Лекция 4. Решения полей методом наложения и зеркального отображения. Частичные ёмкости

Пусть мы имеем несколько заряженных проводников с зарядами известной величины Qi, место расположения которых нам также известно. В этом случае потенциал поля в некоторой произвольной точке будет представлять собой сумму потенциалов, создаваемых каждым из проводников в этой точке:

Лекция 4. Решения полей методом наложения и зеркального отображения. Частичные ёмкости - student2.ru (2.27)

Выражение (2.27) справедливо в любой точке поля, в том числе и в месте расположения проводников с зарядами. Потенциал первого проводника определяется суммой:

j1 = a11Q1 + a12Q2 + a13Q3 + a14Q4 + … + a1nQn . (2.28)

Первое слагаемое в (2.28) представляет собой потенциал первого проводника, обусловленный зарядом на самом проводнике. Второе слагаемое – потенциал на первом проводнике, обусловленный зарядом Q2 на втором проводнике и т.д. Коэффициенты amn называются потенциальными коэффициентами. Их величина зависит только от формы и взаимного расположения проводников. Так коэффициент a11 численно равен потенциалу на первом проводнике при величине заряда на нем равном 1 (Q1 = 1), причем заряды других проводников должны равняться нулю. Коэффициент a12 численно равен потенциалу на первом проводнике при величине заряда на втором проводнике равном 1 (Q2 = 1), причем заряды других проводников должны равняться нулю и т.д. Выражения подобные (2.28) можно записать для любого проводника:

j1 = a11Q1 + a12Q2 + a13Q3 + a14Q4 + … + a1nQn

j2 = a21Q1 + a22Q2 + a23Q3 + a24Q4 + … + a2nQn

j3 = a31Q1 + a32Q2 + a33Q3 + a34Q4 + … + a3nQn (2.29)

……………………………………………………

jn = an1Q1 + an2Q2 + an3Q3 + an4Q4 + … + annQn

в векторной форме (2.29) имеет вид Лекция 4. Решения полей методом наложения и зеркального отображения. Частичные ёмкости - student2.ru j = a×Q.

Задача расчета потенциалов проводников сводится к определению потенциальных коэффициентов amn системы уравнений (2.29).

Чаще приходится решать задачу обратную рассмотренной – находить заряды проводников по известным величинам разностей потенциалов между проводниками. Линейную систему уравнений (2.29) можно переписать в следующей форме:

Q1 = C11×j1 + C12×(j1-j2) + C13×(j1-j3) + … + C1n×(j1-jn)

Q2 = C21×(j2 -j1)+ C22×j2 + C23×(j2-j3) + … + C2n×(j2-jn)

Q3 = C31×(j3 -j1)+ C32××(j3-j2) + C33×j3 + … + C3n×(j3-jn) (2.30)

…………………………………………………………….

Qn = Cn1×(jn-j1) + Cn2×(jn-j2) + Cn3×(jn-j3) + … + Cnn×jn

в векторной форме (2.30) имеет вид Лекция 4. Решения полей методом наложения и зеркального отображения. Частичные ёмкости - student2.ru Q = a-1×j,

где C = a-1- обратная (инверсная) матрица к матрице потенциальных коэффициентов.

Коэффициенты Сmn в системе уравнений (2.30) называются частичными емкостями. Так коэффициент С11 численно равен заряду на первом проводнике, когда потенциалы всех проводников равны между собой и равны единице. Коэффициент С12 численно равен заряду на первом проводнике, когда все проводники кроме второго заземлены (их потенциал равен нулю), а потенциал второго проводника равен –1.

Потенциальные коэффициенты в (2.29) и частичные емкости в (2.30) образуют симметричные относительно главной диагонали квадратные действительные матрицы: amn = anm, Cmn = Cnm. Это свойство вытекает из самих определений потенциальных коэффициентов и частичных емкостей. Пусть на проводник под номером n поместили заряд Qn=1, а на всех остальных проводниках заряды равны нулю. Потенциал проводника под номером m будет равен jm = amnQn = amn×1. Величина этого наведенного в проводнике m потенциала будет определяться только взаимным расположением и формой проводников m и n. Если теперь, не изменяя взаимного расположения проводников, заряд Q=1 перенести на проводник m, то потенциал, наведенный на проводнике n, будет иметь ту же величину, что ранее был на проводнике m. В результате amn = anm.

Величина частичной емкости между проводниками m и n зависит только от их формы и взаимного расположения. Частичные емкости удобно определять опытным путем.

Ёмкость проводника определяется отношением заряда на проводнике к его потенциалу. Для определения ёмкости проводника относительно земли нужно заряд на нем разделить на напряжение относительно земли.

Наши рекомендации