Условно -категорические и разделительно- категорические умозаключения.
Дилемма.Кчислусиллогистическихумозаключений относятумозаключенияизусловных, разделительных суждений, ихсочетанийспростымикатегорическими суждениямиимеждусобой. Такимобразом, можно говоритьобусловном, разделительном, условнокатегорическом, разделительно-категорическомиусловноразделительномсиллогизмах (умозаключениях).
Силлогизм, вкоторомхотябыоднаизпосылок — суждениеусловное, являетсяусловнымсиллогизмом. Когда вумозаключенииобепосылкисужденияусловные, тогда силлогизмназываетсячистоусловным. Когдаоднаиз посылок — суждениеусловное, адругая — суждение категорическое, тогдасиллогизмназываетсяусловнокатегорическим. Когдажеоднаизпосылок — суждение условное, адругая — суждениеразделительное, тогда силлогизмназываетсяусловно-разделительным.
Умозаключение, вкоторомхотябыоднаизпосылок — суждениеразделительное, называетсяразделительным силлогизмом. Аналогичноусловномуиздесьвыделяют чисторазделительноеумозаключение, когдаобепосылки — разделительныесуждения; разделительно-категорическое умозаключениеи, наконец, разделительно-условное, которое, собственно, тожесамое, чтоиусловноразделительное. Структуруэтихумозаключений определяютвходящиевнихпосылки, иэтуструктуру следуетрассмотретьболееобстоятельновкаждом отдельномслучае.
Чисто условный силлогизмсостоитиздвухусловных суждений, структуракаждогоизкоторыхужеизвестна: условноесуждениесостоитизоснования, следствияи логическогосоюзамеждуними. Хотяструктуруусловного сужденияможнопредставлятьвсубъектно-предикатной записи, например: "Если S естьР, то S1естьР1", нотакая записьлишьусложняетанализ, поэтомубудемпользоваться сокращеннойзаписьюэтихсуждений, сохраняющихидаже выделяющихглавныеструктурныеэлементысложных суждений - логическийсоюзиотдельныепростые суждения. Обозначиввходящиевусловноесуждение простыесужденияотдельнымисимволами, получим формулуусловногосуждения: ЕслиВ,тоС.Используя символидлялогическогосоюза, получаемещеболее сокращеннуюзапись: «В --> C»
Пользуясьэтойсокращеннойзаписью, чистоусловный силлогизмможнопредставитьтакойсхемой:
ЕслиВ, тоСВ -->С
ЕслиС,тоДС -->Д
ЕслиВ,тоДВ -->Д
Легкозаметить, чторольсреднеготерминавчисто условномсиллогизмевыполняетпростоесуждение, являющеесявпервойпосылкеследствием, авовторой посылкеоснованиемэтогоусловногосуждения. Такая структуранапоминаетсобойчетвертуюфигуру категорическогосиллогизма, однакоразницасущественна: тамсреднийтермин — общеедляпосылокпонятие, здесь — общеепростоесуждение.
Условно-категорический силлогизмсостоитизусловной (будемсчитатьеебольшей, ибоонасложноесуждение) и категорической (будемназыватьееменьшей, ибоонапростоесуждение) посылок. Структураэтого умозаключениядопускаетчетыреразновидности, четыреее модуса, определяемыхзаконамисвязиэлементовв условномсуждении. Этихзаконовдва: приистинности основанияусловногосуждения - следствиеегобудет обязательноистинным, инаоборот, приложностиследствия условногосуждения - основаниеегобудетобязательно ложным. Есливусловно-категорическомумозаключенииот утверждения (констатации, признанияистинности) основанияусловногосуждениявменьшейкатегорической посылкепереходитвзаключенииэтогосиллогизмак утверждениюследствияусловногосуждения, тотакой выводправилен, онсоответствуетнормамлогики:
ЕслиВ,тоСВ -->С ВВ
СС
Этоумозаключениепредставляетсобойутверждающий модус (modus роnеns) условно-категорическогосиллогизма.
Есливусловно-категорическомсиллогизмемысль переходитототрицанияследствия (признания, констатации егонесоответствиядействительности, т.е. ложности) условногосуждениявменьшейпосылке, тонеобходимов заключениисиллогизмаотрицатьсамооснованиеусловного суждения:
ЕслиВ, тоСВ -->С
не-Сне-С Не-Вне-В
Этоумозаключениепредставляетсобойотрицающий модус (modus tollеns) условно-категорическогосиллогизма.
Обамодуса — утверждающийиотрицающий — гарантируютнеобходимостьиистинностьвыводапри истинностипосылок. Дваостальныхмодусаэтоговида силлогизманедаютнеобходимоистинноговывода, таккак ихструктурныеособенностинесоответствуютправилам, законамлогики. Модусыэтиназываютсянеправильными, неправомочными, проблематичными, правдоподобными. Онидаютзнание, котороеводномслучае (чтоопределяется содержаниемпосылок) можетбытьложным, вдругом истинным. Формулыэтихмодусовзаписываютсятак:
В -->СВ -->С
не-ВС
(возможно, не-С) (возможно, В)
? ?
Умозаключение, вкоторомнаместебольшейпосылки — суждениеразделительное, анаместеменьшейпосылки — суждениекатегорическое, называетсяразделительнокатегорический силлогизм. Какиусловно-категорический силлогизм, разделительно-категорическийтожеимеетвсего дваправильныхмодуса: утверждающе-отрицающий, или роnеndо-tоllеns, иотрицающе-утверждающий, или tоllеndороnеns. Например:
Деревьяунаслиболиственные, либохвойные
Данноенашедерево - хвойное Данноедерево - нелиственное Другойпример:
Деревьяунаслиболиственные, либохвойные
Данноенашедерево - нехвойное
Данноедерево - лиственное
Вэтихразделительно-категорическихсиллогизмах меньшаяпосылкавпервомслучаеутвердительное суждение, авыводотрицателен, вовтором - отрицательная, новыводположителен. Соответственно, этимодусыи называются - утверждающе-отрицающий (Вразделительнокатегорическомсиллогизмеможновыделитьчетыреих разновидности, илимодуса:
В v СВ v СВ v СВ v С Вне-ВСне-С
не-ССне-ВВ
Виспользованииусловныхиразделительных умозаключенииследуетсоблюдатьнетолькотребованияк силлогизмам, ноивсетребованиялогикиксложным суждениям, входящимвэтоумозаключение. Условное суждениедолжноотражатьестественные, причинноследственныезависимости, иботольковэтомслучаевывод поусловно-категорическомусиллогизмубудетправильным. Вслучаежекогдаоснованиеиследствиеусловного суждениянесоответствуютсвоемуструктурномузначению (когдаих, например, поменяютместами), всиллогизме, где участвуетусловноесуждение, выводснеобходимостью следоватьнеможет: когдачеловекболенлихорадкой, тоу неговысокаятемпература, нокогдаунеговысокая температура, этоещенезначит, чтоонболенлихорадкой.
Ивразделительномсиллогизмеправильностьвывода будетгарантированалишьтогда, когдавразделительной посылкебудутперечисленывсечленыделения (деление должнобытьполным), иприэтомчленыделениядолжны исключатьдругдруга, чтоследуетизужеизвестного правиладеления.
Наиболеесложнымизрассматриваемыхявляетсяусловноразделительный силлогизм. Онсоставляетсяизусловной (будемсчитатьеебольшей) иразделительной (будем считатьееменьшей) посылок. Обычноусловноразделительныеумозаключенияназываютлемматическими (отдревнегреческого lemma - предположение). Структурно ониподразделяютсянадилеммы, трилеммыиполилеммы.
Дилемма — условно-разделительныйсиллогизмсдвумя взаимоисключающимивыводами, альтернативами. Смысл дилеммызаключаетсявнеобходимостивыбораодногоиз двухвозможных, какправило, взаимоисключающихдруг другарешений. Различаютдвавида, илимодуса, дилеммы: утверждающийиотрицающий. Утверждающийиначе называютконструктивнойдилеммой, отрицающиймодус — деструктивнойдилеммой.
Вконструктивной (утверждающей) дилеммеусловная (большая) посылкаустанавливаетдвавозможныхоснования идвавытекающихизнихследствия. Вразделительной (меньшей) посылкеговоритсяовозможноститолькоодного издвухоснований. Взаключениижеутверждается возможностьтолькоодногоиздвухследствий. Например:
ЕслиИванов - дисциплинированныйстудент, тоон регулярнопосещаетучебныезанятия; еслижеИвановнедисциплинированныйстудент, тоончастопропускает учебныезанятия.
Ивановлибодисциплинированныйстудент,либо недисциплинированный.
Ивановлиборегулярнопосещаетучебныезанятия, либо частопропускаетих.
Ввидесхемыэтотмодусструктурнопредставляетсяболее наглядно:
ЕслиВтоС; еслиД, тоК
ЛибоВ,либоД
ЛибоС, либоК
Влогикевыделяютиупрощенныйвариант конструктивнойдилеммы, когдавусловнойпосылкеиздвух разныхоснованийвытекаетодноитожеследствие:
ЕслиВ, тоС; еслиД, тоС
ЛибоВ,либоД
С
Главнаяособенностьэтихрассужденийзаключаетсяв переходемыслиотоснованиякследствиюусловного суждения, т.е. всоблюдениитогозакона, который определяетструктурныезависимостиэлементовусловного суждения.
Вдеструктивной (отрицающей) дилеммебольшая условнаяпосылкаустанавливаетдвавозможныхследствия издвух оснований. Вразделительнойменьшейпосылке отрицаютсяобавозможныхследствия. Взаключении необходимоотрицаютсяисамиоснования:
ЕслиВ, тоС; еслиД, тоК
Либоне-С,либоне-К
Не-Влибоне-Д
12. Язык логики высказываний. Табличные определения логических терминов.
Простыевысказывания — этовысказывания, не включающиевсебядругиевысказывания. Сложные высказыванияобразуютсяизпростыхспомощью логическихсвязок «и» (обозначаетсясимволом&), «или» (V), «либо, либо» (v ̇), «если, то» ( ), «еслиитолько если» ( ), «неверно, что» (~) идр.
Логикавысказыванийявляетсятеориейтехлогических связейвысказываний, которыенезависятотвнутреннего строения (структуры) простыхвысказываний
Влогикевысказыванийпростыевысказыванияберутсякак неделимыедалееатомы, изкоторыхобразуютсямолекулы — сложныевысказывания. Логическиетеории, дающие болеетонкийанализирассматривающиестроениене толькосложных, ноипростыхвысказываний, являются надстройкойнадлогикойвысказываний. Вэтомсмысле логикавысказыванийлежитвфундаментевсей (дедуктивной) логики.
Логикавысказыванийисходитизследующихдвух допущений:
1) всякоевысказываниеявляетсялибоистинным, либо ложным (принципдвузначности);
2) истинностноезначениесложноговысказываниязависит толькоотистинностныхзначенийвходящихвнегопростых высказыванийихарактераихсвязи.
Исходяизэтихдопущений, дадимстрогиеопределения логическихсвязок «и», «или» ит.д. Этиопределения формулируютсяввидетаблицистинностииназываются табличнымиопределениямисвязок. Соответственносамо построениелогикивысказываний, опирающеесяна данныеопределения, называетсятабличнымее построением.
Возьмемсложноесоединительное (конъюнктивное) высказывание «Сегоднямыидемвмузейимыидемв кино».
Ясно, что, еслимыпобываемивмузее, ивкино, это высказываниебудетистинным. Еслимыпосетиммузей, но непойдемвкиноили, наоборот, побываемвкино, ноне пойдемвмузей, высказываниебудетложным. Онобудет ложноивтомпоследнемслучае, когдамынепойдемнив музей, нивкино. Этичетыревозможныхслучаясводятся вместевтаблицедляконъюнкции («и» означает «истинно», «л» — «ложно»). Словамиэтутаблицуможнопередатьтак: конъюнкцияистинна, когдаобавходящихвнее высказыванияистинны. Или, чтотожесамое: конъюнкция ложна, когдахотябыодноизвходящихвнеевысказываний ложно. Конъюнкцияотличаетсяотобычного «и» вдвух важныхмоментах. Преждевсего, конъюнкцияучитывает толькоистинностныезначенияпростыхвысказыванийине учитываетсмысловыесвязимеждуними. Поэтому конъюнкция, вотличиеотобычного «и», можетсоединять высказывания, междукоторыминетникакой содержательнойсвязи: «ВогородерастетбузинаивКиеве живетдядька», «Дваждыдвачетыреитравазеленая» ит.п. Вчастности, второеизэтихвысказываний — по определениюконъюнкции — являетсяистинным. Далее, дляконъюнкциибезразличенпорядок, вкакомберутся соединяемыееювысказывания. Дляобычного «и» этоне всегдатак: сказать «Онсломалногуипопалвбольницу» не тожесамое, чтосказать «Онпопалвбольницуисломал ногу».
Возьмемсложноеразделительное (дизъюнктивное) «Онсдалэкзаменпоматематикеилионсдалэкзаменпо физике». Еслибылисданыобаэкзамена, дизъюнкция являетсяистинной. Онаистиннаивслучае, еслибылсдан толькокакой-тоодинизэкзаменов. Илишьвслучае, когда обаэкзаменанебылисданы, дизъюнкцияявляетсяложной. Короткоговоря: дизъюнкцияистинна, когдахотябыодноиз входящихвнеевысказыванийистинно. Или: дизъюнкция ложна, толькоеслиобавходящихвнеевысказывания ложны.
Вкачествепримерастрогоразделительного
(дизъюнктивного) высказываниявозьмемвысказывание «Либоонхорошознаетхимию, либоонхорошознает литературу». Еслиоказывается, чторассматриваемый человек хорошознаетитоидругое, данноевысказывание являетсяложным. Оноложно, еслионнезнаетнихимию, нилитературу. Высказываниеистинновдвухслучаях: данныйчеловекхорошознаетхимию, нонелитературуили жеонхорошознаетлитературу, нонехимию. Строгая дизъюнкцияистинна, когдаодноизвходящихвнее высказыванийистинно, автороеложно. Или: строгая дизъюнкцияложна, когдаобавходящихвнеевысказывания истинныилиобаониложны. Возьмемсложноеусловное (импликативное) высказывание «Еслипойдетдождь, мы останемсядома». Этовысказываниеустанавливаетодноиз условийтого, чтомыокажемсядома. Оноговорит, чтовслед запервымобязательнобудетвторое, иничегобольше. Если насамомделеначнетсядождьимыостанемсядома, высказываниебудетистинным. Еслипойдетдождь, амы темнеменеенеостанемсядома, условиебудетнарушенои высказываниебудетложным. Сложнееобстоитделос третьимичетвертымслучаями, посколькупрямооних условноевысказываниенеговорит. Дождьнепошел, номы осталисьдома — условиеостатьсядомавслучаедождяне нарушено. Условноевысказываниеможносчитать истинным. Если, наконец, дождянебудетимыне останемсядома, условиеопять-такинебудетнарушенои условноевысказываниебудетистинным. Импликация истинна, такимобразом, втрехслучаях: 1) когдаее основаниеиследствиеистинны; 2) когдаоснованиеложно, аследствиеистинно; 3) когдаиоснование, иследствие ложны. Импликацияложнатольководномслучае: когда основаниеистинно, аследствиеложно.
Приустановленииистинностиусловноговысказыванияне предполагается, чтовходящиевнегодвавысказывания связанымеждусобойпосодержаниюилисмыслу. Такое понятие, как «связьпосодержанию», вообщеотсутствуетв логикевысказываний. Отсюда — определенное рассогласованиемеждунашимобычнымупотреблениеми истолкованиемусловноговысказыванияитемего истолкованием, котороезадаетсятаблицей. Согласно последней, истиннымиявляются, например, высказывания: «ЕслинаСолнцеестьжизнь, тодваждыдваравно четырем», «ЕслиВолга —озеро, тоТокио — большой город» ит.п. Еслиистинноследствиеусловного высказывания, то, независимооттого, какимявляетсяего основание, этовысказываниетакжеистинно. Сдругой стороны, условноевысказываниеистинновсякийраз, когда егооснованиеложно. Приэтомопять-такибезразлично, истинноследствиеилинетисвязаноонопосодержаниюс основаниемилинет. Кистиннымотносятся, например, высказывания: «ЕслиСолнце — куб, тоЗемля — треугольник», «Еслидваждыдваравнопяти, тоТокио — маленькийгород» ит.п. Вобычномрассужденииэти высказыванияврядлисталибырассматриватьсякак имеющиесмыслиещевменьшейстепеникакистинные. Очевидно, чтотабличноеопределениеусловного высказыванияхужесогласуетсясобычнымегопониманием, чемтабличныеопределениядругихсвязоксихобычным истолкованием. Новрамкахпринятыхдвухисходных допущенийлогикивысказыванийболееудачное определениеусловнойсвязипростоневозможно. Таблицаистинности – этотаблица, показывающая, какие значенияпринимаетсоставноевысказываниепривсех сочетаниях (наборах) значенийвходящихвнегопростых высказываний
Согласноопределению, таблицаистинностилогической формулывыражаетсоответствиемеждувсевозможными наборамизначенийпеременныхизначениямиформулы.
Алгоритмпостроениятаблицыистинности:
подсчитатьколичествопеременных n влогическом
выражении;
определитьчислостроквтаблице m = 2n; подсчитатьколичествологическихоперацийвформуле; установитьпоследовательностьвыполнениялогических операцийсучетомскобокиприоритетов; определитьколичествостолбцоввтаблице: число переменныхплюсчислоопераций; выписатьнаборывходныхпеременных ; провестизаполнениетаблицыистинностипостолбикам, выполняялогическиеоперациивсоответствиис установленнойвп.4 последовательностью
Наборывходныхпеременных, рекомендуютперечислять следующимобразом:
определитьколичествонабороввходныхпеременных; разделитьколонкузначенийпервойпеременнойпополами заполнитьверхнюючастьколонки 0, анижнюю —1; разделитьколонкузначенийвторойпеременнойначетыре частии заполнитькаждуючетвертьчередующимися группами 0 или 1, начинаясгруппы 0; продолжатьделениеколонокзначенийпоследующих переменныхна 8, 16 ит.д. частейизаполнениеихгруппами 0 или 1 дотехпор, покагруппы 0 и 1 небудутсостоятьиз одногосимвола. Приоритетыопераций операциивскобках () отрицание конъюнкция дизъюнкция импликация
эквивалентность