Задачи с поразрядными операциями
Повышенный уровень, время – 3 мин)
Тема: Основные понятия математической логики.
Про обозначения
К сожалению, обозначения логических операций И, ИЛИ и НЕ, принятые в «серьезной» математической логике (Ù,Ú,), неудобны, интуитивно непонятны и никак не проявляют аналогии с обычной алгеброй. Автор, к своему стыду, до сих пор иногда путает Ù и Ú. Поэтому на его уроках операция «НЕ» обозначается чертой сверху, «И» – знаком умножения (поскольку это все же логическое умножение), а «ИЛИ» – знаком «+» (логическое сложение).
В разных учебниках используют разные обозначения. К счастью, в начале задания ЕГЭ приводится расшифровка закорючек (Ù, Ú,), что еще раз подчеркивает проблему. Далее во всех решениях приводятся два варианта записи.
Что нужно знать:
· условные обозначения логических операций
A, не A (отрицание, инверсия)
A Ù B, A и B (логическое умножение, конъюнкция)
A Ú B, A или B (логическое сложение, дизъюнкция)
A→B импликация (следование)
· таблицы истинности логических операций «И», «ИЛИ», «НЕ», «импликация» (см. презентацию «Логика»)
· операцию «импликация» можно выразить через «ИЛИ» и «НЕ»:
A→B = A Ú Bили в других обозначениях A→B =
· если в выражении нет скобок, сначала выполняются все операции «НЕ», затем – «И», затем – «ИЛИ», и самая последняя – «импликация»
· иногда полезны формулы де Моргана[1]:
(A Ù B) = A Ú B
(A Ú B) = A Ù B
· для упрощения выражений можно использовать формулы
(т.к.
)
(т.к.
)
· некоторые свойства импликации
Связь логики и теории множеств:
· пересечение множеств соответствует умножению логических величин, а объединение – логическому сложению;
· пустое множество Æ – это множество, не содержащее ни одного элемента, оно играет роль нуля в теории множеств;
· универсальное множество I – это множество, содержащее все возможные элементы заданного типа (например, все целые числа), оно играет роль логической единицы: для любого множества целых чисел X справедливы равенства X + I = I и X · I = X (для простоты мы используем знаки сложения и умножения вместо знаков пересечения Ç и объединения È множеств)
· дополнение множества X – это разность между универсальным множеством I и множеством X (например, для целых чисел
– все целые числа, не входящие в X)
· пусть требуется выбрать множество A так, чтобы выполнялось равенство A + X = I; в этом случае множество A должно включать дополнение , то есть
(или «по-простому» можно записать
), то есть
· пусть требуется выбрать множество A так, чтобы выполнялось равенство , в этом случае множество
должно включать дополнение
, то есть
; отсюда
, то есть
Задачи с поразрядными операциями
Повышенный уровень, время – 3 мин)
Тема: Основные понятия математической логики.
Про обозначения
К сожалению, обозначения логических операций И, ИЛИ и НЕ, принятые в «серьезной» математической логике (Ù,Ú,), неудобны, интуитивно непонятны и никак не проявляют аналогии с обычной алгеброй. Автор, к своему стыду, до сих пор иногда путает Ù и Ú. Поэтому на его уроках операция «НЕ» обозначается чертой сверху, «И» – знаком умножения (поскольку это все же логическое умножение), а «ИЛИ» – знаком «+» (логическое сложение).
В разных учебниках используют разные обозначения. К счастью, в начале задания ЕГЭ приводится расшифровка закорючек (Ù, Ú,), что еще раз подчеркивает проблему. Далее во всех решениях приводятся два варианта записи.
Что нужно знать:
· условные обозначения логических операций
A, не A (отрицание, инверсия)
A Ù B, A и B (логическое умножение, конъюнкция)
A Ú B, A или B (логическое сложение, дизъюнкция)
A→B импликация (следование)
· таблицы истинности логических операций «И», «ИЛИ», «НЕ», «импликация» (см. презентацию «Логика»)
· операцию «импликация» можно выразить через «ИЛИ» и «НЕ»:
A→B = A Ú Bили в других обозначениях A→B =
· если в выражении нет скобок, сначала выполняются все операции «НЕ», затем – «И», затем – «ИЛИ», и самая последняя – «импликация»
· иногда полезны формулы де Моргана[1]:
(A Ù B) = A Ú B
(A Ú B) = A Ù B
· для упрощения выражений можно использовать формулы
(т.к.
)
(т.к.
)
· некоторые свойства импликации
Связь логики и теории множеств:
· пересечение множеств соответствует умножению логических величин, а объединение – логическому сложению;
· пустое множество Æ – это множество, не содержащее ни одного элемента, оно играет роль нуля в теории множеств;
· универсальное множество I – это множество, содержащее все возможные элементы заданного типа (например, все целые числа), оно играет роль логической единицы: для любого множества целых чисел X справедливы равенства X + I = I и X · I = X (для простоты мы используем знаки сложения и умножения вместо знаков пересечения Ç и объединения È множеств)
· дополнение множества X – это разность между универсальным множеством I и множеством X (например, для целых чисел
– все целые числа, не входящие в X)
· пусть требуется выбрать множество A так, чтобы выполнялось равенство A + X = I; в этом случае множество A должно включать дополнение , то есть
(или «по-простому» можно записать
), то есть
· пусть требуется выбрать множество A так, чтобы выполнялось равенство , в этом случае множество
должно включать дополнение
, то есть
; отсюда
, то есть
Задачи с поразрядными операциями