Множества истинности операций над предикатами
Обозначим через Аи , Ви множества истинности предикатов А(х), В(х) соответственно.
Нас будут интересовать множества истинности операций над этими предикатами.
Несложно показать при помощи рассуждений, что
[А(х)⋀В(х)]и = Аи Ви , (11.1)
[А(х)⋁В(х)]и = Аи Ви , (11.2)
[⅂А(х)]и = (Аи)’ , (11.3)
[A(x) →В(х)]и = [⅂А(х)⋁В(х)]и = (Аи)’ Ви . (11.4)
Логическое следование предикатов
Определение 12.1.Пусть А(х) и В(х) – два предиката с общей областью определения. Если
A(x) →В(х) = И, (12.1)
то говорят, что В(х) логически следует из А(х).
Теорема 12.1. Предикат В(х) логически следует из предиката А(х) в том и только том случае, если выполнено включение множеств истинности:
Аи Ви . (12.2)
Доказательство.См. рис. 7.1 и 7.2.
Замечание.Если выполнено соотношение (12.1), то говорят, что А(х) является достаточным условием для В(х), а В(х) является необходимым условием для А(х).
Квантор общности
Для определенности, будем в этом разделе говорить об одноместных предикатах , зависящих от переменной х; областью определения рассматриваемых предикатов считаем множество Х.
Определение 13.1.Квантором общности называют выражение
«для каждого х» (13.1)
- это краткая форма записи; либо выражение
«для каждого х Х» (13.1’)
- это подробная форма записи.
Для обозначения квантора общности используют специальный значок - перевернутую букву А (от английского слова all). В результате краткая запись приобретает вид: ( х), а подробная запись – вид: (
х
Х).
Замечание.Синонимами выражения (13.1) являются следующие словосочетания: «для всех х», «для любого х», «для всякого х». Аналогичное замечание справедливо и для выражения (13.1’).
Пусть теперь P(x) – некоторый предикат; постановка квантора общности перед ним превращает его в высказывание
( х)P(x) (13.2)
или, в подробной записи,
( х
Х)P(x) . (13.2’)
Замечание. Говорят, что квантор ( х) связывает переменную х; в выражениях (13.2) и (13.2’) переменная х считается связанной (до постановки квантора (
х) эта же переменная была свободной).
Пример. Рассмотрим высказывание на естественном языке:
С: «Каждый человек носит шляпу».
Логическая структура этого предложения такова:
( х
Х)P(x);
здесь Х – множество всех людей, P(x) – предикат « х носит шляпу».
Нетрудно понять, что высказывание С ложно (т.к. существуют люди, которые не носят шляпу).
Квантор существования
Определение 14.1.Квантором существования называют выражение
«существует х такой, что» (14.1)
- это краткая форма записи; либо выражение
«существует х Х такой, что» (14.1’)
- это подробная форма записи.
Замечание.В естественном языке роль квантора существования выполняют также словосочетания: «найдется х такой , что», «для некоторых х».
Для обозначения квантора существования используют специальный значок - отраженную по горизонтали букву Е (от английского слова exist). В результате краткая запись приобретает вид: ( х), а подробная запись – вид: (
х
Х).
Квантор существования (как и квантор общности) связывает соответствующую переменную и превращает предикат в высказывание.
Пример. Рассмотрим высказывание:
D: «У некоторых людей четырнадцать ног».
Логическая структура этого предложения такова:
( х
Х)Q(x);
здесь Х – множество всех людей, Q(x) – предикат «х имеет четырнадцать ног».
Высказывание D, очевидно, ложно, так как не существует ни одного человека с 14-ю ногами.