называется полным прообразом множества B0 при отображении f.
Отметим, что f-1(B)=A, f(A) B.
Определение 45. Отображение f : X Y называется инъективным (или взаимно-однозначным отображением X в Y), если
x1, x2
X из x1
x2
f(x1)
f(x2). «разным соответствуют разные»
Замечание. На практике при проверке свойства инъективности используют другую формулировку.
Определение 46. Отображение f : X Y называется инъективным, если
x1,x2
X из f(x1)=f(x2)
x1=x2. «если образы равны, то и прообразы равны»
Определение 47. Отображение f : X Y называется сюръективным (или отображением X на Y), если Im f совпадает с Y (Im f = Y), т. е.
y
Y
x
X т. что f(x) = y. «для всякого образа найдётся прообраз»
Определение 48. Отображение f : X Y называется биективным (взаимно-однозначным отображением X на Y), если f инъективно и сюръективно.
Биективное отображение называется биекцией, инъективное – инъекцией, сюръективное – сюръекцией.
![]() | ![]() |
A f B
не является инъекцией
![]() |
f B
A инъекция, не сюръекция
![]() | |
![]() |
A B
f
сюръекция, инъекция
биекция
![]() |