Получение передаточных функций разомкнутой и замкнутой системы

Для наглядного представления сложной системы как совокупности элементов и связей между ними используются структурные схемы.

Структурной схемой называется схема САУ, изображенная в виде соединения ПФ составляющих ее звеньев. Структурная схема показывает строение автоматической системы, наличие внешних воздействий и точки их приложения, пути распространения воздействий и выходную величину.

2.1. Получение передаточной функции разомкнутой САУ.

W_raz=W₁*W₂*W₃

W_raz – передаточная функция разомкнутой системы

W_raz= * *

W_raz=

2.2 Получение передаточной функции замкнутой САУ

W_zam=

W_zam – передаточная функция замкнутой системы

W_zam=

W_zam=

Нахождение уравнения состояния в нормальной форме

W_zam=

y=2,5y’’’+5,5y’’+6y’+100y=5U+100U’

Разделим левую и правую часть на 2,5, чтобы перед y’’’ появилась 1

y=y’’’+2,2y’’+2,4y’+40y=2U+40U’

а₁=2,2

а₂=2,4

а₃=40

b₁=b₀=0

b₂=40

b₃=2

Выполнение исследования системы на управляемость и наблюдаемость замкнутой системы.

Линейная система вполне управляема тогда и только тогда, когда матрица управляемости имеет ранг, т.е. когда ранг матрицы равен n.

4.1. Исследование системы на управляемость

Ищем решение в виде:

или

K₀=b₀=0

K₁=b₁-a₁K₀=0

K₂=b₂-a₁K₁-a₂K₀=40

K₃=b₃-a₁K₂-a₂K₁-a₃K₀=-86

A= B=

Y=[B AB A²B]

AB=

A²B=A(AB)=

Y=

Так как |А|= =0 то

Таким образом САУ частично управляемая.

Определение устойчивости замкнутой системы по критерию Найквиста

Критерий устойчивости Найквиста формулируется так:

1. Если разомкнутая система устойчива или находится на границе устойчивости, то для того чтобы замкнутая система была устойчива, необходимо и достаточно, чтобы АФЧХ разомкнутой системы

при изменении частоты ω от 0 до ∞ не охватывала точку с координатами –1,j0.

2. Если разомкнутая система неустойчива, а ее передаточная функция имеет m полюсов справа от мнимой оси на комплексной плоскости, то для устойчивости замкнутой системы необходимо и достаточно, чтобы АФЧХ разомкнутой системы при изменении частоты от ω от – ∞ до + ∞ охватывала m раз точку с координатами –1, j0.При использовании этого критерия нужно учитывать две особенности:

1. Если разомкнутая система находится на границе устойчивости, то ее АФЧХ уходит в бесконечность. Для проверки критерия Найквиста нужно мысленно соединить конец АФЧХ дугой бесконечно большого радиуса с положительной вещественной полуосью.

2. На практике АФЧХ может строиться только для положительных частот (0 ≤ ω < + ∞). При применении критерия Найквиста считается, что ветвь АФЧХ для отрицательных частот симметрична относительно вещественной оси.