Вектор электрического смещения (электрической индукции)
Пусть на некоторую поверхность S помещен заряд Q. Выделим элемент этой поверхности dS с зарядом на нем dQ. Величиной смещения D называется предел отношения заряда dQ, находящегося на элементе поверхности dS, к площади поверхности dS, когда площадь стремится к нулю:
D = 
(1.22)
С другой стороны, этот предел отношения заряда к площади поверхности, на которую он помещен, называется поверхностной плотностью заряда. Смещение является векторной величиной, поскольку в определении смещения D заряд Q является скалярной величиной, а элемент поверхности dS – вектор. Вектор смещения перпендикулярен (направлен вдоль нормали) элементу поверхности. Связь между вектором электрического смещения D и вектором напряженности электрического поля задается выражением:
D=e0eE, (1.23)
(ф/м), (1.24)
где e0 - электрическая постоянная (абсолютная диэлектрическая проницаемость вакуума), измеряемая в фарадах/метр (ф/м) и равная отношению суммарного электрического заряда, заключенного в некотором объеме в вакууме, к потоку вектора напряженности электрического поля через замкнутую поверхность, ограничивающую этот объем; e - относительная диэлектрическая проницаемость среды, показывающая во сколько раз напряженность поля в среде меньше напряженности поля в вакууме.
Характерные признаки потенциального поля:
a. rotA º 0 – ротор равен нулю во всех точках поля;
b. divА ¹ 0 – дивергенция не равна нулю, хотя бы в некоторых точках поля;
c. A = gradb – в любой точке поля определен скалярный потенциал.
Условия существования вихревого поля:
a. divB º 0 – дивергенция равна нулю в любой точке поля;
b. B º rotA – ротор не равен нулю хотя бы в некоторых точках поля;
c. отсутствует скалярный потенциал.
Лекция 2. Теоремы электрического поля
Теорема Остроградского – Гаусса
Общая формулировка теоремы Остроградского – Гаусса гласит: «Интеграл от дивергенции вектора, взятый по объему, равен интегралу самого вектора, взятому по замкнутой поверхности, окружающей этот объем». Согласно определению (1.11) дивергенция электрического смещения
или
. (1.35)
Выражение (1.35) представляет собой математическую запись теоремы Остроградского – Гаусса. В случае если рассматриваемым вектором является вектор электрического смещения, левая часть в (1.35) равна сумме зарядов, ограниченных поверхностью S. Для вектора D можно сформулировать рассматриваемую теорему следующим образом: «Поток вектора электрического смещения через замкнутую поверхность равен сумме зарядов, находящихся внутри этой поверхности».