ИМПЛИКАЦИЯ (от лат. Implicatio - сплетение, от implico - тесно связываю)

- логическая связка, соответствующая грамматической конструкции «если ..., то ...», с помощью которой из двух простых высказываний образуется сложное высказывание. В импликативном высказывании различают антецедент (основание) — высказывание, идущее после слова «если», и консеквент (следствие) - высказывание, идущее за словом «то». Импликативное высказывание представляет в языке логики условное высказывание обычного языка. Последнее играет особую роль как в повседневных, так и в научных рассуждениях, основной его функцией является обоснование одного путем ссылки на нечто другое.

В современной логике имеется большое число И., различающихся своими формальными свойствами. Наиболее известны из них И. материальная, строгая И. и релевантная (уместная) И.

Материальная И. обозначается знаком É. Это одна из основных связок логики классической. Определяется она через функции истинности: И. ложна только в случае истинности антецедента и ложности консеквента и истинна во всех остальных случаях. Условное высказывание «Если А, то В» предполагает некоторую реальную связь между тем, о чем говорится в A и В; выражение А ÉВ такой связи не предполагает.

Строгая И. определяется через модальное понятие (логической) невозможности: «А строго имплицирует В» означает «Невозможно, чтобы А было истинно, а В ложно».

В релевантной логике И. понимается как условный союз в его обычном смысле. В случае релевантной И. нельзя сказать, что истинное высказывание может быть обосновано путем ссылки на любое высказывание и что с помощью ложного высказывания можно обосновать какое угодно высказывание.

ИМЯ

- выражение естественного или искусственного, формализованного языка, обозначающее отдельный предмет, совокупность сходных предметов, свойства, отношения и т. п. Напр., слово «Наполеон» обозначает отдельный предмет - Наполеона Бонапарта; слово «полководец» обозначает класс людей, каждый из которых командовал войсками в сражениях; слово «белый» можно рассматривать как обозначение свойства белизны; слово «выше» — как обозначение определенного отношения между предметами.

Объект, обозначаемый И., называется денотатом этого И.; содержание И., т. е. способ, которым оно указывает на свой денотат, называется смыслом И. В традиционной логике понятиям «денотат» и «смысл» соответствуют понятия объема и содержания. Между И. и его денотатом имеется отношение именования, т. е. И. называет, именует свой денотат. При построении логических систем стремятся к тому, чтобы отношение именования удовлетворяло трем следующим принципам.

1.Принцип однозначности: И. должно иметь только один денотат, т. е. обозначать только один предмет, класс предметов или свойство. Принцип однозначности в естественных языках часто нарушается из-за многозначности и неопределенности слов и выражений. Однако следует стремиться к тому, чтобы по крайней мере в пределах одного контекста или одного рассуждения наши слова и выражения относились к одним и тем же объектам. В противном случае неизбежны логические ошибки.

2. Принцип предметности: всякое предложение говорит о денотатах входящих в него выражений. Напр., предложение «Уральские горы разделяют Европу и Азию» говорит не об именах «Уральские горы», «Европа», «Азия», а о той горной цепи, которая разделяет Европейский и Азиатский материки. Принцип предметности кажется достаточно очевидным, однако, когда мы начинаем говорить о самих языковых выражениях или о математических объектах, может произойти смешение И. с их денотатами.

3. Принцип взаимозаменимости: если два И. имеют один и тот же денотат, то одно из них можно заменить другим, причем предложение, в котором осуществляется такая замена, не изменяет своего истинностного значения. Напр., И. «Москва» и «столица России» имеют один и тот же денотат, поэтому в предложении «Москва — многомиллионный город» можно И. «Москва» заменить И. «столица России»: «Столица России — многомиллионный город». Второе предложение остается истинным.

Принцип взаимозаменимости называют также принципом экстенсиональности (объемности), т. к. он служит для отличения экстенсиональныхконтекстов от интенсиональных. Экстенсиональным наз. такой контекст, для которого важны только денотаты языковых выражений. Поэтому принцип взаимозаменимости в таком контексте выполняется: при замене И. с одним денотатом предложение сохраняет свое истинностное значение. Однако если для контекста важен не только денотат, но и смысл И., принцип взаимозаменимости нарушается: замена И. с одним денотатом может сделать истинное предложение ложным. Поэтому неэкстенсиональными, или интенсиональными, наз. контексты, в которых принцип взаимозаменимости нарушается. Напр., цифра «9» и И. «число планет Солнечной системы» имеют один и тот же денотат (т. к. число планет Солнечной системы равно 9). Рассмотрим предложение: «9 необходимо больше 7». Это предложение истинно. Заменим теперь в этом предложении «9» именем «число планет Солнечной системы», получим предложение: «Число планет Солнечной системы необходимо больше 7». Последнее предложение очевидно ложно, т. к. нет никакой необходимости в том, чтобы число планет Солнечной системы превосходило 7.

В зависимости от характера денотата и смысла И. подразделяются на классы.

Единичное (собственное) И. - И., денотатом которого является один-единственный предмет, напр. «Аристотель», «Монблан», «Нева», «величайший философ древности», «река, на которой стоит Ленинград» и т. п.

Общее И. — И., денотатом которого является класс однородных предметов, напр. «философ», «гора», «река» и т. п.

Пустое И. — И., у которого отсутствует денотат, т. е. не существует такого предмета, который обозначается данным И., напр. «единорог», «Зевс», «русалка», «кентавр» и т. п. Вопрос о пустоте или непустоте того или иного И. часто имеет большое значение, и на него не всегда просто ответить. Имеются логически противоречивые И., смысл которых включает в себя логически несовместимые признаки, напр. «круглый квадрат», «деревянное железо». Такие И. можно назвать логически пустыми. Однако существование женщин с рыбьим хвостом или существ, объединяющих в себе коня и человека, не противоречит законам логики, но с точки зрения физики и биологии невозможно. Поэтому И. «русалка» и «кентавр» пусты по естественнонаучным основаниям. Во многих случаях мы не знаем законов природы, отрицающих существование тех или иных объектов, поэтому вопрос о пустоте или непустоте соответствующих И. решается эмпирическим исследованием.

Конкретное И. -И., обозначающее отдельный предмет, вещь, в противоположность абстрактному И., обозначающему свойство или отношение между предметами. Напр., слово «стол» — конкретное И., т. к. обозначает предметы, целостные вещи, а слово «белизна» является абстрактным И., поскольку обозначает не предмет, а свойство предметов. Деление И. на конкретные и абстрактные осуществляется в рамках традиционной логики и не является вполне определенным. Во многих случаях довольно трудно решить, имеем ли мы дело с предметом или с некоторым свойством. Напр., такие слова, как «республика», «совесть» и т. п., можно истолковать и как обозначения предметов, и как обозначения свойств и отношений.

ИНДУКТИВНАЯ ЛОГИКА

- раздел логики, изучающий индуктивные умозаключения, которые отличаются от дедуктивных умозаключений тем, что вывод в них вытекает из посылок не с необходимостью, а лишь с некоторой вероятностью. Типичным примером индуктивного умозаключения является переход от единичных фактов к общему утверждению. Современная И.л. в основном занимается анализом степени подтверждения гипотезы h на основании имеющегося свидетельства е. В формальной теории степень связи между гипотезой h и свидетельством е выражается функцией c(h,e), удовлетворяющей условию 0≤c(h,e)≤1. Значение функции с (h, е) равно 1, если Л логически выводится из е; оно равно О, если е противоречит Л; во всех остальных случаях оно располагается в интервале (О, 1) и характеризует большую или меньшую степень вероятности (подтверждения) гипотезы Л по отношению к свидетельству е. В некоторых теориях И. л. степень подтверждения гипотезы h оценивается не строго количественно, а лишь сравнительно — в терминах «больше — меньше»

ИНДУКТИВНОЕ ОПРЕДЕЛЕНИЕ

-определение, позволяющее из некоторых исходных объектов теории с помощью некоторых операций строить новые объекты теории. И.о. находят широкое применение в математике, логике и других науках. Примером может быть И.о. натуральных чисел. Исходным объектом здесь будет число 0, исходной операцией — «следующее за п», т. е. операция, обеспечивающая переход от числа п к п + 1. Она обозначается «'» («n'» — «следующее за n»). И.о. состоит из ряда пунктов: 1) 0 является натуральным числом; 2) если п - натуральное число, то п' -натуральное число; 3) никаких натуральных чисел, кроме тех, которые получаются согласно применению пунктов (1) и (2), нет.

Таково же определение четного числа. Исходным объектом здесь является число 0, исходной операцией — операция прибавления двойки (+2), И. о. состоит из таких пунктов: 1) 0- четное число; 2) если п - четное число, то п + 2 - четное число; 3) никаких (натуральных) чисел, кроме тех, которые порождены применением пунктов (1) и (2), нет.

Примером И. о. может быть И. о. формулы в исчислении высказываний.

Различают два основных вида И. о.: фундаментальные и нефундаментальные. Фундаментальными называются такие И. о., с помощью которых из исходных объектов порождается та или иная исходная предметная область. Нефундаментальными являются И. о., с помощью которых из заранее определенной области объектов выделяется некоторое ее подмножество. Приведенные выше И. о. натурального числа и формулы в исчислении высказываний являются фундаментальными, И. о. четного числа является нефундаментальным: предполагается, что область натуральных чисел дана с самого начала или порождена фундаментальным И. о., а мы на ней определяем некоторое подмножество натуральных чисел (т. е. множество «четные числа»).