Изготовление правильных многогранников
3.1 «Рождение» великого физика Д.К.Максвелла
Однажды обыкновенный английский мальчик Джеймс, увлекшись изготовлением моделей многогранников, написал в письме к отцу: «… я сделал тетраэдр, додекаэдр и ещё два эдра, для которых не знаю правильного названия». Эти слова ознаменовали рождение в пока ничем не примечательном мальчике великого физика Джеймса Кларка Максвелла (Приложение 3). Думаю, что и вас, и ваших родных увлечёт изготовление моделей геометрических тел.
Кроме традиционных ёлочных украшений (хлопушек и фонариков) можно изготовить геометрические игрушки. Это модели правильных многогранников, сделанные из цветной бумаги. Ведь их форма – это образец совершенства! Совершенство форм, красивые математические закономерности, присущие правильным многогранникам, явились причиной того, что им приписывались различные магические свойства и все пять геометрических тел издавна были обязательными спутниками волшебников и звездочётов. И если потрудиться над их изучением и изготовлением, то наверняка они доставят радость и удовольствие, а возможно принесут и удачу.
3.2 Развёртки правильных многогранников
Одним из способов изготовления правильных многогранников является способ с использованием так называемых развёрток.
Если модель поверхности многогранника изготовлена из гибкого нерастяжимого материала (бумаги, тонкого картона и т. п.), то эту модель можно разрезать по нескольким рёбрам и развернуть так, что она превратится в модель некоторого многоугольника. Этот многоугольник называют развёрткой поверхности многогранника. Для получения модели многогранника удобно сначала изготовить развёртку его поверхности. При этом необходимыми инструментами являются клей и ножницы. Модели многогранников можно сделать, пользуясь одной разверткой, на которой будут расположены все грани. Однако в этом случае все грани будут одного цвета.
![]() ![]() ![]() | |||
![]() ![]() | |||
3.3 Способ «плетения»
Кроме изготовления многогранников с помощью развёрток есть ещё один способ, при котором они сплетаются из нескольких полосок бумаги. Без применения клея модель приобретает жёсткую структуру после того, как будет заправлен последний кусочек бумаги.
Для того чтобы сплести тетраэдр, нужно:
Плетём куб:
Если полоски разного цвета, то у получившегося куба противоположные грани одинакового цвета. Этот способ интересен тем, что любые две полоски не зацеплены одна с другой, а все три зацеплены.
Возможно, при виде моделей многогранников кто-нибудь спросит: «Какая от них польза?» На это можно ответить так: «А разве всё красивое полезно?»
3.4 Ещё один способ изготовления многогранников
Для изготовления моделей многогранников можно воспользоваться рекомендациями, данными в книге М. Винниджера «Модели многогранников». «Автор этой книги, заражая своим энтузиазмом читателя, даёт ему ясные и четкие указания о том, как изготовить модели различных многогранников. Объяснения проиллюстрированы фотографиями моделей из собрания автора – возможно, наиболее полного в настоящее время. Но фотографии не в состоянии передать всего великолепия самих моделей. Наиболее сложные «курносые» модели не только крайне трудны в изготовлении, но и весьма декоративны. Это ли не превосходный пример родства истины и красоты!» – отмечает в предисловии к книге Г.С.М. Кокстер.
М. Винниджер отмечает: «Время, которое я затратил на изготовление моделей невыпуклых однородных многогранников, в существенной степени зависело от характера модели. Так, на простейшие из них требовалось не более трех-четырех часов, а в среднем же приходилось затрачивать восемьдесят часов, а некоторые сложные модели занимали двадцать-тридцать часов. Две модели отняли у меня свыше сотни часов каждая. Теперь, когда работа завершена, я, пожалуй, соглашусь с тем, что ее объем поразил и меня. Но китайская пословица гласит: «Если ты собираешься пройти тысячу ли, начни с того, что сделай первый шаг». За первым шагом последует другой, и вскоре красота открывшихся взору путника видов заставит его забыть о трудностях пути».
Прежде чем приступить к изготовлению многогранников ниже приведённым способом, необходимо познакомиться с общими рекомендациями. (Приложение 4).
3.4.1 Тетраэдр
Все четыре грани тетраэдра – равносторонние треугольники. Четыре – это наименьшее число граней, отделяющих часть трёхмерного пространства. Тем не менее, тетраэдр обладает многими свойствами, характерными для однородных многогранников. Все его грани суть правильные многоугольники, причём каждая отделяется ребром в точности от одной грани. Все многогранные углы тетраэдра также равны между собой. Если нужно сделать модель тетраэдра разноцветной, следует приготовить развертки для каждого типа грани в виде отдельного многоугольника. Для этого понадобится всего один трафарет в виде равностороннего треугольника.
Необходимо сделать четыре заготовки разного цвета – например, Ж, С, О и К. При этом нужно оставить наклейки с каждой стороны, как показано на рисунке. Теперь склеиваем все четыре заготовки вместе, затем соединяем несклеенные боковые грани и склеиваем вначале только две из них между собой. Затем накладываем клей на оставшиеся наклейки и приклеиваем последнюю грань, как бы закрывая коробку.
Октаэдр
Так как его противоположные грани октаэдра лежат в параллельных плоскостях, то можно превосходно обойтись всего четырьмя красками. Модель этого многогранника мы начинаем делать, склеивая четыре треугольника. После того как склеим между собой грани 1 и 4, то в наших руках окажется правильная четырехугольная пирамида без квадратного основания. Эта часть составляет ровно половину модели.
Вторая половина энантиоморфна первой. Тем не менее, проще продолжить работу в такой последовательности: сначала приклеить наклейки четырех оставшихся треугольников к соответствующим наклейкам на сторонах квадратного основания. Нужно проследить, чтобы противоположные грани октаэдра имели один и тот же цвет. Затем последовательно склеить наклейки соседних граней, снова закрывая модель последним треугольником, как крышкой. Теперь можно заметить, что квадрат, только что послуживший основанием первой половины модели, на самом деле всего лишь один из трёх квадратов такого рода, которые можно видеть на полной модели. При этом ребра квадратов лежат в трёх взаимно перпендикулярных плоскостях.
3.4.3 Гексаэдр (куб)
Несомненно, куб, или, как его иногда называют математики,гексаэдр– самый общеизвестный и широко используемый многогранник. Все шесть его граней – квадраты, сходящиеся по два вдоль каждого ребра и по три в каждой вершине. Можно начать постройку модели куба, выбрав один квадрат и присоединив к нему четыре других, как показано на рисунке. Затем нужно склеить наклейки соседних боковых граней, причём склеенные попарно наклейки вновь образуют как бы жесткий скелет многогранника. Остается добавить последнюю грань, и это действие уже с полным правом можно будет уподобить закрыванию ящика крышкой.
Возможно, что в своей простоте куб не самый привлекательный многогранник. Но он обладает несколькими удивительными свойствами в отношении других Платоновых и некоторых архимедовых тел. А объединение пяти кубов можно поместить в додекаэдр, и при этом получается очень красивая модель.
Икосаэдр
Икосаэдр– одно из пяти платоновых тел, по простоте следующее за тетраэдром и октаэдром. Их объединяет то обстоятельство, что гранями каждого являются равносторонние треугольники. При изготовлении модели икосаэдра можно выбрать любую из двух эффектных возможностей распределения пяти цветов. Во-первых, икосаэдр может быть раскрашен так, что у каждой вершины встретятся все пять цветов (правда, в таком случае противоположные грани не будут окрашены одинаково). Другой способ обеспечивает противоположным граням одинаковые цвета, зато у каждой вершины, за исключением двух полярных, будет повторяться по кругу один цвет. Обе раскраски очень интересны. Обе модели можно строить, исходя из одного и того же начального расположения пяти равносторонних треугольников. Они образуют невысокую пятиугольную пирамиду без основания. К сторонам её основания нужно приклеить следующие пять треугольников, руководствуясь той или иной таблицей раскраски. Между ними приклеивается по одному треугольнику – это сделать несложно, если обратить внимание на то, что в каждой вершине сходятся пять граней. Завершая модель, приклеивают последние пять треугольников. Чтобы облегчить пользование таблицами раскраски, нужно запомнить: первая строка любой таблицы задает раскраску пяти треугольников, окружающих «северную полярную» вершину икосаэдра. Последующие две строки указывают раскраску «экваториального» кольца из десяти чередующихся равносторонних треугольников. Наконец, четвертая строка показывает раскраску граней у, «южного полюса» икосаэдра.
Интересен порядок раскраски не только вблизи «полюсов», но и у других десяти вершин, то по этим таблицам его тоже легко найти. Надо совершить круговой обход по таблице по следующему правилу: начиная с двух соседних цветов в крайней строке, опуститься (или подняться) на следующую строку, затем еще на одну и после этого вернуться на исходные. Например:
Это наводит на мысль о том, что таблицы раскраски можно задавать совершенно по-иному – нумеруя вершины и выписывая порядок чередования цветов у каждой из них. Правда, это приведёт к тому, что каждая треугольная грань икосаэдра будет поименована в такой таблице трижды, но все же таблицы удобны: с их помощью легче последовательно «обклеивать» вершину. Для икосаэдра таблицы этого типа выглядят так:
Здесь указаны раскраски только шести вершин, причем вершина (0) – снова «северный полюс» икосаэдра. Для обеих моделей вершины, противоположные этим, имеют энантиоморфную раскраску. Её можно получить, читая соответствующую строку в обратном порядке, то есть справа налево.
Додекаэдр
В известном смысле додекаэдрпредставляет наибольшую привлекательность среди Платоновых тел, соперничая с икосаэдром, который почти ему не уступает (а быть может, в чём-то и превосходит). Пожалуй, пальму первенства додекаэдр получает за свои три звездчатые формы, описываемые ниже.
Модель этого многогранника можно сделать четырёхцветной двумя способами; если же воспользоваться для раскраски шестью цветами, то противоположные грани легко сделать одноцветными. Такую раскраску хорошо перенести на упомянутые выше звездчатые формы додекаэдра. Приводим описание.
Построение модели начинается с приклеивания пяти разноцветных пятиугольников – скажем, Ж, С, О, К, 3 – к одному центральному пятиугольнику, например белого цвета (Б). После этого следует склеить цветные пятиугольники между собой – и половина дела сделана. Остаётся подклеить остальные грани додекаэдра к уже сделанной половине таким образом, чтобы противоположные грани были одноцветными.
На рисунке показана четырехцветная раскраска додекаэдра. Можно воспользоваться и энантиоморфным порядком цветов. Иногда удобнее обращаться именно к такой раскраске – особенно для моделей, имеющих симметрию додекаэдра.
Заключение
Миром красоты и гармонии мы называем правильные многогранники. Ведь на протяжении всей истории человечества эти многогранники восхищали симметрией и совершенством форм. Изображения пяти правильных многогранников – «Тела Платона», 13 полуправильных выпуклых многогранников – «Тела Архимеда» и 4-х невыпуклых многогранников – «Тела Пуансо – Кеплера» приводят пытливые умы к размышлению о красоте истин.
Подводя итоги своей работы, я могу сделать вывод: существует 5 правильных выпуклых многогранников: тетраэдр (четырёхгранник), гексаэдр (шестигранник), октаэдр (восьмигранник), додекаэдр (двенадцатигранник), икосаэдр (двадцатигранник) – Платоновы тела, 4 звездчатых правильных многогранника – тела Кеплера – Пуансо, 13 полуправильных многогранников – тела Архимеда. В работе описаны их свойства, даны развёртки для их изготовления, показано, где они встречаются в природе.
Выполняя работу, я научилась изучать литературу по названной теме, делать анализ прочитанного, выбирать нужный материал, искать ответы на возникающие вопросы, делать выводы.
При работе над рефератом «В мире правильных многогранников» я прикоснулась к удивительному миру красоты, совершенства, гармонии, узнала имена учёных, художников, которые посвятили этому миру свои труды, являющиеся шедеврами науки и искусства. Ещё раз убедилась, что истоки математики – в природе, окружающей нас.
В ходе данного исследования был проведён анализ определений правильных многогранников, установлены условия существования правильных многогранников, выявлены свойства правильных многогранников, сделано описание технологии их построения.
Литература
1. Александров А.Д. , Вернер А.Л. , Рыжин В.И. Начало стереометрии. – М.: Просвещение, 1981.
2. Атанасян Л. С., Бутузов В. Ф. и др. Геометрия. Учебник для 10 – 11 классов средней школы. – М.: Просвещение, 2001.
3. Бевз Г. П., Бевз В. Г., Владимирова Н. Г. Геометрия. Учебник для 7 – 11 классов средней школы. – М.: Просвещение, 1992.
4. Веннинджер М. Модели многогранников. – М.: Мир, 1974.
5. Выгодский М. Я. Справочник по элементарной математике. – М.: Наука,1972.
6. Глейзер Г. И. История математики в школе. IX-X классы. Пособие для учителей. – М.: Просвещение, 1983.
7. Клопский В. М., Скопец З. А., Ягодовский М. И. Геометрия 9 – 10 класс. – М.: Просвещение, 1983.
8. Погорелов А. В. Геометрия. Учебник для 7- 11 классов средней школы. – М.: Просвещение, 1990.
9. Савин А. П., Станцо В. В., Котова А. Ю. Я познаю мир: Детская энциклопедия: Математика. – М.: АСТ, 1999.
10. Смирнова И. М., Смирнов В. А. Геометрия. Учебник для 10 – 11 классов общеобразовательных учреждений. – М.: Мнемозина, 2003.
11. Шарыгин И. Ф., Ерганжиева Л. Н. Наглядная геометрия. 5 – 6 кл.: Пособие для общеобразовательных учебных заведений. – М.: Дрофа, 1999.
12. Математика. Еженедельная учебно-методическая газета. №24, 2004.с. 15-32.
Приложение 1
ПЛАТОН (428 или 427 до н. э. — 348 или 347), древнегреческий философ. Ученик Сократа, ок. 387 основал в Афинах школу. Идеи (высшая среди них — идея блага) — вечные и неизменные умопостигаемые прообразы вещей, всего преходящего и изменчивого бытия; вещи — подобие и отражение идей. Познание есть анамнесис — воспоминание души об идеях, которые она созерцала до ее соединения с телом. Любовь к идее (Эрос) — побудительная причина духовного восхождения. Идеальное государство — иерархия трех сословий: правители-мудрецы, воины и чиновники, крестьяне и ремесленники. Платон интенсивно разрабатывал диалектику и наметил развитую неоплатонизмом схему основных ступеней бытия. В истории философии восприятие Платона менялось: «божественный учитель» (античность); предтеча христианского мировоззрения (средние века); философ идеальной любви и политический утопист (эпоха Возрождения). Сочинения Платона — высокохудожественные диалоги; важнейшие из них: «Апология Сократа», «Федон», «Пир», «Федр» (учение об идеях), «Государство», «Теэтет» (теория познания), «Парменид» и «Софист» (диалектика категорий), «Тимей» (натурфилософия).
* * *
ПЛАТОН (427-347 или 348 до н. э.), древнегреческий мыслитель, наряду с Пифагором, Парменидом и Сократом — родоначальник европейской философии; глава философской школы Академия.
Жизнь
Происходил из аристократической семьи, принимавшей активное участие в политической жизни Афин (род его отца Аристона, по преданию, восходил к мифическому царю Кодру; среди предков матери, Периктионы, — законодатель Солон; после победы спартанцев в Пелопоннесской войне дядя Платона, Хармид, — один из Десяти ставленников Лисандра в Пирее в 404-403, Критий — один из Тридцати тиранов в Афинах).
Получил традиционное для аристократического юноши хорошее воспитание (физическое и мусическое). В юности слушал софиста гераклитовской ориентации Кратила, в 20 лет познакомился с Сократом, начал регулярно посещать его беседы и отказался от реальной политической карьеры. Отличался крайней застенчивостью и замкнутостью.
Платон. Из «Апологии Сократа»
После смерти Сократа (399) Платон уезжает в Мегары. Принимает участие в Коринфской войне, в походах в Танагру (395) и Коринф (394). В 387 посещает Южную Италию, Локры Эпизефирские — родину древнейших записанных законов Залевка (из Локр происходит пифагореец Тимей, именем которого назван знаменитый диалог Платона, путешествие вообще задумывалось прежде всего ради знакомства с пифагорейцами). В Сицилии (Сиракуза), он знакомится с Дионом, приближенным правителя Сиракуз Дионисия I Старшего. По возвращении из Сицилии (387) основал в Афинах свою философскую школу — в гимнасии Академия. Знакомство с Дионом, попавшим под обаяние личности Платона и его образа мыслей, способствовало тому, что в 367-366 и 361 Платон совершил еще две поездки в Сицилию.
Школа Платона
Использование общественных гимнасиев для занятий науками и ораторским искусством было обычным для Афин 5-4 вв.; «школа Платона», вероятно, формировалась постепенно, по названию гимнасия она также стала именоваться Академией. Среди принадлежавших к платоновскому кружку — его племянник Спевсипп, ставший во главе Академии после смерти Платона, Ксенократ, третий схоларх Академии, знаменитый математик и астроном Евдокс Книдский, остававшийся во главе школы во время второй поездки Платона в Сицилию. В 366 в Академии появляется Аристотель и остается там вплоть до смерти Платона.
Сочинения
До нас дошло издание сочинений Платона, предпринятое пифагорейцем Трасиллом Александрийским, придворным астрологом императора Тиберия (ум. 37), разбитое на тетралогии:
«Евтифрон», «Апология», «Критон», «Федон».
«Кратил», «Теэтет», «Софист», «Политик».
«Парменид», «Филеб», «Пир», «Федр».
«Алкивиад I», «Алкивиад II», «Гиппарх», «Соперники».
«Феаг», «Хармид», «Лахет», «Лисид».
«Евтидем», «Протагор», «Горгий», «Менон».
«Гиппий Больший», «Гиппий Меньший», «Ион», «Менексен».
«Клитофонт», «Государство», «Тимей», «Критий».
«Минос», «Законы», «Послезаконие», «Письма».
Помимо этого под именем Платона дошел ряд других диалогов.
Начиная с конца 17 в., корпус текстов Платона, подвергался тщательному критическому рассмотрению с точки зрения их подлинности и хронологии.